历算全书 - 第 163 页/共 206 页

聫之 　　次从癸向丙作斜线割丑乙线于子遂从子作申未线与乙丙平行割甲乙股于庚割甲丙句于己则庚己为容方之一邉末从庚作辰壬线从己作午辛线并与甲丁平行而割乙丙于壬于辛则辛壬及庚壬及己辛三线并与庚己等而成正方 　　解曰寅子长方与子夘长方等积【癸丙线分寅夘形为两句股而等则两句股内所作之方必等】午壬长方又与寅子等【寅丁形以甲丙线分为两句股则寅己与己丁等又丑丁形以甲乙线分为两句股则丑庚与丁庚等若移寅己作己丁移丑庚作丁庚则午丁等寅戊而辰丁等丑戊合之而午壬等寅子】则午壬亦与子夘等而午壬之邉【午辛及辰壬】子夘之邉【夘乙及未子】并等甲丁对角线则两形【午壬子夘】等积又等邉矣其长等其濶亦等【辰壬既等夘乙则辛壬亦等子乙而庚壬及己辛亦不得不等】故四线必俱等也 　　又解曰寅子既与子夘等则寅乙必与申夘等【于寅乙内移寅子居子夘之位即成申夘】而寅乙者倍积也申夘者底偕中长乗容方径也【乙丙也夘乙即甲丁对角中长线也合之为丙夘之长其两端之濶申丙及未夘并同方径】故合与对角线为法以除倍积得容方径 　　论曰此以一邉为底中长线为髙也既以一邉为底其容方即依此一邉而以两方角切余二邉也句股形故以为底若锐角形则任以一邉为底但依大邉则容方转小亦如句股形依方角之容方必大于依线之容方也钝角形但可以大邉为底其求之则皆一法也是为第一术之第二支 　　三角容方第二术 　　以图算 　　内分二支 　　一以法截中长线得容方径【句股形即截其邉】 　　一以法截两斜邉得容方边【句股形即截其】 　　假如锐角形求容方任以一邉为底 　　如图以乙丙最小邉为底先从对角甲作中长垂线至丁又从乙角作丑乙立线与甲丁平行而等乃从甲角 　　作横线过丑至癸截丑癸亦如甲 　　丁乃从癸向丙角作斜线割丑乙 　　立线于子末以子乙之度截中长 　　线【甲丁垂线】于戊即戊丁为容方之径 　　【从戊作己庚又从己作线至辛从庚作线至壬成庚己辛壬即所求 　　容方】 　　解曰甲戊与戊丁若甲丁与乙丙【子丑癸句股与子乙丙形有子交角必相似则丑子句与子乙句若丑癸股与乙丙股而丑子原与甲戊等子乙与戊丁等丑癸与甲丁等则甲戊与戊丁亦若甲丁与乙丙】又甲戊与己庚若甲丁与乙丙【甲己庚三角为甲丙乙之截形必相似则甲戊与己庚若甲丁与乙丙】 　　合两比例观之则甲戊与戊丁若甲戊与己庚而己庚即戊丁 　　以上并锐角形 　　凡锐角三邉并可 　　为底而皆一法 　　假如句股形求容方以股为底则于句端甲作横线与股平行而截之于癸使癸甲如甲乙句乃自癸向丙作斜线割甲乙句于戊则戊乙即容方之一邉末作己戊与股平行作己辛与句平行即成容方【或以句为底则从股端丙作丙癸横线与股等亦作癸甲斜线割丙乙股于戊其所得容方亦同图如左】 　　论曰锐角钝角皆截中长线为容方径句股形以为底亦然惟句股形以句为底即截其股为容方径【用股为底即截句】不另求中长而与截中长之法并同是为第二术之第一支 　　假如乙丙丁三角求容方　依乙丙邉为底 　　如图以乙丙底作正方形【即甲乙丙戊方】又作丁辛对角线次作甲辛及戊 　　辛两斜线割原形之两斜线于己 　　于庚乃作己庚线为所求容方之 　　一邉【末作己壬及庚癸两线成小方形于形内即所求】 　　解曰甲戊与己庚若子辛与午辛也【己庚辛三角形为甲戊辛之切形则其横与直之比例相等】而甲戊与子辛同为方径而等则己庚与午辛亦同为小方径而等 　　若底上方形大则其径亦大于对 　　角线则如第二图引丁辛线至子 　　其理亦同 　　有此二法则三邉并可为底 　　钝角形用大邉为底句股形用为底并同第二图 　　若句股形以句为底求容方如图即用乙丙句作【丙辛庚乙】方形从方角庚向丙作斜线割丁乙于壬从壬作癸 　　壬及甲壬二线即所容方【或用股上方则 　　引出句邉如股】 　　解曰庚丙线分丙角为两平分则 　　其横直线自相等【壬癸与癸丙相等壬甲与甲丙】 　　【相等则四线皆等】而成正方嘉禾陈防庵用分角法求容方与此同理 　　论曰此皆以底上方形为法而得所求小方也故不论顶之偏正其所得容方并同惟句股容方依正方角则中长线与原邉合而为一法虽小异其用不殊是为第二术之第二支 　　三角形外切平员第一术 　　句股形以为径 　　假如甲乙丙句股形乙丙长四尺五寸二分求外切员 　　术以折半取心得半径二尺二寸六分其长四尺五寸二分即外切平员全径以平员周率三五五乗之径率一一三除之得员周一十四尺二寸 　　如图乙丙员径即句股形之折半于丁即员心也以 　　乙丁半径为度从丁心运规作员 　　必过甲而句股形之角皆切员周 　　矣 　　论曰凡平员径上从两端各作直线至员周相防则成正方角【如乙丙径之两端于丙于乙各作直线防于甲则甲角必为正角】而为句股形【假令两线相遇于庚即成庚乙丙句股形于辛亦然以其皆正角故也】故不问句股长短而并以其为外切员之径 　　又论曰径一百一十三而周三百五十五此郑端清世子所述祖冲之术也【见律吕精义】按古率周三径一李淳风等释古九章以为术从简易举大纲而言之诚为通论诸家所传径五十周一百五十七则魏刘徽所改谓之徽率径七周二十二则祖冲之所定谓之宻率由今以观冲之自有两率【一为七与二十二一为一一三与三五五】盖以其捷者为恒用之须而存其精者明测算之理亦可以观古人之用心矣 　　三角形外切平员第二术 　　分邉取员心内分二支并以图算 　　一句股形但分一邉即得员心【其心在】 　　一锐角形钝角形并分二邉可得员心【锐角形员心在形内钝角形员心在形外】 　　假如甲乙丙句股形求外切员 　　术任于句或股平分之作十字正线此线过线之防即为员心 　　如图甲乙丙形以甲乙股平分于 　　戊从戊作庚丁正十字线至乙丙 　　即分为两平分而丁即员心 　　从丁运规作外切员则甲乙丙三 　　防并切员周而乙丁丙丁庚丁皆半径 　　论曰若平分甲丙句于辛从辛作十字正线亦必至丁故但任分其一邉即可得心 　　又论曰若依第一术先得丁心从丁心作直线与句平行即此线能分股线为两平分【如丁庚线与甲丙句平行过甲乙股即平分股线于戊】若与股平行而分句线亦然【如丁辛线与甲乙股平行即分句线于辛】右句股形外切平员之心在线中央 　　假如锐角形求形外切员 　　术任以两邉各平分之作十字线引长之必相遇于一防即为员心