历算全书 - 第 153 页/共 206 页

表使丙丁与乙戊如十字之半而与甲乙平行则丁戊小股与丙丁小句若丙庚大股与甲庚大句也 　　法以丙丁小句为二率乙丁大股为三率【即丙庚】相乗为实戊丁小股为一率为法法除实得大句甲庚再以庚乙加之得甲乙 　　假如丙丁两表相距【三歩】人在戊窥丁到乙逺【戊丁十二歩丁乙十八歩】欲求甲乙之距 　　法以丙丁【三歩】乗乙丁【十八歩】得【五十四歩】为实戊丁【十二歩】为法除之得【四十五歩】为甲庚加丙丁【三歩即乙庚】共四十八歩为甲乙 　　解曰此以乙丙长方形变为丙癸也依前论乙丙实形丙癸虚形不相似而容积等故也 　　重测法 　　有巽乙甲井方池欲遥望测其甲乙之一面方并乙丁之距 　　法立表于丁望测方池之东北角乙至东南角巽使丁乙巽为一直线　再于丁横过立一表于丙使丙丁为乙丁之横立正线【丙丁横六歩四分】次从丁退而北行至【戊】量得【十二歩】　从戊斜望池西北隅【甲】不能当【丙】表而出其间如【戌】又于戌立表【戌丁】之距【四歩】　再退而北行至【己】从【己】窥【甲】正过【丙】表己丙甲为一直线量得己丁之距【三十六歩】 　　法以【丙丁六歩四分】为一率【丁己三十六歩】为二率【戊丁四歩】为三率　二三相乗得【一百四十四歩】为实一率【六歩四分】为法除之得【二十二歩半】为辛己于辛己内减丁戊【十二歩】余【十歩半】为壬己是为景差 　　次以【戌丁四歩】减【丙丁六歩四分】余【丙戌二歩四分】以戊丁【十二歩】乗之得【二十八歩八分】为句实　景差【十歩半】为法除句实得二歩【八分弱】为甲申大句之距加丙丁【六歩四分即申乙】得共【九歩二分弱】为甲乙即方池一面之濶 　　次以辛己【二十二歩半】减丁己【三十六歩】余【十三歩半】辛丁为二率丁戊【十二歩】为三率相乗得【一百六十二歩】为股实　景差【十歩半】为法除之得【十五歩八分半弱】为乙丁大股之距 　　解曰此以四表重测改为三表乃巧算也　若测髙则重测本为前后二表者亦改用一表故当先知本法然后明其所以然下文详之 　　试先明四表本法 　　有甲乙之濶先立【丁】表从戊测之戊【人目】丁【表】乙【逺物之末端】三者参相直　次于【丁】表横过与【甲乙】平行作戊丁乙直线之横直线此线上取戊立表人目从【戊】过【戌】表窥甲逺物之西端亦参相直但于戊丁乙线为斜成句股形　量得戌丁两表横距【四歩】丁戊【人目距东表】直距【十二歩】 　　次于丁戊直线退而北行至己　又于西表戌作戌干癸直线与丁戊平行此平行线内取癸立西后表人目从【己】过【癸】至甲参相直成己甲癸斜　亦从【癸】横行至【丁己】线寻【辛】立东后表此后两表【癸辛】之距为前表【戌丁】等【四歩】　又量得【辛己】为东后表距人目之数【辛丁二十二歩半】次以丁戊【十二】减辛己【二十二半】得【十歩半】为壬己景差　末以己辛【二十二半】减【己丁三十六】余【十三歩半】为前后表间之距　以表横距【四歩】乗之得【五十四歩】为表间积【即丁癸长方】　置表间积为实以景差【十歩半】为法除之得【五歩一半弱】加表横距【四歩】　　得共【九歩二分弱】为所测逺物甲乙之濶解曰前表测得成【戊乙甲】句股形内有戌乙余方与形外戌坤余方等积　后表测得【己乙甲】句股形内有癸乙余方与形外酉癸余方等积　于【癸乙】内减【戌乙】于【酉癸】内减【寅癸即丑戌】则所余之【癸丁】及【酉辰】两余方亦必等积也故以【丁癸】变【辰酉】而得【辰寅】亦即【甲庚】也 　　次明改用三表之理 　　用三表者于【丙丁】两表间増一【戌】表其实则于【戌丁】两表外増一【丙】表也前増一表而无后表则无从而得景差故以三率法求而得之其实【癸辛】即后表也其理与四表同 　　然不用【癸子】形而用【戌子】形何也曰准前论【辰酉】形与【丁癸】形等积而【午癸】形与【丁癸】形亦等积【两余方在己丙丁句股形内外故等】则【酉辰】与【午癸】亦等积矣各减同用之【卯未】则所余之【酉卯】与【卯癸】二形亦自相等积而【卯癸】原与【戌子】等故用【戌子】变为【卯酉】而得【卯寅】即得【甲申】矣是故【戌子】可名句实也 　　其以【辛丁】乗【戊丁】为股实何也曰此三率法也【丁乙】外加【丁辛】前后两测之表距故【辛壬即戊丁】外亦加【壬己】两测之景差法为壬己与辛丁若戊丁与丁乙也凖此测髙可用一表而成两测【即借前测逺之图而以横为直】 　　