历算全书 - 第 140 页/共 206 页

厯算全书卷四十五 <子部,天文算法类,推步之属,历算全书> 　　钦定四库全书 　　歴算全书卷四十六 　　宣城梅文鼎撰 　　句股阐微卷一 　　句股正义 　　首题 　　句股者横曰句纵曰股【亦可云勾纵股横】斜曰三线相聨而成句股形也 　　如图甲乙丙形甲乙为股乙丙为句甲丙为亦可云【甲乙为句乙丙为股】也　凡三角形或三角俱鋭或两鋭一钝或两鋭一 　　正【鋭钝正説具三角形算法中】句股形者两鋭一正形也其句股两线纵横相遇而成者为正角如乙防句两线及股两线相遇而成者为鋭角如甲丙两防　此三线者或三线俱不等其最大者必或两线等其等者必句股而无三线等何者以句股形一角正故也 　　一题 　　句股求 　　法曰句股各自乘并之开方得 　　如图甲乙句自乘得乙丁方乙丙股自乗得乙戊方两方相并即甲巳方开之得甲丙 　　论曰试移庚实形补辛虚形移丑实形补卯虚形移壬实形补子虚形移卯午实形补壬辰虚形所移者恰尽所补者恰足得乙丁与乙戊两方并恰与甲巳方等又论曰更以句与股相等之形观之夫句与股既等则句股各自乗固方也即句股互相乗亦方也【凡句股不等则句股互相乗必是矩形】如丁戊大方平分方边于方形中纵横作线中分四 　　小方形必等又句与股既等则上方边为句股各自乗两方之对角线亦为句股互相乗两方之对角线如于四小方形中作四对角线相聨而成一中方形也此中方形者割小方形四之半即涵小方形二之全就此图观之尤为明显 　　又法曰句与股相乗倍之另以句股差自乗并入倍数开方得 　　论曰甲乙股乙丙句相乗得乙丁矩形中分为庚戊两形夫庚形即辛形也倍之者再加癸卯两形也乙丙为句丙巳 　　为股乙巳为句股差自乗得乙子方并入倍数共成甲壬方为甲丙上方也 　　又法曰句自乗倍股依长濶相差法求之得股差加股为 　　论曰甲乙丙句股形甲丙也丁已亦也丁戊上方也乙丙股也乙壬亦股也乙子股上方也余乙戊子磬折形即句自乗之数也而已壬矩与乙丑矩等即丙戊矩亦 　　句自乗之数也此丙戊矩形中乙丙为股加乙壬为倍股曰长濶相差者丙午为长午戊为濶与壬午等即壬丙倍股为长濶之差也依法求之得壬午为股差 　　二题 　　句求股 　　法曰自乗内减句自乗余开方得股 　　论曰一题句股求苐一法句股各自乗并之即自乗数则自乗数中有句股各自乗之数也今于自乗数中减去句自乗所存者即股自乗数矣就一题之图观之自见 　　又法曰句相并得数相减得数两数相乗得数开方得股 　　如图甲乙丙句股形乙丙句甲乙股甲丙与乙丙相并即乙丁线相减即乙巳线【乙巳与乙子等】两线【乙丁乙子】相乗得子丁矩即 　　甲乙股上方 　　论曰己午方者已丙线上方即甲丙上方也内减子午形为乙丙句上方所存卯巳未磬折形即甲乙股上方矣而巳未矩又与丁卯矩等则丁子矩形即卯巳未磬折形矣亦即甲乙股上方矣 　　又法曰句自乗倍依长濶相和法求之得股差用减得股 　　论曰甲乙丙句股形甲丙也丁己亦也丁戊上方也乙丙股也乙壬亦股也乙子股上方也余乙戊子磬折形 　　即甲乙句自乗之数也而己壬矩与乙丑矩等即丙戊矩亦甲乙句自乗之数也此丙戊矩形中乙午为乙丙并午戊为倍曰长濶相和者丙午为长午戊为濶即丙午午戊并为长濶相和也依法求之得壬午为股差 　　三题 　　股求句 　　法同二题句求股 　　附长濶相和法 　　如图丁乙矩形积九百七十二尺丁甲为长乙甲为濶两边之和共六十三尺求甲丁甲乙二边各若干　法以和数 　　自乗得三千九百六十九尺次以积四倍之得三千八百八十八尺与和自乗相减存八十一尺开方得九尺【即丁甲乙甲二边之较数】以与和【六十三尺】相并折半得三十六尺为甲丁长边又与和相减折半得二十七尺为甲乙矩边长濶相差法【图同上】 　　丁乙矩形积九百七十二尺甲乙为濶戊乙为长丙戊九尺【乙丙即甲乙】为长濶相差数甲乙戊乙二边各若干法以较数【九尺】自乗得八十一尺次以积四倍之得三千八百八十八尺与较自乗相并得三千九百六十九尺开方得六十三尺【即戊乙甲乙二边之和数】以与较九尺相并折半得三十六尺为戊乙长边又与较【九尺】相减折半得二十七尺为甲乙短边 　　