历算全书 - 第 149 页/共 206 页

又论曰若壬角在线上去戊角更逺则所缺之午辰小方亦更大而其形皆相似而体势等辛角亦然 　　解几何三卷三十五题 　　甲丙乙句股形　以 　　甲乙为半径作员 　　则甲丙股为正 　　丙乙句为余 　　己丙矢为句较丁 　　丙大矢为句和 　　依句股法　较乗和开方得甲丙股而丙戊亦甲丙也故甲丙乗丙戊与巳丙乗丁丙等积也 　　几何三卷第三十五题言员内两线相交则其各分之线相乗等积即此理也 　　巳丁过员心线 　　有庚壬斜线相交 　　于丙【分丙巳及丙丁又丙庚及 　　丙壬】皆分为两法自 　　员心乙作十字线 　　至辛平分庚壬为两【辛庚辛壬】皆斜线之半 　　辛庚半线内又分辛丙为小线 　　以辛丙减辛庚余庚丙为较以辛丙加辛壬成丙壬为和 　　以大小二方相较之理言之庚辛方内有庚丙较乗丙壬和之积及辛丙方 　　乙辛庚句股形以乙庚为幂内兼有庚辛及乙辛句股二幂即兼有庚丙乗丙壬之积及辛丙乙辛二方也又乙辛丙小句股形以乙丙为则乙丙方内兼有辛乙辛丙二方而甲丙乙句股形以同庚乙之甲乙为幂内兼有甲丙及乙丙二方　此两者既等其幂必等而其所兼之辛丙乙辛二方又与乙丙方等则各减等率而其所余之庚丙乗丙壬积亦必与甲丙方等矣 　　而已丙乗丙丁原与甲丙方等则巳丙乗丙丁亦必与庚丙乗丙壬等矣 　　辛戊线　庚壬线 　　相交于丙则戊丙 　　乗丙辛与庚丙乗 　　丙壬亦等 　　何以知之曰试作 　　一丁巳过心线与 　　两线交于丙凖前论戊丙乗丙辛之积及庚丙乗丙壬之积皆能与丁丙乗乙丙之积等则亦必自相等矣 　　丁巳员径　有 　　庚壬斜线相交 　　于丙则庚丙乗 　　丙壬与巳丙乗 　　丙丁等 　　如法作乙辛及 　　乙庚线成乙辛庚句股　又成乙辛丙小句股以丙辛句减庚辛句余庚丙为较　以同丙辛句之辛戊加庚辛句成庚戊为和【即丙壬】 　　又以乙丙【即乙子亦即乙癸】减庚乙余子庚为较　又两相加成庚癸为和【即子丑】以庚子较乗庚癸和与庚丙较乗丙壬和之积必等【详后条】而巳丙即庚子丙丁即子丑【亦即庚癸】故巳丙乗丙丁与庚丙乗丙壬亦等 　　又大小方相减之理　庚乙方内兼有庚子乗庚癸之积及乙子方即如兼有庚丙乗丙壬之积及乙丙方也【乙丙即乙子】 　　而同庚乙之甲乙幂内原兼有甲丙方及乙丙方此庚乙甲乙两积内各减去乙丙方则所存者一为庚丙乗丙壬之积一为甲丙自乗积此所余两积亦必相同可知矣 　　又巳丙乗丙丁之积原与甲丙方等则亦与庚丙乗丙壬等矣 　　先解两方相减 　　寅辛大方内减子巳小方【寅辰为两方边之较卯辰为两方之和即子辛】法以小方边【乙子】为度于大方边截取【乙长乙戊】作辰午线及 　　戊未线成辰戊 　　小方与巳子等 　　为减去之积其 　　余为寅午长方 　　【即二方较线寅长乗大方邉之 　　积】及未辛长方 　　【即较线午未乗小方邉之积】 　　末取未辛长方移补丑卯之位成卯寅长方【即较乗和之积】又庚甲大方内减己癸小方【丁辛为两方较已辛为两方和亦即辛丙】如法作丁壬癸戌二线减去丁癸小方与已癸等其余辛壬壬癸两长方又移癸壬为丙壬成丁丙长方即较乗和之积也 　　凖此论之凡大小二方相减其所余者必皆为较乗和之积 　　次解两句股形相减　凡两句股同髙即可相加减【谓股数同也】 　　乙庚辛句股内减乙庚丁句股　