历算全书 - 第 136 页/共 206 页

两相交易则末尝明有增损但以相易之数不同而增损隠寓于其中　以上四条皆同此论 　　问两数不知总但云取甲之九加乙则乙与甲等若取乙之九加甲则甲倍于乙其原数各若干 　　畣曰甲六十三　乙四十五 　　解曰云取甲之九加乙是损甲之九而益乙以九也取乙之九加甲是损乙之九而益甲以九也与刋误条所举甲乙二仓法不同彼是取甲仓几何以益乙而共得几何不言与甲仓较取乙仓几何以益甲而共得几何亦不言与乙仓较是所益者有増数而所取者 　　无损数如云以此之全数偕彼之几分而共得几何乃和数也今所列者乃较数也益此损彼则相较几何故不同也然又与带分条较数不同彼是取彼几分与此全数较今所列者是取彼几数加此而转与彼之余数较当细辨之 　　又此是以数相增损而得其相较之分 　　前数条则是以分相损增而得其相较之数 　　二者大异不但与带分条别也 　　法以所加之九数命甲乙所相当之数乗之为较数列位 　　甲倍乙是甲二乙一合之则三以乗九得二十七为较甲得此而当倍乙故与乙同名 　　甲乙等是各一也合之则二以乗九得十八为较乙得此而与甲等故与甲同名 　　余乙一为法 　　并四十五为实 　　法一即以四十五命为乙数 　　异加十八得六十三为甲数 　　试更列之 　　同减余甲一为法　异并六十三为实　法一即以六十三为甲原数　异加正二十七共九十乙二除之得四十五为乙原数 　　论曰此难题设问也算法统宗收入均输另有求法算海説详推论借银相当加半倍者不可通用因别立术然复未确不如用方程之为无弊 　　又论曰甲与乙九而相等是甲多于乙者二九也　乙与甲九而甲倍于乙是倍乙多于甲者三九也何也甲得乙九数而后当倍乙则倍乙中各除九数共二九而甲又添九数岂非三九乎 　　问甲乙银不知数但云甲借乙六钱五分则比乙一有半乙借甲六钱五分则乙与甲等各原银若干 　　法以甲一乙一有半并之共二半以乗六钱五分得一两六钱二分半为乙一有半多于甲之较 　　以甲乙相等各一并之共二以乗六钱五分得一两三钱为甲多于乙之较 　　乃列之 　　同减余半乙为法异并二两九钱二分半为实　法除实得五两八钱五分为乙银　异加正一两三钱共七两一钱五分为甲银 　　计开 　　甲原银七两一钱五分 　　乙原银五两八钱五分 　　相差一两三钱　若损甲之六钱五分以加乙则各得六两五钱是相等也 　　若损乙六钱五分余五两二钱　益甲六钱五分得七两八钱是甲之数如乙一有半也 　　若以乙原银加半得八两七钱七分半以与甲原甲原银相较则多一两六钱二分半 　　论曰甲以六钱五分借与乙而相等是甲原多乙两个六钱五分也乙以六钱五分借与甲而甲如乙一有半是一个半乙原多于甲两个半六钱五分也何也甲取乙六钱五分而后能当乙有半则此一个半乙共减去一个半六钱五分甲又加一个六钱五分岂非共差两个半六钱五分乎 　　又论曰此即算海説详所设之问以驳统宗者彼自立术以为当矣不知其宜用方程也 　　试更设问以明之 　　今有二数不知总但云丙与丁二数则相等若丁与丙二数则丙如三丁问原数各若于 　　依前术列位【合丙丁各一共二以乗二得四为丙多于丁之较　合丙一丁三共四以乗二得八为三丁多于一丙之较】 　　同减余丙二为法　异并二十为实　法除实得一十为丙数　同减负四余六为丁数 　　计开 　　丙原数十　原多于丁者四 　　丁原数六　三之则十八多于丙者八 　　若损丙之二以益丁则各得八故相等 　　若损丁之二以益丙则丙得十二丁得四故丙如三丁 　　论曰丙以二与丁而等是丙多于丁者两个二也　丁以二与丙而丙如三丁是三丁之数共多于丙者四个二也何也丙増一个二其三个丁各少一个二共四个二也 　　又论曰因算海説详立术未确故复设此以相攷用方程能合彼问而彼所立术殊不能通之此问 　　问戊己银不知数但戊以五十两与己则己如戊之倍己以五十两与戊如三己 　　依前术列位【并戊二己一共三以乗五十得一百五十为二戊多于一己之较　