历算全书 - 第 142 页/共 206 页

又巳上十则　　　　　　　　　　【股】和和为一则以下九则配之得九题较较为一则以下八则配之得八题句较较为一则以下七则配之得七题股较较为一则以下六则配之得六题和较为一则以下五则配之得五题句和较为一则以下四则配之得四题股和较为一则以下三则配之得三题较和为一则以下二则配之得二题句较和为一则以下一则配之得一题 　　已上共一百四十四题学者按题而索之逐类而通之要不出于前所列之十五题也 　　又一题【后十四题尽句股之变】 　　容方与余句求余股与余股求余句因得全句全股法曰方边自乗以余句除之得余股以余股除之得余句各以所得加方边因得全句全股 　　论曰乙丁方边也自乗得乙壬方 　　即壬丑矩【论详前十六题】故以己壬【即丙未余】 　　【句】除之得子壬【即甲丁余股】以子壬除之得己壬因以己壬加壬丁共已丁即句以子壬加壬未共子未即股又法曰以余句除方边【余句小于方邉】得数即用以乗方笾得余股或以方边除余股【余股大于方邉】得数即用以除方边得余句 　　论曰方边为余句余股连比例之中率以前率余句比中率方边则方边为几倍大即以中率方边比后率余股则余股亦必为几倍大又以后率余股比中率方邉 　　则方边为几倍小即以中率方边 　　比前率余句则余句亦必为几倍 　　小故得数者得其几倍大几倍小之数也大用乗小用除 　　又二题 　　余句余股求容方因得全句全股 　　法曰余句股相乗开方得方边各以余句股加之得全句股 　　论曰子壬即余股也己壬即余句 　　也丑壬矩即乙壬方也【论详前十六题】因 　　以甲丁【余股】丙未【余句】加之得全股【甲乙】全句【乙丙】 　　又法曰以余句除余股【以小除大】得数开方得中率之比例于是以中率之比例除余股得方边或以中率之比例乗余句亦得方邉 　　论曰余句余股之于方边为连比例之前后率今以己壬余句比子壬余股得子壬为几倍大即是以己壬线上方比己壬线与子壬线上矩得丑壬矩为几倍大也而丑壬矩又与乙壬方等开方得连比例之中率者以方则边等边等则比例连故也既得连比例之中率则方边可得而知矣 　　右两题宜附前十六题之后 　　又三题 　　句股形句股较求句股 　　法曰形四倍之另以较自乗相并开方得次依前四题法求句股 　　论曰甲乙丙形四倍之即丁已甲子午丁丙未子与甲乙丙四形也乙巳为句股较 　　乙午为较上方四形与一方相并成甲子方开方得甲丙 　　又法曰形八倍之另以较自乗相并开方得句股和于是和加较折半得股和减较折半得句论曰甲乙丙形八倍之即甲丙丙丁丁己己甲四矩形也乙子为句股较乙午 　　为较上方四矩形与一方并成丑未方开方得丑壬为句股和 　　又法曰形倍之以句股较用长濶相差法求之得句句加较得股 　　论曰甲乙丙句股形倍之得乙丁矩形甲乙股乙丙句已甲较即乙已与乙丙句等丙巳为句上方丁句为句与较矩内形今试商 　　得乙丙为句乙巳加已甲为股 　　又四题 　　句股形句股和求句股 　　法曰形四倍之另以句股和自乗相减开方得次依前七题法求句股 　　论曰甲乙丙形四倍之者甲乙丙丙戊丁丁己辛辛壬甲四形并也乙壬为句股和乙巳为和上方内减四形并余甲 　　辛丁丙方开方得甲丙 　　又法形八倍之另以句股和自乗相减开方得句股较于是用加和折半为股用减和折半为句 　　论曰甲乙丙形八倍之者即甲丙丙丁丁辛辛甲四矩形并也午戊为和戊壬为和上方内减四矩形并余子乙未丑 　　方开方得子乙为句股较 　　又法曰形倍之以句股和用长濶相和法求之得句句减和得股 　　论曰甲乙丙句股形倍之得乙巳 　　矩形甲乙股乙丙句并之为和今试 　　商得乙丙为句用减和余甲乙即股 　　又五题 　　句股形中求从直角【句股相联处】至作垂线【与相交为直角】分元形为两句股形 　　法曰上方句上方并之内减股上方余半之以除之得数为上作垂线之处于是以所得数与句依句求股法作垂线 　　论曰甲乙丙元形求从直角作乙午线为甲丙之垂线甲丙也甲丑上方也乙丙句也乙己句上方也 　　甲乙股也乙辛股上方也夫乙辛方中之子未方乙午 　　线上方也乙巳方中之丁申方亦 　　乙午线上方也即两方等矣又乙 　　辛方中之子辛未磬折形甲丑方 　　中之午壬方也今于甲丑乙巳两 　　