历算全书 - 第 146 页/共 206 页

乗为实半径全数为法 　　实如法而一得四率己 　　甲即【己辛壬乙】两句之合 　　数 　　何以知之曰试引癸己 　　至丁截己丁如癸乙则丁癸即两合数也乃以癸角之正乗之半径【全】除之即得丁丙而丁戊即壬乙【以己丁即癸乙也亦即甲辛】戊丙即己辛【同在直线限内也】则所得丁丙亦即己甲矣 　　有句股和有求句求股【量法】乙甲句股和　丙甲 　　原法以甲为心作乙己卯 　　象限　又以丙甲半之 　　于丁以丁为心作甲戊丙 　　半圆 　　次于丙戊半员上任以辛为心丙为界作丙己小员屡试之令小员正切象限如己乃作己辛甲及辛丙二线则辛丙为句辛甲为股如所求按此法不误但己防正切处难真今别立法求己防 　　法曰自丁防作垂线分半圆于戊以戊为心用丙为界作丙己庚丑甲全员全员与象限相割于己从己向甲作直线割半员于辛乃作辛丙为句即辛甲为股合问如此则径得辛防不用屡试得数既易且真确矣论曰凡平员内作两通至员径两端必为句股而员径常为今既以丙甲为半员径则其辛丙与辛甲两通必句与股也而己辛甲线与乙甲等即句股和也今以辛为心作小员而其边正切己则己辛与丙辛等为小员之半径即等为句线矣于己甲句股和内截己辛为句则辛甲必为股故此法不误也 　　又论曰半员内所容句股形以半方形为最大【即甲戊丙也其余皆半长方形之句股故小】其句股和亦最大【丙戊句甲戊股相等其和甲戊庚为最大其余股长者句反甚小故其和皆小于甲戊庚】即上方幂之斜径也【甲未庚丙为上平方幂甲戊庚为其斜径】以此为象限之半径【如辰庚亥象限其半径辰甲及亥甲并与庚戊甲等】则能容上平方【如甲未庚丙平方必在辰庚亥象限内】又戊心所作平方外切之平圆亦能容上平方【此员以戊为心以平方四角为界其全径甲戊庚即平方之斜径也】三者相切于庚防惟相切不相割其余句股和并小【如乙甲和必小于辰丙】不能包平方之角即不能外切平员而与之相割矣【如乙甲和为半径作乙己卯象限不能包庚防即与平员相割如己】其自庚至丙并可为相割之己防而四十五度之句股具焉【八线表所列之句股只四十五度互相为正余句为正股即余也分言正则初度小而九十度最大也若合正余为和数则初度与九十度皆最小惟四十五度最大】己足以尽句股之变态矣【若过庚向末亦四十五度己防至此其和数反小而与前四十五度为正余】句股和之最大者以略小于上斜线而止【凡句股有和有较皆长方形之半非正半方也若半方形则有和无较可无用算非句股所设】其最小者以稍大于线而止【若同线即无句股】无有不割平圆故可以己防取之也 　　又论曰以方斜为半径作象限则能容平方以方斜为半径作半圆则能容方斜上平圆【如庚己丙甲未平圆其径甲戊庚方斜是即方斜上之平圆也若以甲戊庚半径作大半圆即能容之】凡半圆内所容之圆度每以两度当外周半圆之一度何则论度必以角惟在心之角一度为一度若在边之角则两度为一度【如辰庚亥半圆从甲心出两线一至庚一至辰作辰甲庚角其度辰庚四十五度是一度为一度也若庚己丙甲未圆从甲边出两线一遇戊至庚一至丙作庚甲丙角其度庚己丙象限只作四十五度是两度当一度以同用甲角故也】凖此论之则上半圆所作之戊甲丙角亦必四十五度矣【既同用甲角则戊辛丙象限亦两度当一度】若是则庚己丙之度与 　　戊辛丙等【并同用甲角以庚辰为度故也】而 　　己防所割之己丙弧及辛丙 　　弧亦必等度矣【己丙为方外切员之度辛 　　丙为方内切员之度大小不同而同用甲角以己乙为其 　　度角等者度亦等】 　　又引辛丙至寅则寅丑甲与辛戊甲两弧亦必等度【以同用丙角故也】而同为甲角之余【丙角原为甲角之余乃甲角减象限是以己甲乙减象限得己甲卯角与辛丙甲角等也其度则两度为一度乃甲角之倍度减半周是以寅庚减半周得寅丑甲以丙辛弧减半周得辛戊甲也】又己庚丑未弧原为己丙减半周之余即与寅丑甲等于此两弧内各减寅丑未则己庚寅与未癸甲亦等于是作己寅线与未甲等亦即与丙甲等而寅己丙与甲丙己又等【于寅己及甲己各加一己丙】则丙辛寅及己辛甲两直线亦等【皆句股和也】两和线相交于辛则交角等【皆十字正角】 　　又作己丙线成己辛丙三角形而己角丙角等【己甲丙三角形与己寅丙等则对丙甲之己角对己寅之丙角亦等】则角所对己辛边丙辛边亦等矣　凖上论己辛与丙辛必等故用己防以求辛防而和数中句股可分也 　　又论曰凡句股和所作象限与斜方上平员相割有二防其一为己其一为丑自丑作直线至甲心【象限心也】割半员于壬作丙壬线即成丙壬甲句股形与甲辛丙等【丑甲丙角为丙甲壬角之余与壬丙甲角等而其度丑卯与己乙等是丙甲辛角与壬丙甲等也辛壬又皆正角又同以丙甲为是两句股形等也】凖此论之凡半员内所作句股皆两两相似【句股之正角必负员周亦两两相对如辛防在戊丙象限内即有壬防在戊甲象限与之相对皆与象限上己防丑相应其所作句股形亦两相似】故四十五度能尽句股之变也【戊丙与戊甲两象限并两度当一度其真度在庚辰及庚亥两半象限中故皆四十五度】试以壬为心丑为界作员界必过丙是丙壬股即丑壬而丑甲为和也丑壬股大于戊丙而丑甲和小于庚甲以是知和数之大至庚甲而极也 　　