并戊一己三共四以乗五十得二百为三己多于一戊之较】 　　同减余己五为法　异并五百五十两为实　法除实得一百一十两为己银　异加正一百五十两共二百六十两戊二除之得一百三十两为戊银计开 　　戊原银一百三十两　倍之二百六十两多于己一百五十两 　　己原银一百一十两　三之得三百三十两多于戊二百两 　　此列位之理 　　戊加五十两得一百八十两己损五十两得六十两则戊如三己　己加五十两得一百六十两戊损五十两得八十两则己如戊之倍 　　此则问意 　　问香炉二座不知重有一葢重百两以加甲炉则甲多于乙两倍以加乙炉则乙多于甲一倍其炉各重若干 　　解曰多乙两倍是三倍也甲得葢如三乙也　多甲一倍是两倍也乙得葢如两甲也 　　法以葢重为较而列之　甲得葢如三乙是三乙之重于甲者如葢也故与乙同名　乙得葢如倍甲是两甲之重于乙者如葢也故与甲同名 　　炉同减余乙炉五为法　较异并三百两为实法除实得六十两为乙炉重 　　异加一百两共一百六十两甲二除之得八十两为甲炉重 　　计开 　　甲炉八十两　加葢共一百八十两则如乙炉重者三乙炉六十两　加葢共一百六十两则如甲炉重者倍论曰此与前所设戊己银数以五十两损戊益己而己倍于戊以五十两损己益戊而戊如二己异何也以五十两损彼益此虽亦相差一百两然非真有一百两之益乃因彼之所损而合成其数耳此之加葢则实增一百两矣而于彼又无所损因炉葢乃两家公物非若戊己之银必取诸彼以与此也故其法不同若改问各铸炉而均铸葢则必于鑪重各加半葢乃合原金得数与戊己银同矣 　　问调兵征倭内有南北西三处兵马南兵已知四万其北兵为南兵与西兵二之一西兵为南兵与北兵三之一各若干 　　法以南兵为西北之较而列之 　　西兵得南兵而数倍于北是倍北数而多于西兵者数如南兵也 　　北兵得南兵而数如三西兵是三其西兵而多于北者亦如南兵也 　　余北兵五为法　倂十六万为实　法除实得三万二千为北兵数异加正四万共七万二千西兵三除之得二万四千为西兵数 　　计开 　　南兵四万 　　西兵二万四千　偕南兵则六万四千其二之一则如北兵也北兵三万二千　偕南兵则七万二千其二之一则如西兵也论曰此与香炉借葢为较同　其所用较乃是南兵而非取于西北兵故得之有增而不得无损与借物于彼而转与其所借之余物相较者不同 　　问二人擕银不知数但减乙六两与甲则甲倍于乙减甲三两与乙则相等其原数若干 　　解曰此所损益又是不同之数然其理则一故亦依前术乗其较数而列之【合甲一乙二共三以乗六两得十八两为倍乙多于一甲之较合甲乙各一共二以乗三两得六两为甲多于乙之较】 　　列位 　　同减余乙一为法　异并二十四两为实　法一即以实为乙数　异加六两为甲数 　　计开 　　乙二十四两　倍之得四十八两多于甲一十八两甲三十两　原多于乙六两 　　若损乙六两得十八两加甲六两得三十六两是甲如乙之倍 　　若损甲三两加乙三两各得二十七两则相等 　　问二商各携母银但云取乙十二两与甲则乙有甲六之一取甲十五两与乙则甲有乙十之一 　　依前术列位【并六与一共七以乗十二两得八十四两为六乙多于一甲之较　并十与一共十一以乗十五两得一百六十五两为十甲多于一乙之较】 　　同减余甲五十九为法　异并一千○七十四两为实　法除实得一十八两又五十九之一十二为甲数　异加正八十四两共一百○二两【又五十九之一十二】乙六除之得一十七两【又五十九之二】为乙数 　　计开 　　甲银一十八两【又五十九之一十二】十之则一百八十二两【又五十九之二】多于乙者一百六十五两 　　乙银一十七两【又五十九之二】六之则一百○二两【又五十九之一十二】多于甲者八十四两 　　若损乙一十二两与甲则甲有三十两【又五十九之一十二】乙仅有五两【又五十九之二】而乙于甲为六之一 　　若损甲一十五两与乙则乙有三十二两【又五十九之二】甲仅三两【又五十九之一十二】而甲于乙为十之一【以五十九通二两得一百一十八加子二从之共一百二十是三十两又五十九之一百二十岂非十倍于甲乎】