方中减乙辛方即于两方中减丁申方与午壬方也两方中所存者为申巳丁磬折形午丑壬磬折形矣而申巳丁磬折形又与丑卯方等半之即得午丑矩故以丙丑除之得丙午【若乙辛方与甲丑方并内减乙巳方余半之以除之得甲午同上论按此法不但可施诸句股直角形凡鋭角钝角形俱可用此法求垂线】 　　又法曰句股相并得数相减得数两得数相乗以除之得数用减余半之得数为上作垂线之处 　　如图甲乙丙形甲乙股乙丙句相 　　加得甲丁相减得甲巳甲丁与甲 　　巳相乗得数以甲丙除之得甲 　　子用减余丙子半之于午即午防为上作垂线之处一论曰甲丁偕甲已矩内形及乙巳上方形并与甲乙上方形等如图壬丁矩甲丁偕甲巳矩内形也【甲壬与甲巳等】辛甲未磬折形即壬丁矩也【壬未矩与辛丁矩等】未辛方 　　乙巳上方也并之得甲戊方即甲乙上方 　　二论丁已甲线贯圜心于乙庚甲线切圜周于庚乙庚甲为直角夫丁甲偕巳甲矩内形与甲庚线上方形等何则乙庚庚甲两线上方形与乙甲线上方等而丁甲 　　偕巳甲矩内形及乙已上方并亦与 　　乙甲线上方等【一论之图可见】此两率者每 　　减一相等之乙庚乙巳两线上方则 　　甲丁偕甲巳矩内形与甲庚线上方形必等 　　三论曰丙甲线不贯圜心于乙庚甲 　　线切圜周于庚乙庚甲直角形乙午 　　甲亦直角形两形合一乙甲则乙 　　庚庚甲两线上方并与乙午午甲两线上方并必等又乙午子直角形则乙午午子两线上方并与乙子线上方等夫午甲上方形中原有【一论之图可见】丙甲偕子甲矩内 　　形及午子上方形今于乙甲上方形 　　中减乙庚上方形即减去同乙庚之 　　乙子上方同乙子之乙午午子两线 　　上方然则所余之丙甲偕子甲矩形与甲庚上方形必等四论曰前甲丁偕甲巳矩内形与庚甲上方等【二论之图】甲丙偕甲子矩内形与庚甲上方亦等【三论之图】则两矩形自 　　相等而等角防之各两边彼此互相 　　视何则试引戊子壬己两线相遇于 　　丑而成甲丑形夫甲戊与甲丑两形 　　同在戊丑丙己两平行线内等髙则两形之比例若其底甲丙与甲己之比例依显甲壬与甲丑两形之比例亦若其底甲丁与甲子之比例夫甲戊与甲壬两矩形元等则甲戊形与甲丑形即甲壬形与甲丑形也即甲丙与甲己之比例亦即甲丁与甲子之比例也更之则甲丙与甲丁之比例亦若甲己与甲子之比例 　　于是以甲丙为一率甲丁为二率 　　甲己为三率二三率相乗一率除 　　之得四率甲子也既得甲子用减 　　甲丙余丙子半之于午得午防为上作垂线之处何则试作乙子线与乙丙同为圜之半径即等而成乙丙子两边等角形则午点折丙子之半必是直角【此法不但可施诸句股形凡鋭角钝角形俱可用此法求垂线】 　　右既得乙午垂线即分甲乙丙原形为甲午乙乙午丙两句股形此两形者自相似亦与元形相似 　　又六题 　　句股形中求依一边容方 　　法曰先依又五题法求形中垂线次以与垂线相乗得数并与垂线为法除之得方边 　　论曰甲乙丙元形乙丁为垂线求依甲乙作方边如子丑而成子午方形夫甲乙丙元形与己乙午分形相似何则以己午与甲丙平行故也次观己午与未丁等即乙未 　　与己午并是乙丁垂线也然则乙丁偕甲丙并而与甲丙若乙未偕己午并【即乙丁垂线】而与己午 　　又法曰垂线自乗并与垂线为法除之得数用减垂线得方边 　　论曰乙丁偕甲丙并【一率】而与乙丁【二率】若乙未偕己午并【三率即乙丁】而与乙未【四率】于是以乙未减乙丁余未丁即方边【此法不但可施诸句股形凡鋭角钝角形俱可用】 　　又七题 　　句股形中求分作两边等三角形二 　　法曰半之即是两边等之一边 　　论曰甲乙丙形半于丁于是以丁为心甲丙为界作圜必切乙角得乙丁与 　　半等因成乙甲丁乙丙丁两形皆两边等三角形也 　　又八题 　　斜三角形中求作中垂线分元形为两句股形 　　法具又五题 　　又九题 　　斜三角形中求积 　　先分别是锐角形或是钝角形【若是正角形法以句股相乗半之即得】法曰大中小三边用小中两边依句股求法求之若求得数小于大边即是鋭角形大则是钝角形 　　鋭角形求积法曰任取一角依又五题求中垂线【鋭角形求中垂线任取一角皆在形内】分元形为两句股形次以两分形句与股各相乗半之得积 　　论曰甲乙丙鋭角形先求得乙丁中垂线分为甲丁乙乙丁丙两句股形次以