凖上论又足以证己庚丑癸员能尽割员句股之理 　　句股和较 　　与句股较【相和即　加句即　减股即　内减存较和　股和　句较　句股较相较即　减句即　加股即　用减存较较　股较　句和　句股较】 　　与句股和【相和即　减即　减股即　减句即和和　句股和　句和　股和相较即　加句　加股　加句较股和较　较即股　较即句　较即】 　　与句较相和　　【加句即　减句即两　减即两　　句较　　句较】 　　相较【即句】 　　句与股较【相和即　加句股　　减股　加句较减句较和　较即　　较即句　股较即股相较即　加句股较股　加股　加句股较股句较较　较即股　　较即句　较较即】 　　句与股和【相和即　减即　减股即　减句即句和和　句股和　句和　股和 　　相较即　减股即　减即　加句即句和较　句较　句股较　股和】 　　句与句股较【相和即股】 　　相较　　【加句股　加两句股较即句　较即股】 　　句与句股和相和 　　相较【即　减股即　加股即两股　两句　　句股和】 　　句与句较相和【即】 　　相较　【加句　加两句较即句　较即】 　　句与句和相和 　　相较【即】 　　句股较句较【相较即股较】　　句股较股较【相较即句和内减两句又两股较 　　相和即股　　　　　　相和即和内减两句　　　　　　句较】 　　句较股较【相较即句股较】 　　【相和即两内减一句一股】 　　句股和句和【相较即股较】　　句股和股和【相较即句较 　　相和即两句　　　　　　　相和即两股一股一　　　　　　　　一句一】 　　句和股和【相较即句股较】 　　【相和即两一句一股】 　　句股较与【句股】和【相和即两股】　句股较与【句】和【相和即股和】　句股较与股和相和 　　【相较即　　　　　　　　　　　　　　　　　相较即两句　　　　　　　　　　　　　　　　　　句和】 　　句较句和【相和即两】　句较与【句股】和【相和即股和】　句较与股和相和 　　【相较即两句】　　　　　　　相较　　　　　　　　【相较即句股和】 　　和较和和【相和半之为句股和】　和较较和【相和半之为股 　　相较半　　　　　　　　相较半之之为　　　　　　　　为句较】 　　和较较较【相和半之为句】　　和较句较和【相和半之为句 　　相较半之　　　　　　　相较半之为股较　　　　　　　为股较】 　　和较句和较【相和半之为句】　　和较句较较【相和半之仍为和较 　　相较半之为股较】　　　　　　　相较即减尽 　　和和较和【相和半之为股和】　和和较较【相和半之为句和 　　相较半之为句】　　　　　　　　相较【半之为股】 　　和和句较和【相和半之为句和】　和和句和较【相和半之即股和 　　相较半之为股】　　　　　　　　相较【半之为句】 　　和和句较较【相和半之即句股和】　较和较较【相和半之为 　　相较半　　　　　　　　相较半之之为　　　　　　　　为句股较】 　　较和句较和【相和半之为】　　较和句和较【相和半之为股与句较或与句股较】 　　【相较半之为句股较】　　　　　　　相较恰尽 　　较和句较较【相和半之为股】　　较较句较和【相和半之为句与股较 　　相较半之为句较】　　　　　　　相较恰尽 　　较较句和较【相和半之为】　　较较句较较【相和半之为句 　　相较半之　　　　　　相较半之为句股较　　　　　　为股较】 　　句较和句和较【相和半之为】　句较和句较较【相和半之为句 　　相较半之　　　　　　相较半之为句股较　　　　　　为股较】 　　句和较句较较【相和半之为股】 　　【相较半之为句较】 　　厯算全书卷四十七 　　钦定四库全书 　　厯算全书卷四十八 　　宣城梅文鼎撰 　　句股阐微卷三 　　句股法解几何原本之根 　　句股羃与羃相等图 　　甲乙丙句股形　乙辛大方为羃　羃内兼有句股二羃 　　论曰试于羃作对角之乙 　　子线与甲丙股平行而等又 　　作丙丁对角线与甲乙句平 　　行与乙子线遇于子成十字 　　正角则丙子与甲乙句相等 　　成乙子丙句股形与甲乙丙句股形等又作辛癸及庚戊两线皆与丙丁等亦与乙子等而皆与甲丙股等又辛丁及癸庚及戊乙皆与丙子等即皆与甲乙句等则幂内所作四句股形皆与原设句股形等于是以丙丁辛形移作乙壬庚以癸庚辛形移作甲乙丙成甲丙