解曰甲午矩形作乙丙对角线成甲乙丙句股形甲丙长句也甲乙濶股也丙丑长濶和也【甲丑即乙甲】自乗得丙 　　子大方四倍矩积也并大方内戊丁 　　庚辛四矩形之积【大方内所容四矩俱与元形等如丙 　　壬矩即甲午矩其八句股形亦俱等元形】相减存己壬小 　　方开方得巳未边即甲乙甲丙二边之较数也【卯亥即甲乙股卯壬即甲丙句则壬亥为两边较数即长濶相差也】既得较数与所有和数相加减得甲乙甲丙二边矣 　　若长濶相差法是先有巳未较数故以上法反用之求得丙丑和得丙丑亦得甲乙与甲丙矣 　　四题 　　与句股较求句股 　　法曰自乗倍之较自乗用减倍数余开方得句股和于是和加较半之得长股和减较半之得短句 　　论曰甲乙丙句股形甲乙句也乙丁句上方也乙丙股也丙戊股上方也两方并共为上方辛壬亦句上方 　　庚已亦股上方两方并亦共为上 　　方此即自乗倍之之数也而两句 　　方两股方并为丙己大方则中间重 　　叠庚戊方矣此何方乎曰戊子即句股较也庚戊方即较上方也减之而重叠者去矣所存者为句股和上方矣故开之得丙丑为句股和也 　　又法曰自乗内减较自乗余半之以较为长濶相差法求之得短句加较得长股 　　论曰甲乙丙句股形甲丙也甲丁上方也巳子较也己丑较上方也两方相减余壬辛午未四形半之余午未二 　　形而午形又即戊形则是余未戊二形也此未戊二形者句股矩内形也故以巳子较用长濶相差法求之得子丙短句句加较得巳丙长股 　　五题 　　股与句较求句 　　法曰股自乗内减较自乗余半之以较为法除之得句句加较得 　　论曰甲乙丙句股形甲丙也甲丁上方也甲巳较也甲戊较上方也庚甲辛磬折形股自乗数也内减甲戊较上 　　方所余丙戊戊壬两形即为句与句较矩内形者二矣取其一如丙戊形以戊己较除之得己丙句【或不用折半倍较为法除之亦同】 　　又法曰股自乗以较为法除之得句和于是加较折半得减较折半得句 　　论曰甲乙丙句股形甲丙也甲丁上方也丙己亦句也丁戊句上方也所余庚甲辛　折形即股自乗数也而壬辛形与戊丙形等即壬己矩形亦股自乗数也以甲巳较除之得甲壬为句和也 　　又法曰股自乗较自乗相并倍较为法除之得减较得句 　　论曰甲乙丙句股形甲丙也甲丁上方也丁己为句上方即戊甲辛磬折形为股上方矣又己丙矩与庚壬矩等 　　即甲辛子磬折形亦股上方也加甲子较上方共得辛丑矩形其庚辛边即是倍较 　　六题 　　句与股较求股 　　法同五题 　　七题 　　与句股和求句股 　　法曰自乗倍之内减句股和自乗余开方得句股较于是较加和半之得长股较减和半之得短句 　　论曰甲乙丙句股形丙丁句股和也丁子和上方也丁午未子两句上方丙丑壬巳两股上方此即自乗倍之之数 　　也以较丁子和上方则其中重叠一壬丑方矣而此方之边即是句股较 　　又法曰句股和自乗内减自乗余半之以句股和用长濶相和法求之得句股 　　论曰丙丁为句股和丁巳为和上方午乙壬磬折形即上方两方相减余午丑壬磬折形分为午丑及丑壬两形形 　　之两边即句股 　　八题 　　股与句和求句 　　法曰句和自乗内减股自乗余半之以句和除之得句用减句和得【或不用折半倍句和除之亦同】 　　论曰甲乙丙句股形甲丁为句和甲巳为和上方又甲午为上方甲子为句上方即未午壬磬折形为股自乗而子丙矩与午辛矩等即戊辛矩形亦股自乗也于和方中减之所存者为未丁及戊己两矩形矣形之一边如甲丁即句和其一邉如甲未即句 　　又法曰股自乗得数以句和除之得句较于是用加句和半之得用减句和半之得句 　　论曰甲乙丙句股形甲丁句和也甲戊上方也戊己句上方也即午甲未磬折形为股自乗矣而卯巳矩与午丁 　　矩等即甲子矩形亦股自乗矣形之甲丁边即句和丁子边即句较 　　又法曰句和自乗股自乗相并倍和为法除之得减和得句 　　论曰甲丁为句和甲戊为和自乗 　　戊丑为句今试依庚戊矩作丁卯矩 　　即卯甲丑磬折形亦和自乗矣又甲 　　巳为上方未壬为句上方即未己壬磬折形为股自乗矣而壬子矩与子丑矩等即未丑矩亦股自乗矣然此犹在和自乗数中也今另加一股自乗如丑卯矩并 　　前卯甲丑磬折形共成一庚癸矩形 　　即为两自乗相并之数形之甲癸邉 　　即句和之倍形之甲庚边即是 　　也 　　九题 　　句与股和求股