历算全书 - 第 143 页/共 206 页

甲丁与丁乙丁乙与丁丙各相乗得丁戊与丁己两矩形各半之得甲乙丙形之积【或以乙丁因甲丙之半亦得或以甲丙因乙丁之半亦得】钝角形求积法【于钝角至对边作垂线则垂线在形内法同前】于鋭角至对边作垂线则垂线在形外而引对边出形外凑之曰大边上方内减中小两边上方余半之以中边除之得引凑数与小边为股求句得垂线【或以小邉除半数得引凑数与中邉为句求股亦得垂线】既得垂线则与引凑数凑成一小句股形又以垂线与引凑数偕元形之边凑成一大句股形大小两句股形相减得所求 　　论曰甲乙丙钝角形【乙为钝角】求从丙鋭角作丙丁垂线而引乙丁线以凑之【从甲角作垂线亦在形外兹不备述】夫甲丙上方元包 　　丙丁与甲丁两边上方今于甲丙上 　　大方中减乙甲乙丙上两方即是减 　　丙庚与子午两方为乙丙上方减甲 　　子方为甲乙上方也而所存者为丁 　　子子辛两矩形矣半之为子丁一矩 　　形以中边乙子除之得乙丁为引数 　　也丙丁乙为小句股形丙丁甲为大 　　句股形两形相减得甲乙丙斜三角形积 　　又法曰三边数并而半之以每边数各减之得三较数三较连乗【任以二较相乗得数又以一较乗之】得数又以半数乗之得数开方得积 　　如后图甲乙丙元形求其积 　　一图　　　　　　　　一论曰壬乙矩形与元形等 　　论同前十七题所论乙亥矩 　　形与甲乙丙元形等 　　二论曰丁心方与乙戊相乗又与乙戊相乗开方与乙 　　二图　　　　　　壬矩形等如图子壬二丑壬三相 　　乗得六为子丑矩形今以子壬二 　　自乗得四为子卯方即壬寅边以 　　丑壬三乗之得十二为丑寅矩形又以三乗之得三十六为辰寅矩形即午丑方形故开方得辰午六与子丑 　　三图　　　　矩形等 　　三论曰丁心偕戊庚矩形与乙丁相乗其所得数与丁心方偕乙戊相乗所得 　　数等何则乙丁心形与乙戊庚形相似之形也戊庚与丁心若乙戊与乙丁则戊庚偕丁心矩形【即庚未矩形】与丁心方【即己戊方形】亦若乙戊与乙丁也 　　四论曰丙丁偕丙戊矩形与丁心偕戊庚矩形等【就一图观之】何则心丁丙形与丙戊庚形相似之形也夫庚乙线平分丁乙甲角庚戊为丙戊之垂线则戊为直角次依丙戊线截取丙卯线作卯庚线为丙卯之垂线则卯为直角此庚乙庚戊庚卯三线必相交于庚防三线既相 　　交于庚点则丙庚线必平分 　　卯丙戊角而卯丙戊角又即 　　己心丁角因得心丁丙形与 　　丙戊庚形为相似之形也两形既相似则丁心与丁丙若丙戊与戊庚也 　　解庚乙庚卯庚戊三线必相交于庚点所以然之故庚心乙界作圈　次依甲乙丙形作丙丁辛形　次引乙丁线至癸引辛甲线至壬乙庚线平分丙乙甲角则 　　庚防必是圈心戊防折乙癸线之 　　半则戊防必直角　卯防折壬辛 　　线之半则卯防必直角　乙癸与 　　乙己等　乙丙辛丙为大边甲丙 　　丁丙为中边甲壬丁癸即小边 　　总论曰二论丁心方与乙戊相乗又与乙戊相乗所得数开方与乙壬矩形等夫乙戊半数也亦既得之矣次欲求丁心与乙戊相乗而丁心不可得　三论丁心戊庚矩形与乙丁相乗所得数与丁心方偕乙戊相乗所得数等夫乙丁三较之一也则又得之矣次欲求丁心与戊庚两线而两线又不可得　四论丁丙偕丙戊矩形与丁心偕戊庚矩形等夫丁丙丙戊三较之二也则尽得之矣　今法于四论用丁丙偕丙戊二较相乗于三论用乙丁一较乗之于二论用乙戊半数乗之开方得数与乙壬矩形等 　　又十题 　　斜三角形中求容圆 　　法曰先依又九题求积次取三边数并而半之用除积得员之半径【或置二较连乗数以半数除之得开方亦得圆半径】 　　论曰先依又九题求得乙壬矩 　　形为甲乙丙元形积次以乙戊 　　除之【即三边数之半也】得丁心即圆之半径【若以三边之全除元形之倍亦得圆半径若以三边之全除元形之四倍得圆全径】 　　又十一题 　　斜三角形中求容方 　　法同又六题 　　又十二题 　　斜三角形有三和数求三边 　　