历算全书 - 第 141 页/共 206 页

法同八题 　　十题 　　句较股较求句股 　　法曰先以两较相减得即为句股较次以两较各自乗相并内减句股较自乗余开方得和较【和句股和也】于是加股较得句加句较得股以句较加句或以股较加股得 　　论曰甲乙丙句股形甲丙也甲巳即股也巳丙股较也甲壬即句也壬丙句较也壬己句股较也今试引甲壬句至丁令甲丁为句股和即丙丁为和较也次作甲戊为和上方午未为句较上方午子为股较上方【即庚辰方】两较上方相并共为午未辰磬折形内减 　　未子句股较上方余辰午癸磬折形 　　即戊午和较上方何则试观丑午 　　已磬折形句上方也子戊形亦句上 　　方也今于丑午已磬折形中减丑申及辛巳两矩形即是于子戊形中减卯子亥磬折形也然则所余之辰午癸磬折形非即戊午方乎 　　又法曰两较相乗倍之开方亦得 　　和较以下同前法 　　论曰甲乙丙句股形试引甲丙至丁 　　得甲丁为句股和甲戊为和上方【甲未股未丁句】丁子己子句也丁辛己壬也子辛子壬句较也未子亥子股也未申亥卯也子申子卯股较也然则卯辛与申壬两矩形即是两较相乘倍之之数也此两矩形者即戊午和较上方【丙丁为和较】何则未申亥磬折形句实也子戊方形亦句实也今试于未午亥磬折形减辛丙庚亥两矩形【辛未及亥壬皆是和较】及子午方即是于戊子方中减癸子丑磬折形也然则卯辛与申壬两矩形非戊午方乎 　　十一题 　　句股较句较求句股【句短股长看此题】 　　法曰先以两较相减得即为股较次以两较各自乗相减余为实倍股较为法用长濶相差法求之得句句加句股较得股句加句较得 　　论曰甲乙丙句股形丙乙股丙戊句 　　丙巳戊乙句股较戊己句较乙 　　巳股较乙丁亦为句丙丁为句股 　　和丙庚为和上方辛壬为句股较上方辛子为句较上方两较上方相减余丑子午磬折形夫乙子卯磬折形句实也壬庚方亦句实也今于壬庚方中作未庚未申两矩形与己丑寅卯两矩形等即所余壬申形与丑 　　子午磬折形等矣于是依壬申形作 　　壬亥形此形壬酉为长壬癸为濶与 　　壬辰等即辰未未酉为股较之倍 　　为长濶之差 　　按此法句股较句较相减得股较即三较皆备矣十题第一法句较股较相减得句股较即三较亦皆备矣既皆备三较则法可互用特以就题立法则法固各有攸属耳 　　十二题 　　句股较股较求句股【股短句长看此题】 　　法同十一题 　　十三题 　　句和股和求句股 　　法曰两和各自乗相并两和相减即为句股较自乗用减相并数余开方为和和【和也句股和也和和与句股和相并也】于是内减句和得股内减股和得句内减句股得 　　论曰甲乙丙形甲乙股也丁乙股 　　和也乙午股和上方也乙丙 　　句也丙子句和也丙未句和 　　上方也甲丙也丙丑股也丑巳 　　句也甲己和和也甲壬和和 　　上方也乙午丙未两方并较甲壬 　　方则两方多一句股较自乗之数何则试观甲壬方中股句三方即乙午丙末两方中句股三方也甲壬方中股矩二句矩二即乙午丙未两方中股矩二句矩二也无或异也所异者惟甲壬方中余句股矩二与乙午丙未两方中余方一则方一与句股 　　矩二其较为句股较上方何则试 　　观另图甲丙也甲丁上方也 　　甲乙股也乙丙勾也甲乙丙形句 　　股矩形之半也而丙巳丁丁子丑 　　丑午甲三形皆与甲乙丙形等共 　　四形即得句股矩之二也中余乙巳子午方即句股较上方然则乙午丙未两方并较甲壬方不多一句股较上方乎故于两方中减之即得甲壬方也 　　又法曰两和相乗倍之开方得 　　和和以下同前法 　　论曰甲乙丙形乙丁股和也丁 　　午句和也乙午两和矩内形也丙子句和也丙辛股和也丙未两和矩内形也甲丙也丙丑股也丑 　　巳句也甲己和和也甲壬和 　　和上方也乙午丙未两矩形与甲 　　壬方形等者两矩形中有两方 　　甲壬形中有方一股方一句方 　　一亦即两方也两矩形中有股 　　矩二句矩二句股矩二甲壬形亦有股矩二句矩二句股矩二也然则乙午丙未两矩形不与甲壬方形等乎 　　十四题 　　句股和句和求句股 　　法曰先以两和相减得即为股较次以两和各自乗相减余为实倍股较为法依长濶相差法求之得句句减句股和得股句减句和得 　　论曰甲乙丙形甲丁句和也甲戊句和上方也巳丁句股和也子戊句股和上方也两和之较为甲巳两方之较 　　为壬甲丑磬折形此形中午甲未磬折形句实也癸戊方形亦句实也夫癸戊方形与壬甲丑磬折形其余为辛未午丁两矩形今试作癸寅寅申两矩形与之等即戊申矩形与壬甲丑磬折形等矣此戊申矩形戊庚为濶即句与庚癸等癸卯卯申为倍数为长濶之差 　　