历算全书 - 第 137 页/共 206 页

论曰乙得甲六之一是六乙当一甲也然必损乙之十二两与甲而后成此数是于一甲中添十二两而于六乙中各减十二两也一添一减共七个十二两是为八十四两也 　　甲得乙十之一是十甲当一乙也然必损甲之十五两与乙而后成此数是于一乙中添十五两而其十甲中皆各减十五两也一添一减共十一个十五两是为一百六十五两也 　　损乙之十二两与甲而乙为甲六之一若其原数则以六乙当一甲而乙多八十四两矣 　　损甲之十五两与乙而甲为乙十之一若其原数则以十甲当一乙而甲多一百六十五两矣 　　问有两数不知总但损甲六数与己则甲如己四之三而多二数若以己之二十损与甲则己如甲四之三而少五数其原数各几何 　　法以四甲三己共七乗六得四十二又以四甲乗多二数得八而益之共五十为四甲多于三己之数【损甲六益己故较与甲同名其二数甲所多也故以之益数】 　　以四己三甲共七乗二十得一百四十又以四己乗少五数得二十以相减余一百二十为四己多于三甲之较【损己二十益甲故较与己同名其五数巳所少也故以之减较】 　　己同减余七为法　异并六百三十为实　法除实得九十为己原数四因己数同减一百二十余二百四十甲三除之得八十为甲原数 　　计开 　　甲八十 　　己九十 　　以列位之理言之 　　甲四共三百二十　己三共二百七十　是甲多五十甲三共二百四十　己四共三百六十　是己多一百二十 　　以问之意言之 　　甲损六数余七十四　己加六数共九十六　以九十六四分之而取其三得七十二　是为甲如己四之三而多二数 　　己损二十余七十　甲加二十共一百　以一百四分之而取其三得七十五　是为己如甲四之三而少五数 　　论曰以甲当己四之三是四甲当三己也然必以六数减甲增己而成则是四甲中各减六而三己中各增六共四十二也以甲当己四之三而多二数则以四甲当三己而共多八数也　合而观之此四十二者四甲多于三己之数也此八数者亦四甲多于三己之数也故皆与甲同名而列其较为五十也 　　以己当甲四之三是四己可当三甲也然必以二十减己增甲而成则是四己中各减二十而三甲中各增二十共一百四十也　以己当甲四之三而少五数则以四己当三甲而共少二十也　合而观之此一百四十者四己多于三甲之数也与己同名也而其二十者则四己少于三甲之数也与己异名也故以相减而余者列为己同名之较也 　　损甲六数与己而甲如己四之三仍多二数若其原数则以四甲当三己而共多五十矣 　　损己二十与甲而己如甲四之三却少五数若其原数则以四己当三甲而共多一百二十矣 　　问有三数损甲一百益乙则甲如乙六之二若损乙五十益丙则乙如丙十五之九若损丙三十益甲则甲如丙二之一而少五数各若干 　　法以甲六乙二共八以乗一百共八百为六甲当二乙之较【损甲益乙故与甲同名】 　　以乙十五丙九共二十四乗五十得一千二百为十五乙当九丙之较【损乙益丙故与乙同名】 　　以丙一甲二共三乗三十得九十又以甲二乗少五数共十而加之共一百为一丙当二甲之较【损丙益甲故与丙同名其甲所少五数即丙所多也故亦与丙同名】 　　如法逓减余丙五十四为法　异并三万七千八百为实　法除实得七百为丙数　丙数同减一百余六百甲二除之得三百为甲数　六因甲数一千八百同减八百余一千乙二除之得五百为乙数　十五乗乙数得七千五百同减一千二百余六千三百丙九除之仍得七百为丙数【反覆相求列位之理着矣】 　　计开 　　甲三百 　　乙五百 　　丙七百 　　甲损一百余二百乙增一百得六百是甲为乙六之二乙损五十余四百五十丙增五十得七百五十是乙为丙十五之九 　　丙损三十余六百七十其二之一则三百三十五甲增十得三百三十是甲为丙二之一而少五数 　　问二人共数一百原所得之数不均今以甲三之一与乙五之一相易则适均其原所得若干 　　法以三分通甲数损一与乙而存其二分　又以五分通乙数损一与甲而存其四分 　　乃以和数列之 　　乙七为法　余五十为实　法除实得七又七之一为乙之一分　以乙分母五乗之得三十五又七之五【为乙数】以减一百得六十四又七之二为甲数计开 　　甲六十四【又七之二】其三之一为二十一【又七之三】其三之二为四十二【又七之六】 　　乙三十五【又七之五】其五之四为二十八【又七之四】其五之一为七【又七之一】以甲三之一加乙五之四五十也　以乙五之一加甲三之二亦五十也 　　