历算全书 - 第 167 页/共 206 页

【如庚乙丙乙】成丙乙庚大句股形又 　　因中有正成大小两句股形 　　【乙丁庚为大形乙丙丁为小形】而相似【以乙丁线分正 　　角为两则小形乙角为大形乙角之余而与庚角等即大形乙 　　角亦与小形丙角等故两形相似】则乙丁正 　　既为小形之股又为大形之句其比例为丙丁【小形句】与乙丁【小形股】若乙丁【大形句】与丁庚【大形股】也故正矢【丁丙】乗大矢【丁庚】与正【乙丁】自乗等积【丙庚全径为正所分其一丁丙正矢为小形之句而乙丁正为其股其一丁庚大矢为大形之股而乙丁正为其句】 　　一　丁丙正矢　小形句　　凡二率三率相乗与一二　乙丁正　小形股　　四相乗等积故乙丁自三　乙丁正　大形句　　乗即与丁丙丁庚相乗四　丁庚大矢　大形股　　等积也 　　论曰凡割圜算法専恃句股古法西法所同也故论句股者必以割圜而论割圜者仍以句股如根株华实之相须乃本法非旁证也 　　或疑切线分外角以正为比例恐不可施于钝角作此明之 　　甲丙乙钝角形先有丙角及丙甲丙乙二邉求余角一率丁乙【邉总】二率癸乙【邉较】三率己戊【半外角切线】四率壬己【半较角切线】 　　论曰试作壬丙线与乙甲平行分外角为两则壬丙丁即乙角其正卯丁又甲丙壬即甲角其正甲丑以两句股【丑子甲卯子丁】相似之故能令两正【丑甲卯丁】之比例移于通以成和较【丑甲与卯丁既若子甲与子丁则丁甲即两正之和辰子即两正之较】而半外角半较角之算以生【半外角为和半较角为较并与两正之和较同比例即与两邉之和较同比例】并如锐角 　　又论曰此所分大角为钝角故甲丑正作于形外然虽在形外而引分角线至丑适与之防即能成丑子甲句股形与卯子丁相似而生比例 　　【丙乙甲形先有丙角求余角　法为邉总丁乙与邉较乙癸若半外角切线戊己与半较角切线未己此亦因所分为钝角故卯丁正在形外　又大邉为半径故乙癸较亦在形外而丁乙为和余并同前】 　　【丙甲乙形先有丙角求余角　法为邉总丁乙与邉较乙癸若半外角切线己戊与半较角切线己壬　此因先得钝角故所分之内反无钝角而正所作之小句股并在外角之内同锐角法矣】 　　【丙甲乙形先得丙角及丙甲句乙丙如法作丙壬线与乙甲股平行分外角为两则句和丁乙与句较癸乙若半外角切线己戊与半较角切线己壬　此以丙甲为半径作外角弧而即用丙甲为正知所得为正角】 　　【甲乙丙形先得丙角求余角　如法作丙庚线与乙甲句平行次截辛丁如庚甲作辛丙线分外角为两则小角之正卯丁大角之正即丙甲而成两句股相似为切线比例　法为句和丁乙与句较乙癸若半外角切线己戊与半较角切线己壬　此以丙甲为半径作外角弧而即用丙甲为正知辛丙甲为正角而丁辛同庚甲即辛丙甲同丁丙庚又即同丙乙甲而乙为正角矣以乙正角减外角余为甲角】 　　论曰右并以先不知其为句股形故求之而得正角凡正角之弧九十度别无正而即以半径全数为正得此明之 　　【甲乙丙形先有正角求余角　法为句股和丁乙与句股较癸乙若半外角切线戊己与半较角切线己壬】论曰此因先得者为正角故其外角亦九十度而半外角四十五度之切线即同半径全数余并同前 　　又论曰句股形求角本易不须外角而外角之用得此益明 　　【以大邉为半径作外角弧分角线丙未与次大邉平行邉总乙丁与邉较乙癸若半外角切线戊己与半较角切线壬己】 　　【以次大邉为半径作外角弧分角线丙未与小邉乙甲平行大邉总丁癸与邉较乙癸若半外角切线己戊与半较角切线己壬】 　　问平三角形以一邉为半径得三正比例不识大邉亦可以为半径乎【小邉次邉为半径已具前条故云】曰可 　　