十五题 　　句股和股和求句股 　　法同十四题 　　十六题 　　句股形中求容方 　　先论曰凡于句股形中依句股两边作方形或矩形则作形之外所余之角形二自相似亦与元形相似如图甲乙丙元形作壬丁乙子方形则此形之外所余甲丁壬及壬子丙两角形自相似何则谓甲丁与壬子相似丁壬与子丙相似也若 　　作壬丁乙子矩形亦然又此两形之各两边与元形之两边相似何则谓甲丁壬子两边与甲乙边相似丁壬子丙两邉与乙丙边相似也于是遂生求容方之法如左【独不能生求容矩之法者以容方则甲丁丁壬两邉即甲乙邉壬子子丙两邉即乙丙邉也若容矩则否】 　　法曰句股相乗为实并句股为法除之得方边 　　论曰甲乙股乙丙句相乗得甲丙矩即未午矩矩之甲 　　午边甲乙股乙午即句乙子即方 　　边何则甲丙为甲丙矩形之对 　　角线亦为甲壬壬丙矩形之对角线则甲乙丙与甲丑丙甲丁壬与甲未壬壬子丙与壬亥丙各角形自相等今于甲乙丙甲丑丙相等之两形中各减去相等之角形所余之乙壬方与壬丑方必等次于两方各加一同用之子亥矩则乙亥矩与子丑矩亦必等而子午矩与乙亥矩等亦即与子丑矩等然则甲丙矩不与未午矩等乎 　　又法曰句自乗为实并句股为法除之得余句用减句余即方边 　　论曰甲乙丙句股形乙丙句自乗 　　得乙丁方即未已矩形形之戊丙 　　即股丙巳即句丙子即余句乙子即方边何则丑丁形即子巳形也壬乙形即壬戊形也然则乙丁方即未巳矩也 　　十七题 　　句股形中求容圆 　　法曰句股相乗倍之为实句股共为法除之得容圆径【或句股相乗为实句股共为法除之得容员之半径　或句股相乗半之为实句股并而半之为法除之得容圆之半径】 　　论曰试于形之三边截取己子未 　　三防令乙子与乙巳等甲巳与甲 　　未等丙未与丙子等次于已子未 　　三防各作己丁未丁子丁三线为 　　形三边之垂线必相遇于丁而相 　　等何则试先就己甲未丁四边形论之甲巳甲未两边等己未两角皆正即巳丁未丁两线必等依显未丁与子丁两线子丁与巳丁两线亦必各等然则丁即圆心三线即圆之半径矣果何术以求之乎曰试作甲丁丙丁乙丁三对角线平分甲乙丙三角及丁角因平分三个四边形为六个三边形各两相等次引乙丙至壬令丙壬与甲已等则乙壬线为甲乙丙三边之半何则乙子者乙子乙巳之半丙子者丙子丙未之半丙壬者甲未甲巳之半然则乙壬者甲乙丙三边之半矣次引长巳丁线至亥令己亥与乙壬等必相与为平行次作壬亥丙午两线与子丁线等而相与为平行末作丙亥对角线则乙亥矩形与甲乙丙元形等何则乙巳丁子方形在元形之内丙子丁角形亦在元形之内丁午丙角形虽不全在元形之内然即丙未丁形而倒置之凑合丙子丁形而成子午矩形者也至于壬午矩形全在元形之外然亦即甲巳丁甲未丁两形颠倒凑合而成者也然则乙亥矩形与甲乙丙元形等矣于是以句股相乗半之得甲乙丙元形即乙亥矩形以乙壬三边之半分之得子丁为圆半径或以三邉之全分元形之倍亦 　　得圆之半径或三边之全分元形 　　之四倍得全圆径也 　　又法曰句股三边半之内减 　　得圆之半径【或倍用减三邉之全得全圆径】论曰甲乙丙元形之乙角既是正 　　角乙子丁乙已丁两角又是正角即子丁己亦必正角然则子丁己乙形必是正角方形而四边等矣即乙巳乙子两边必与丁己丁子圆之两半径等矣此乙已乙子之两边果何术以求之乎依前论乙壬线为三边之半而丙壬即甲未也丙子即丙未也则子壬线即甲丙也于是子壬减乙壬三边之半得乙子即圆之半径若倍数用减三边之全得全圆径 　　又法曰句股并以减之得全圆径 　　论曰如前图乙丙句也丙壬与乙巳并即甲乙股也何则以丙壬与甲巳等故也壬子即甲丙也何则以丙壬与甲未等丙子与丙未等故也于是以子壬减壬己句股并得子巳为圆之全径何则以乙子与子丁等乙巳又与乙子等故也 　　巳上十七题除求方求圆二题余十五题已尽句股之蕴矣然论其题则不止于己上十五题也今反覆推之凡得一百四十四题虽究其归不出于己上十五题之法要亦不可不备使习者得以按题而索之逐类而通之也 　　勾股较勾股和　句股较句和　句股较股和句较句和　句较句股和　句较股和股较股和　股较句股和　股较句和已上共九题 　　【句】和和 　　较较　　　句较较　　　股较较 　　和较　　　句和较　　　股和较 　　较和　　　句较和　　　股较和 　　巳上十则各以　　　　　　　　　　　【股】三则配之得三十题 　　各以　　　　　　　　　　　　　【股和】三则配之得三十题 　　各以　　　　　　　　　　　　　【股较】三则配之得三十题