论曰此以分相增损而为和数亦与刋误条甲乙二仓异彼是以其全数偕彼防分此则以所存之余数偕彼几分也既云相易则实有增损非如甲乙仓虚借增率而无损也 　　问二人物数不均若于甲取三之一于乙取四之一以和合而平分之以凑原存数则各五十而适均其原数各若干 　　法以三分通甲数而倍之为六分损其一与乙余五分以四分通乙数而倍之为八分损其一与甲余七分以和数列位 　　解曰以四之一与三之一和合而平分之是各取其数之半也　于三之一取其半是六之一以与乙而甲余其五也于四之一取其半是八之一以与甲而乙余其七也 　　偏乗对减以得法实　法除实得五又十七分之十五为乙八之一　以乙分母八乗之得四十七又十七分之一为乙原数　以两五十共一百减乙原数余五十二又十七分之一十六为甲原数 　　计开 　　甲原数五十二【又十七分之十六】三除之得十七【又十七分之十一】为甲三之一　以三之一转减甲余三十五【又十七分之五】为甲所存三之二 　　乙原数四十七【又十七分之一】四除之得十一【又十七分之十三】为乙四之一以四之一转减乙余三十五【又十七分之五】为乙所存四之三 　　以甲三之一乙四之一和合之共二十九【又十七分之七】半之得十四【又十七分之十二】为和合平分之数以加甲乙存数各得五十 　　论曰甲去三之一乙去四之一所存之数已均矣故以平分之数加之而适均 　　又法 　　以甲分母三通甲为三分以乙分母四通乙为四分又总计各得五十六共一百为和数 　　以甲取三之一余三之二乙取四之一余四之三命为适足【甲取三之一乙取四之一以和合平分而等则其所存者亦等也故命之适足】乃以和较杂列位 　　如法乗甲同减尽　乙异并一十七分为法　正二百无减就为实　法除实得一十一又十七之十三为乙之一分以分母四乗之得四十七又十七分之一为乙原数　以乙原数减共数一百余五十二又十七分之十六 　　按此所得与前无异而较捷故并存之 　　问甲乙丙三人共博甲赢乙金二之一乙赢丙金三之一丙又赢甲金四之一事毕各剰金七百其原携金若干 　　法以各分母通其原数又各减其赢去之一而列之【以七百为和数】 　　和数列位 　　如法减并　丙七分为法　二千一百为实　法除实得三百为丙之一分　以丙分母三乗之得九百为丙原金　以丙之一分减乙剰七百余四百为乙所余二之一　二因之得八百为乙原金　以乙二之一减甲剰金七百余三百为甲自剰四之三　三除之得一百为甲三之一　四乗之得四百为甲原金 　　计开 　　甲原金四百　加赢乙四百【二之一也】共八百　除丙又赢去甲一百【四之一也】仍余七百 　　乙原金八百　加赢丙三百【三之一也】共一千一百　甲赢去四百【乙二之一也】仍余七百 　　丙原金九百　赢甲一百【四之一也】共一千　乙赢去三百【丙三之一也】亦仍余七百 　　论曰此与刋误条骡马逓借一匹同但马一骡二驴三即是原物偕所借之一而为和数今乙一丙二甲三却是各所存之余分偕所赢之一分而为和数也得数大异者马骡即是全数今则用分故丙之全数转多于乙若以一分计则乙之分自多于丙如马力之于骡矣 　　又论曰此三条皆是两相交易而又是和数与前数条金银交易几锭不同 　　难题歌曰一条竿子一条索索比竿子长一托双折索子去量竿却比竿子短一托 　　解曰一托者五尺也 　　法以零整襍列位　因双折是二之一故以二通索 　　法一即以实一丈命为绳之一分　分母二因之得绳长二丈　减负五尺余得竿长一丈五尺 　　假如有绳长不知数但云比竿长六尺若三折其绳则短于竿八尺 　　法二除实三丈得竿长一丈五尺　加正六尺得绳长二丈一尺 　　论曰原法别有求法然不如方程穏捷故作此问以明之若用难题法不能通矣故方程能御杂法而杂法不能御方程　此条统宗原入均输今改正 　　问井不知深先将绳折作三条入井汲永绳长四尺复将绳折作四条入井亦长一尺其井深绳长各若干 　　法以两母【三四】相乗得十二分为绳母数　以母【三四】互乗其子【之一之一】得【四三】是为以绳十二分之四汲水而长四尺以绳十二分之三汲水而长一尺也 　　余一分为法　即以实三尺命为绳十二分之一以十二分乗一分得三十六尺为绳长　以绳之三分计九尺同减负一尺得八尺为井深 　　计开 　　井深八尺 　　绳长三十六尺 　　三折之得一十二尺　比井多四尺 　　四折之得九尺　　　比井多一尺 　　论曰此条原属盈朒今以方程御之尤简易故曰方程能御杂法也