如乙丙丁钝角形引乙丁至辰如 　　乙丙大邉而用为半径以丁为心 　　作丑辰亥半弧从辰作辰午为丁 　　钝角正又作丁斗半径与乙丙 　　平行则斗牛为丙角正又截女 　　丑弧如辰斗作女丁半径则女亢 　　为乙角正合而观之丁角正【辰午】最大故对邉乙丙亦大丙角正【斗牛】居次故对邉乙丁亦居次乙角正【女亢】最小故对邉丁丙亦小 　　又问若此则三邉任用其一皆可为半径而取正是已然此乃同径异角之比例也若以三邉为三正为股则同角异邉之比例也两比例之根不同何以相通曰相通之理自具图中乃正理非旁证也试于前图用乙丁次邉为其股乙癸与斗牛平行而等则丙角 　　正也又截酉丁如丁丙小邉为 　　其股酉壬与女亢平行而等则 　　乙角正也又辰丁大邉为【即乙 　　丙】其股辰午原为丁大角正也 　　于是三邉并为三对角之正 　　并为股成同角相似之句股形而 　　比例皆等可以相求矣 　　一大邉【乙丙即辰丁】　　　　一丁角正【辰午】 　　二丁角正【辰午】　　　　二大邉乙丙 　　三次邉乙丁　小邉【丁丙即酉丁】三丙角正【乙癸】乙角正【酉壬】四丙角正【乙癸】乙角正【酉壬】四次邉乙丁　小邉丁丙此如先得大邉【乙丙即辰丁】与所对大角【丁】故用辰午丁大句股形为法求余二句股也【乙癸丁酉壬丁】皆同用丁角而形相似故法可相求其实三正皆大邉为半径所得故其理相通未有理不相通而法可相求者故曰皆正理非旁证也 　　又试于乙丙丁形【或钝角或鋭角同理】以丁丙小邉为半径作房箕壁象弧【以乙为心】如上法取三正【以尾壁弧为丁角度其正尾虚又箕壁弧为丙角度其正箕危又戍壁弧为乙角度其正戍申】成同径异角之比例又如法用三邉为三正为股【乙戍即丁丙小邉配乙角正戍申原如与 　　股又本形乙丁次邉为则丁甲为股与箕危平行而等 　　丙角正也又引乙丁至子成子乙即乙丙大邉以为 　　则子寅为股与尾虚平行而等丁角正也】则并 　　为相似之句股形而比例等 　　一小邉丁丙【即戍乙】 　　二【乙角正】戍申 　　三大邉乙丙【即乙子】　次邉丁乙 　　四【丁角正】子寅【即尾　丙角虚　　正】丁甲【即箕危】 　　此如先得小邉【丁丙】与所对小角【乙】故以戍申乙小句股形为法求两大句股也【丁甲乙子寅乙】皆同用乙角而形相似又试以乙丁次邉为半径作象限如前【以丙为心】取三正【张娄为丁角弧度张井其正氐娄为丙角弧度氐参其正室娄为乙角弧度室奎其正】成同径 　　异角之比例又仍用三邉为三正 　　为股【引丁丙至翌与大邉乙丙等成翌丙其股翌胃与张井 　　平行而等丁角正也又乙丁次邉成氐丙其股氐参原为丙角正 　　又丁丙小邉为其股丁柳与室奎平行而等乙角正也】即复 　　成相似之句股形而比例等 　　一次邉乙丁【即氐丙】 　　二【丙角正】氐参 　　三大邉乙丙【即翌丙】　小邉丁丙 　　四【丁角正】张井【即翌　乙角胃　　正】丁柳【即室奎】 　　此如先得次邉【乙丁】及所对丙角故以氐参丙句股为法求大小二句股也【求翌胃丙为以小求大求丁柳丙为以大求小】皆同用丙角而比例等 　　问员内三角形以对弧为角倍度设有钝角小邉何以取之【或问内原设锐角两邉并大于半径故云】曰法当引小邉截大邉作角之通【如图乙甲丙钝角形在平员内以各角切员而乙甲邉小于半径则引乙甲出员周之外乃以甲角为心平员心丁为界作子丁丑弧截引长邉于子截大邉于丑则丑甲子甲并半径与丁甲等而丑子为 　　通】又平分对邉作两通【从员心作 　　丁乙丁丙两半径截乙戊丙员周为甲角对邉所乗之弧而半 　　之于戊作乙戊丙戊二线成两通】则此两通