假如有【甲乙】髙立【丙丁】表人目在【戊】测之则表之端不相值而参相直于表之若干度如【戊】退若干歩至【己】测之正对表端【丙】其法并同 　　因看数度衍中破勾测逺条疑其图不真因作此以证明其説 　　测量图説 　　一测股六十四尺 　　八寸【壬丁】　二测 　　句四十三尺二寸 　　【丙丁】　三大股三 　　千六百八十五尺 　　二寸【乙丁即丙午】四大 　　句二千四百五十 　　六尺八寸【甲午】加【午乙】 　　得二千五百尺为甲乙之髙 　　解曰癸丁长方形即古人所谓表间积也以景差壬辛【即丑子】除之变为寅子形是寅子与癸丁同积也　而申癸形原与癸丁同积则寅子与申癸亦同积也　于内各减同用之申子而寅未与未癸亦同积矣夫未癸即氐己也是戊丁【即亥己】乗丙己之积也故可命为句实而以景差壬辛【即申未】除之得甲午句也【甲午即戌酉】其取股实何也曰三率法也表在丁其景丁戊　后表在庚则其景庚壬后表之逺于前表者为庚丁故后景之大于前景者为辛壬则其比例为辛壬与庚丁若丁戊【即庚辛】与丁乙也 　　试引癸庚至箕截庚箕如庚壬又截尾箕如壬辛于尾于箕各作与庚乙平行线而于乙作垂弧为乙牛联之作长方形又作丁心线截之作箕乙线斜分之则其理着矣 　　三角形求外切圆法 　　设如锐角形有甲丙边七十五尺甲乙边六十一尺 　　乙丙边五十六尺　问外切 　　圆径若干　畣曰外切圆半 　　径三十八尺一寸二分五牦 　　法先求得甲丁中长线六十 　　尺为一率甲乙边六十一尺 　　为三率甲丙边折半得戊甲三十七尺五寸为三率二率与三率相乗一率除之得四率【三八一二五】为甲乙圆半径 　　解曰此甲丁乙三角形与甲己戊三角形同式故其线为相比例率也若甲为钝角其理亦同 　　以甲丙折半为三率故四率亦为半径若以甲丙全线为三率则四率必得甲辛为全径矣葢甲辛丙形与甲乙丁形同式也何以见甲乙丁形与甲辛丙形同式葢两形之乙角辛角同当甲庚丙弧分则二角必相等而丁丙又同为直角则两甲角亦必等而为同式无疑矣又界角比心角所当之弧大一倍今己心角所当甲庚弧适当乙界角所对甲庚丙之一半则两角为等可知而戊为直角与丁角等则两甲角必等故甲己戊与甲乙丁亦为同式形也 　　三角举要有量法未着算例因作此补之 　　又如甲乙丙钝角形　求外切员径【甲辛】　半径【甲己】法先求得中长线【乙丁】得【乙丁丙】句股形 　　次作【乙辛】线成【甲乙辛】大句股 　　形 　　又甲乙半之于戊从员心 　　【己】作直线过戊至庚又成 　　【甲戊己】句股形 　　一率　乙丁股【形内垂线】 　　三率　甲戊股【即甲乙之半】 　　四率　甲辛【即外切员径】　　四率　甲己【即切员半径】解曰三句股形皆相似故可以三率比例求之 　　问何以知其为相似形也曰原设形之丙角与甲乙辛形之辛角所当者同为甲庚乙员分则两角等而乙丁丙形之丁角与甲乙辛大形之乙角又皆正角则余角亦等而为相似形 　　又甲己为甲辛之半甲戊为甲乙之半戊正角与大形乙正角等又同用甲角则己戊亦乙辛之半而为相似形 　　一系凡三角形求得形内垂线为法　垂线左右两原边相乗　为实　法除实得外切员径　锐钝同法假如甲乙丙钝角形求得中垂线乙丁六分为法　左右两斜边【甲乙十八分乙丙十分】相乗【一百八十分】为实　法除实得外切员径甲辛三十分　即可借用前图【分寸畸零稍为整顿】 <子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷四十九> <子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷四十九> 　　歴算全书卷四十九 　　钦定四库全书 　　厯算全书卷五十 　　宣城梅文鼎撰 　　三角形举要法卷一 　　测算名义 　　古用句股有割员弧背矢诸名今用三角其类稍广不可以不知爰摘纲要列于首简 　　防 　　防如针芒无长短濶狭可论然算从此起譬如算日月行度只论日月中心一点此防所到即为躔离真度线 　　线有弧直二种皆有长短而无濶狭自一防引而长之至又一防止则成线矣 　　如测日月相距度皆自太阳心算至太隂心是为弧线如测日月去人逺近皆自人目中一防算至太阳太隂天是为直线 　　凡句股三角之法俱论线线两端各一防故线以防为其界 　　面 　　面有方员各种之形皆有长短有濶狭而无厚薄故谓之幂幂者所以冒物如量田畴界域只论土面之大小