历算全书 - 第 161 页/共 206 页

补戊丁丙也 　　右句股形以句为底以股为髙若以股为底则句又为髙可互用也 　　句股形有立有平若平地句股以句为濶以股为长其理无二 　　论曰凡求平积皆谓之幂其形如网目又似窓櫺之空皆以横直相交如十字亦如机杼之有经纬而成布帛故句股是其正法何也句股者方形斜剖之半也折半则成正剖之半方形矣其他锐角钝角或有直无横有横无直必以法求之使成句股然后可算故句股者三角法所依以立也 　　假如锐角形甲乙邉【二百三十二尺】甲丙邉【三百四十尺】乙丙邉【四百六十八尺】求积 　　术先求垂线用锐角第三术任以 　　乙丙邉为底以甲丙甲乙为两 　　两之较数【一百零八尺】总数【五百七十二尺】相乗【六万一千七百七十六尺】为实以乙丙底 　　为法除之得数【一百三十二尺】转减乙丙余数【三百三十六尺】半之得乙丁【一百六十八尺】依句股法以乙丁自乗【二万八千二百二十四尺】与甲乙自乗【五万三千八百二十四尺】相减余数【二万五千六百尺】平方开之得甲丁垂线【一百六十尺】以甲丁垂线折半乗乙丙底得积凡求得锐角形积三万七千四百四十尺 　　如图移辛补壬移庚补癸则成长 　　方形即垂线折半乗底之积 　　右锐角形任以乙丙邉为底取垂 　　线求积若改用甲乙或甲丙邉为 　　底则所得垂线不同而得积无异故可以任用为底假如钝角形甲乙邉【五十八步】甲丙邉【八十五步】乙丙邉【三十三步】求积 　　术求垂线立于形外用钝角第三 　　术以乙丙为底甲乙甲丙为两 　　总数【一百四十三步】较数【二十七步】相乗【三千八百 　　六十一步】为实乙丙底为法除之得数 　　【一百一十七步】内减乙丙余数【八十四步】折半 　　【四十二步】为乙丁【即乙丙引长邉】依句股法乙丁自乗【一千七百六十四步】甲乙自乗【三千三百六十四步】相减余数【一千六百步】平方开之得甲丁【四十步】为形外垂线以乙丙底折半【十六步半】乗之得积 　　凡求得钝角形积六百六十步 　　如图甲乙丙钝角形移戊补庚移 　　庚己补壬癸又移壬子补辛成辛 　　癸丑长方即乙丙底折半乗中长 　　甲丁之积 　　右钝角形以乙丙为底故从甲角作垂线若以甲乙为底则自丙角作垂线亦立形外而垂线不同然以之求积并同若以甲丙为底从乙角作垂线则在形内如锐角矣其垂线必又不同而其得积无有不同故亦可任用一邉为底 　　凡用垂线之髙乗底见积必其线上指天顶底线之横下应地平两线相交正如十字故其所乗之幂积皆成小平方可以虚实相补而求其积数钝角形引长底线以作垂线立于形外则两线相遇亦成十字正方之角矣 　　总论曰三角形作垂线于内则分两句股钝角形作垂线于外则补成句股皆句股法也 　　三角求积第二术 　　以中垂线乗半周得积谓之以量代算 　　假如钝角形乙丙邉【五十八步】甲乙邉【一百一十七步】甲丙邉【八十五步】求积 　　术平分甲乙两角各作线防于心从 　　心作十字垂线至乙甲邉【如心庚】即中 　　垂线也乃量取中垂线【心庚】得数【一十八步】 　　合计三邉而半之【一百三十步】为半周以半周乗中垂线得积 　　凡求得钝角形积二千三百四十步 　　又术如前取中垂线【心庚】为濶半周为 　　长【如乙癸及丁壬】别作一长方形【如乙壬丁癸】即 　　与【甲乙丙】钝角形等积 　　解曰凡自形心作垂线至各邉皆等故中垂线乗半周为一切有法之形所公用方员及五等面六等面至十等面以上并同故以中垂线为濶半周为长其所作长方形即与三角形等积 　　又解曰中垂线至邉皆十字正方角即分各邉成句股形以乗半周得积即句股相乗折半之理 　　附分角术　有甲角欲平分之 　　术以甲角为心作虚半规截角旁两 　　线得辛壬二防乃自辛自壬各用为 　　心作弧线相遇于癸作癸甲线即分 　　此角为两平分 　　三角求心术 　　如上分角术于甲角平分之于乙角 　　又平分之两平分之线必相遇成一 　　防此一防即三角形之心 　　解曰试再于丙角如上法分之则亦 　　必相遇于原防 　　三角求积第三术 　　以三较连乗又乗半总开方见积 　　假如钝角形甲乙邉【一百一十六尺】甲丙邉【一百七十尺】乙丙邉【二百三十四尺】求积 　　术合计三邉而半之【二百六十尺】为半总 　　以与甲乙邉相减得较【一百四十四尺】与甲 　　丙邉相减得较【九十尺】与乙丙邉相减 　　得较【二十六尺】三较连乗【以两较相乗得数又以余一较】 　　【乗之也】得数【三十三万六千九百六十尺】又以半总较之得数【八千七百六十万零九千六百尺】平方开之得积 　　凡求得钝角形积九千三百六十尺 　　若系锐角同法 　　解曰此亦中垂线乗半周之理但所得为幂乗幂之数故开方见积详或问 　　三角容员第一术 　　以与句股求容员径【此术惟句股形有之凡句股相并为和以和与并为和和以和与相减为和较】 　　假如【甲乙丙】句股形甲丙句【二十步】乙甲股【二十一步】乙丙【二十九步】求容员径 　　术以句股和【四十一步】与相减得数为容员径 　　凡求得内容员径一十二步 　　解曰此以和较为容员径 　　如图从容员心作半径至邉又作 　　分角线至角成六小句股形则各 　　角旁之两线相等【如丙戊丙庚两线在丙角旁则 　　相等乙庚乙己在乙角旁甲戊甲己在甲角旁并两线相等】 　　其在正方角旁者【甲戊甲己】乃和较也【于乙丙内分丙庚以对丙戊又分乙庚以对乙己则其余为甲戊及甲己此即句股和与乙丙相较之数也】然即为内容员径何也各角旁两线并自相等而正方角旁之两线又皆与容员半径等【正方角旁两小形之角皆平分方角之半则句股自相等而甲戊等心戊甲己等心己】然则和较者正方角旁两线【甲戊甲己】之合即容员两半径【心戊心己】之合也故和较即容员径也 　　试以甲戊为半径作员则戊心亦 　　半径而其全径【癸戊甲】与容员径【丁心 　　己】等以甲己为半径作员则己心 　　亦半径而其全径【辛己甲】与容员径 　　【戊心壬】亦等 　　三角容员第二术 　　以周与积求容员径 　　内分二支 　　一句股形以和和为用【亦可用半】 　　一锐角钝角形以全周半周为用 　　假如【甲乙丙】句股形甲丙句【一十六步】甲乙股【三十步】乙丙【三十四步】求容员径 　　术以句股相乗得数【四百八十步】为实并句股数【共八十歩】为法除之得数倍之为容员径 　　凡求得容员径一十二步