则以丁庚句减辛庚句余【辛丁】为两句之较　又以同【丁庚】之巳庚句加辛庚句成辛已为两句之和　和乗较成丁丙长方 　　又以乙丁减辛乙余辛戊为两之较　又两相加成辛子为两之和【戊乙子乙并同丁乙】　和乗较成卯寅长方 　　此两长方者其积必等【无论乙为正角或钝角或鋭角并同】 　　何以明其然也曰依句股法乙辛上方兼有乙庚庚辛上二方又乙巳上方兼有乙庚庚巳上一方今既以乙巳上方减乙辛上方则各所兼之乙庚方巳相同而减尽故乙辛上方之多于乙巳上方者即是庚辛上方多于庚巳上方之数也 　　又所用者是两分之乙庚辛句股及乙庚已句股【即乙庚丁】故不论乙角锐钝其法悉同也 　　解几何三卷三十六三十七题 　　甲乙丙句股形　以丙乙 　　句为半径作员　则甲丙 　　股为切线　甲乙为割 　　线 　　甲乙割线内减丁乙半径 　　则甲丁为句较　甲乙割线加戊乙半径成甲戊为句和　和较相乗平方开之得甲丙股 　　几何三卷第三十六题三十七题之理葢出于此若割员线不过乙心　如甲庚　则以他句股明之法自乙心向割员线作乙巳为十字正交线则割线之 　　在员内者平分为两【子巳巳庚】并为员内线子庚之半 　　又作乙子半径成子巳乙 　　小句股则子乙小上方 　　幂兼有子巳小股乙巳小 　　句两幂又甲庚总线既分于巳则甲巳大线内减子巳小线其余甲子在员外者为较　以小线巳庚加大线甲巳成甲庚总为和 　　凡大小二方相较则大方内兼有较乗和及小方之积 　　则是甲巳幂内必兼有甲 　　子乗甲庚之长方及子巳 　　方也 　　又甲巳乙亦句股形其甲 　　乙内原兼有甲巳及乙已句股二幂即是兼有甲子乗甲庚之长方及子巳方与乙巳方也而子巳及巳乙二方原合之成一子乙方子乙即丙乙也是合丙乙方与甲子成甲寅之长方而成甲乙方也 　　又甲丙乙句股形　同以甲乙为原合丙乙方与甲丙方而成甲乙方 　　两形之甲乙方内各去其相等之丙乙方则其余积一为甲子乗甲寅之长方一为甲丙自乗方是二者不得不等矣 　　用法 　　凡测平员形　既得甲丙切线　自乗为实　以甲丁之距为法除之得甲戊之距以甲丁距减之得丁戊员径 　　若欲测庚物之在员周者亦以甲丙切线自乗为实以甲子为法除之即得甲庚之距 　　又法用两句股相加减 　　甲乙丙句股形　以乙丙句为半径作员　又以甲乙为半径作外员　自外员任取甲防作过心员径至戊　又任作一不过心斜线入内员至庚　则以两员 　　间距线乗其全线皆与 　　股幂等而亦自相等 　　如以甲丁乗甲戊或甲 　　壬乗甲庚其积皆等又 　　皆与甲丙切线上方幂等 　　法以两句股相加减 　　先自乙心作乙辛十字正线平分壬庚线于辛成乙辛甲句股 　　又作乙壬乙庚二线成乙辛壬小句股与乙辛庚等法以辛壬与甲辛相减余甲壬为两句之较 　　又相加成甲庚全线为两句之和则以甲壬乗甲庚为句之较乗和也 　　又以乙壬与甲乙相减余甲丁为两之较 　　亦相加成甲戊全线为两之和则以甲丁乗甲戊为之较乗和也 　　此句与之和较相乗两积必等 　　而甲丁乗甲戊原与甲丙自乗等【以甲丙乙句股言之也】故三积俱等 　　凖此论之凡自甲防任作多线入内员其法并同　不但此也但于外员周任作线入内员亦同如于丑作丑戊线则丑卯乗丑戊亦与甲丙幂等 　　何以知之曰试于丑作丑寅过心线即诸数并同甲戊矣而丑卯戊之于丑辰寅犹甲壬寅之于甲丁戊故也