法曰三和数相减得三较数各置三较数各以非所较之边加减之各半之其加而半者得大边或中边减而半者得小边或中边 　　如图戊己庚为三和数【戊为大中两和数己为大小两和数庚为小中两和数】甲为戊庚两和之较乙为己庚两和之较丙为戊己两和之较于是置甲较数以己为非所较之边加而半之得大边减而半之得小边置乙较数以戊为非所较之边加而半之得大边减而 　　半之得中边置丙较数以庚为非所较之边加而半之得中边减而半之得小边 　　论曰戊者大中两和数也加减用乙者乙为己庚两和之较庚者小中两和数己者大小两和数此两和数中皆有相等之小数而余为大中两数矣此乙所以爲大中两数之较也余仿此 　　又十三题 　　句股测髙【测逺测广测深同法】 　　法曰先准地平【地平者必令所测地面自所测之处至髙之根如水之平也】次立表与地平为垂线退后立望竿令所测髙表尖竿头叅相直末自竿至髙根量得若干逺然后以表竿差与逺相乗而以表竿相去若干除之加竿长若干得所求之髙如图丙乙髙乙甲逺丁甲竿己戊表己子为表竿差戊甲为表竿相去夫丁子己形与丁辛丙形相似故丁子与己子若丁辛 　　与丙辛也 　　又十四题 　　句股重测髙逺【测广测深同法】 　　法曰若无髙根之可量者则用重测法谓一次立表竿令表竿与髙叅相直二次立表竿令表竿与髙防相直【两表两竿要各相等又要或前或后立成一直线】然后以表竿之较乗两表相去而以两表竿相去之较除之加表髙若干得所求之髙又以前表竿相去乗两表相去而以两表竿相去之较除之加前表竿相去得所求之逺 　　如图甲乙髙乙丙逺各不知数用重 　　表测之　丁子为前表己丙为望竿 　　子丙为表竿相去甲丁己三防叅相 　　直午壬为后表丑辛为望竿壬辛为 　　表竿相去甲午丑三防叅相直丁亥为表竿之较子壬为两表相去未辛为两表竿相去之较己上用以测髙借丁卯【元是表竿相去】为表竿相差借卯己【元是表竿相差】为表竿 　　相去辰戊亦借为表竿相差戊癸亦借为表竿相去甲辰癸三防亦叅相直丁辰亦借为两表相去与丁午等即庚癸亦为两表竿相去之较与辛未等以上用以测逺解庚癸线与辛未线必等所以然之故 　　如图甲乙矩内形甲乙为对角线丙丁及戊己两线与 　　矩形之边为平行而交角线 　　于庚　次任作辛壬线亦交 　　角线于庚　次截甲癸线与 　　甲辛线等作癸子线亦交角 　　线于庚则子乙线与壬乙线必等 　　论曰试作午丑及午未两线与甲辛及甲癸相线为平行夫庚甲辛及庚午丑两角形相似之形也则庚甲与庚午若甲辛与午丑依显庚甲与庚午若甲癸与午未然则甲辛与甲癸亦若午丑与午未夫午丑与午未如是则子乙与乙壬亦如是矣 　　先论甲乙矩形此形甲己为对角线寅卯申亥两线交于角线上之丁防则卯申矩形与亥寅矩形等 　　次论甲丑矩形此形甲丑为对角 　　线寅酉房壬两线交于角线之午 　　点则房酉矩形与寅心矩形等 　　末总论曰夫房酉矩形与寅心矩 　　形既等而午井形又与卯申形等即亦与亥寅形等然则房酉矩形中所余之井酉形与寅心矩形中所余之丁心形必等 　　于是以丁亥表竿相差乗丁午两表相去得丁心矩形即井酉形而以井女两表竿相去之较除之得女酉加酉辛表共女辛即甲乙髙 　　先论甲己矩形同前 　　次论甲癸矩形此形甲癸为对角线申氐戊亢两线交于角线之辰防则亢氐矩形与戊申矩形等 　　末总论曰夫亢氐矩形与戊申矩形既等而辰牛形又与亥寅形等即亦与卯申形等然则亢氐矩形中所余之牛氐形与戊申矩形中所余之丁戊形必等 　　于是以丁卯表竿相差乗丁辰两表相去得丁戊矩形即牛氐形而以牛危两表竿相去之较除之得危氐加氐癸表竿差共危癸即乙丙逺也 　　求髙又法　既得危氐线即以亢牛乗之得牛辰形此形即寅亥矩形亦即申卯矩形也故以丁卯除之得丁申髙 　　求逺又法　既得女酉线即以房井乗之得井午矩形此形即申夘矩形亦即寅亥矩形也故以丁亥除之得丁寅逺 　　歴算全书卷四十六 　　钦定四库全书 　　厯算全书卷四十七 　　宣城梅文鼎撰 　　句股阐微卷二 　　句股积求句股句股积与较较求诸数 　　第一法