历算全书 - 第 151 页/共 206 页

也凡员周之角小于员心 　　一倍故也 　　论曰员周至员心正得员 　　径之半故所作角为折半 　　比例试作乙丙线成辛乙 　　丙句股形又从心作心周 　　线与辛乙平行则所作周心丙角与乙辛丙等而此心周线平剖乙丙句亦平分乙周丙于周而正得其半矣系句股形平分线作点从此作线与股平行即平分句线为两 　　又论曰查角度之法皆以切点为心作半员即见真度此不论半员大小或作于员内或作于员外并同　作于员外其度开明易于简查 　　又论曰试于所切圈心作横径线与切线平行如辛丙线引长之出员外而以查角度之线割员周而过之则皆成大小句股形而所过横线上防皆即八线中之切线为句股形之股角度斜线为横线所截处即八线中割线常为而切点至员心之半径常为句 　　如子辛角度线割横线于辛成辛心子句股形其所当角度为酉中四十五度则辛心即四十五度之切线辛子即四十五度之割线余并同　其子心即半径也又论曰角度半员有大小而子心半径常为句者以所作横线在员心欲用员度相较也若于半员之端【如中如外】作横线与切线平行其所作切线割线亦同比例而即以各半员之半径为句矣 　　不但此也即任于子心外直线上任作一横线其所作句股并同但皆以十字交处距子防之度命为半径此八线割员之法所由以立也 　　量无法四边形防法 　　甲乙丙丁形求其容　先作 　　乙丁对角线分为两三角形 　　次自丙作丙戊横线与乙 　　丁线相交于丑为十字正角 　　而取戊防与甲齐平则戊丑即甲庚也次以丙戊防折半于己　次作壬癸线与乙丁平行而等　又作壬辛癸子二线皆与己丙平行而等　得辛癸长方即原形之容 　　取平行线简法 　　法曰乙丙线欲于甲防作 　　线与之平行法于线外任 　　取巳防为心甲防为界作 　　辛甲丁庚圈分次以庚为 　　心取甲辛之度为界截员分得丁防末自丁作戊丁甲线此线必与乙丙平行矣 　　论曰凡圈内两直线相距之度等则其线必平行如【丁甲】与【庚辛】两线俱在一圈之内而所距之【甲辛】圈分与【庚丁】圈分等是相距之度等而其线平行也因读数度衍得此法似较他处为防 　　补测量全义斜坡用切线法【系勿庵补】 　　斜三角形有一角两边求余边 　　法用切线分外角求得余 　　角即以得边可不用垂线 　　如甲乙己斜角形　有乙 　　甲及己甲二边　有甲角求乙己边 　　法以己甲线引长之成乙甲丙角为原有甲角之外角【以元有甲角减半周得】次分外角之度而半之为半外角而求其切线为三率并乙甲己甲二边为首率又以二边相较为次率次率乗三率为实首率为法除之得半较角之切线以查表得半较角之度以减半外角得己角末用正法得己乙边　法为己角正与乙甲若甲角正与乙己 　　三率法 　　一　两线之和　　　己丙 　　二　两线之较　　　己丁 　　三　半外角之切线　戊癸 　　四　半较角之切线　壬戊 　　用外角者乙己两角之和度而较角者乙己两角之较度【以用切线故半之也】 　　论曰又如后图己甲引至丙而乙甲亦引至辛则乙甲丙及丁甲寅两角皆原有甲角之外角再作甲戊线平分外角则丁甲戊及寅甲戊皆半外角　又作甲壬线 　　与乙已平行则壬 　　甲癸角即同己角 　　壬甲辛角即同乙 　　角再于甲戊半径 　　之端作癸戊辛十 　　字线切员于戊则 　　戊癸及戊辛皆半外角之切线也再以壬甲癸角减壬甲辛角其较为壬甲子角则壬甲戊即半较角而壬戊其切线也 　　其比例为己丙【二边和】与己丁【二边较】若癸辛【外角全切线即乙己丁角和度之全切】与壬子【较角度之全切线】则亦若癸戊【半外角切线】与壬戊【即半较角之切线】何也全与全若半与半也 　　理分中末线 　　甲乙线求作理分中末线 　　法以甲乙全线折半于庚乃 　　作垂线于甲端为丙甲如半 　　线甲庚之度为句全线为 　　股次作丙乙线为 　　次以丙为心乙为界作乙丁圈界　次引丙甲句至丁则丙丁即丙乙也　末以甲为心丁为界作丁戊己圈分则甲己为理分中末之大分己乙为小分其比例为甲乙与甲己若甲己与己乙也 　　逓加法　借右图以乙为心甲为界运规截丁已圈分于戊自戊作线向甲成甲戊线与甲丁等乃自戊作戊乙线与乙甲等成甲乙戊三角形 　　此形甲戊两角悉倍于乙角乃平分戊角作戊辛线此线与甲戊并大亦与乙辛同大成辛戊甲相似三角形则甲乙与乙辛【即戊辛】若乙辛与辛甲也又平分辛角作 　　辛壬线与壬戊与辛甲 　　皆同大则成甲辛壬三 　　角形与辛戊甲相似则 　　乙辛【即戊辛亦即戊甲】与辛甲 　　【即辛壬戊壬】若辛甲与壬甲 　　也如此逓半则其角比例并同 　　一【乙甲】　　　二【乙戊即戊辛戊甲】　三【辛甲即辛壬戊壬】　四【辛癸即壬癸壬甲】五【癸甲即癸子壬子】　六【癸丑即丑子子甲】　七【丑甲即丑寅寅子】　八【丑卯即卯寅寅甲】九【卯甲】　若能知其数则以大分逓乗全数除之得细数 　　先得甲乙为大分而求乙己全分及 　　乙庚小分　用此图亦为半圆内求 　　容方法则以乙巳全分加乙庚小分 　　折半于戊得戊己为半径若先得戊 　　己则以戊己【即戊丁】为作丁甲戊句股使戊甲句半于丁甲股则丁甲即为戊己理分中末之大分 　　解曰甲庚【即乙己】全数与丁甲【大分】若丁甲【大分即甲乙】与甲己小分【即乙庚】也 　　以量分 　　甲乙线十数求作理分中末线 　　先依甲乙线作甲乙丁丙正 　　方形【四面皆十数】　次任用一面 　　平分之如甲丙平分于壬【甲壬 　　及壬丙皆五数】甲乙之半数也【甲丙与甲】 　　【乙等其分亦等】　次自壬向乙角作乙壬斜线其数一十一【一八○三三九】　次自壬量甲壬或丙壬之度【即甲乙之一半】移置于乙壬线上截壬癸如甲壬则其余癸乙即理分中末之大分其数六【一八○三三九】末以癸乙之度移置于甲乙线上如乙戊则乙戊为大分戊甲为小分其数三【八一九六六○】 　　简法 　　作句股形　令甲壬句如甲乙股之 　　半乃以壬为心甲为界作虚线圆分 　　截乙壬于癸 　　末以乙为心癸为界作圆分截甲乙线于戊 　　则乙戊为大分甲戊为小分 　　又简法 　　以甲乙全线为半径作半圆形则乙庚乙辛皆与甲乙等 　　次平分乙辛于己 　　次以己为心庚为界运规割甲乙 　　线于戊【戊己之度即同己庚】 　　则乙戊为大分　甲戊为小分 　　又简法 　　作子寅丑卯十字线相交于乙