历算全书 - 第 135 页/共 206 页

又列减余以对末行 　　如法乗减异并一千二百九十二为法　一千四百一十五石四斗无减为实　法除实得一石○九升又三百二十三之一百七十八为丁毎戸则例【法实皆四约之】 　　十因丁则六除之得一石八斗二升又三百二十三之一百八十九为丙每户则例 　　十因丙则七除之得二石六斗○又三百二十三之二百七十为乙每户则例 　　十因乙则八除之得三石二斗六升又三百二十三之十四半为甲每戸则例 　　计开 　　甲每户三石二斗六升又三百二十三之十四半八十户共二百六十石○八斗三升又三百二十三之一百九十一 　　乙每户二石六斗○又三百二十三之二百七十　为甲每户十之八 　　八十户共二百○八石六斗六升又三百二十三之二百八十二 　　丙每户一石八斗二升又三百二十三之一百八十九 　　为乙每户十之七 　　七十戸共一百二十七石八斗　○　又三百二十三之三百一十 　　丁每户一石○九升又三百二十三之一百七十八为丙每户十之六 　　七十户共七十六石六斗八升又三百二十三之一百八十六 　　合计共六百七十四石【凡六百七十三石九斗七升又九百六十九分以三百二十三収之为升得此数】 　　问有均分两银庚以其五之二与甲则甲之数多于庚一百六十八两若以甲二十一之九与庚则庚之数多于甲一百八十两原数几何 　　法以所用益彼之分与此所存之余分相减而列之【庚与甲五之二庚自存五之三】相减余五之一【是为以庚五之一较甲全分而甲多一百六十八两也】 　　【甲与庚廿一之九　甲自存廿一之十二】相减余二十一之三【是为以甲二十一之三较庚全分而庚多】【一百八十两也】 　　庚虽自存五之三而甲股内有庚所与之二故以相减而余之一分与甲相较 　　甲虽自存二十一之一十二而庚股内有甲所与之九故以相减而余之三分与庚相较 　　甲一百○二分为法除实一千○二十两得十两为甲之一分　二十一分共二百一十两　减负一百六十八两余四十二两爲庚之一分　五分亦共二百一十两 　　计开 　　【庚甲】各原银二百一十两【庚五之二计八十四两其五之三仍一百二十六两　甲二十一之九计九十两其二十一之十二仍一百二十两】 　　庚以八十四与甲【甲共有二百九十四庚仍余一百二十六】相较甲多一百六十八 　　甲以九十与庚【庚共有三百　　甲仍余一百二十】相较庚多一百八十此设问之意也 　　以【庚之一分四十二甲全分二百一十】相较甲亦多一百六十八 　　以【甲之三分计三十庚全分二百一十】相较庚亦多一百八十 　　此列位之理也 　　论曰右例以此之分益彼而转与此之余分相较与帯分条所设不同　带分条此之分较彼全分其全分即是原数　今则一损一增以相较非原数也故曰不同 　　及其相减而列为较数也则亦是此之分较彼原数矣是之谓尾同而首异 　　相减列位亦有变为和数者如后所设 　　问有两银庚以其五之三与甲则甲之数多于庚二百五十二两若以甲廿一之十三与庚则庚之数多于甲二百六十两 　　法亦以所与彼之分与其余分相减列之 　　庚【与甲五之三自存五之二】相减余五之一【此为所用之分多于存分是变和数也庚五之一偕甲全分共二百五十二两也】 　　甲【与庚二十一之十三自存二十一之八】相减余二十一之五【此亦用分多存分少是变和数也　甲二十一之五偕庚全分共二百六十两也】 　　甲所以多如许者不惟其全数之故其所得于庚之分又多于庚之余分者一也故甲所多之数乃是甲全数偕庚之一分所共也 　　庚所以多如许者亦不惟其全数之故其所得甲之分又多于甲之存分者五也故庚所多数亦是庚全数偕甲之五分所共也 　　甲一百分为法除实一千而得十两为一分　以甲五分计五十两减共二百六十两余二百一十两为庚原银　五除之得四十二两为一分　以减共二百五十二两亦得二百一十两为甲原银 　　庚五之三计一百二十六两以加甲银共三百三十六两　内减去庚自存五之二计八十四两　仍多二百五十二两　即是甲全数偕庚一分之数也 　　甲二十一之十三计一百三十两以加庚银共三百四十两　内减去甲自存二十一之八计八十两　仍多二百六十两即是庚全数偕甲五分之数也 　　论曰右例以此之分偕彼全分而为和数亦与带分和数同然以相减而得之亦是尾同首异　带分条和数较数据问而分　今则设问只是较数相减列位乃有和较之分 　　依例推之亦有变为一和一较者皆以所用之分与所存分相减而得之　列位时巳变不待其重列减余也故又与寻常较变和者异 　　总论曰此二条者皆一损一益例也 　　问金九锭银十一锭其重适等若交易其一则银多十三两其原重若干 　　法以相差十三两半之得六两五钱为一锭之较解曰交易一锭而差是一多一少故半之为一锭之较　银得较而增重故与金同名 　　银二锭除实得银每锭重二十九两二钱半　加正六两五钱得金每锭三十五两七钱半 　　计开 　　金每锭三十五两七钱五分　金九锭【得三百二十一两七钱五分】银每锭二十九两二钱五分　银十一锭【亦得三百二十一两七钱五分】金八锭二百八十六两加银一锭共三百一十五两二钱半 　　银十锭二百九十二两半加金一锭共三百二十八两二钱半 　　共多一十三两　若交易二锭而差二十六两则以二锭倍作四锭除之亦得六两五钱为一锭之较余可类推【或半相差二十六两为一十三两命为金二锭银二锭之较尤为平穏】 　　论曰此条旧列差分同文算指改立借衰互徴之法皆不知宜入方程也 　　凡以两家之数相交易而差若干皆半其所差而列之为所交易之较何也一增一减而差若干则原所差者其半也 　　问甲有硃砂银七锭壬有鑛银九锭相较甲原多十五两今以甲二锭易壬三锭则甲多二十七两 　　法以原多十五两今多二十七两相减余十二两半之得六两为甲二锭壬三锭之较【甲得较而增重故与壬同名】 　　壬三锭除七十二两得壬每锭二十四两　以九锭乗得二百一十六两加正一十五两共二百三十一两甲七锭除之得每锭三十三两 　　计开 　　甲以二锭与壬余五锭一百六十五两加易得壬三锭七十二两共二百三十七两 　　壬以三锭与甲余六锭一百四十四两加易得甲二锭六十六两共二百一十两 　　相较甲多二十七两 　　此问意也 　　问甲银七锭壬九锭相较壬原少十五两今以一锭相交易壬多三两 　　法以原少十五两今多三两并得十八两而半之得九两为一锭之较【壬得之而变轻为重故与甲同名】 　　壬二锭除四十八两得每锭二十四两　加九两得甲每锭三十三两 　　计开 　　甲六锭一百九十八两加壬一锭二十四两共二百二十二两壬八锭一百九十二两加甲一锭三十三两共二百二十五两相较壬多三两　此交易一定之数　余同前问 　　论曰此三问皆同法第一问盈偕适足故即用原数第二问两盈故相减第三问盈偕不足故相并然皆半之为较故三法一法也 　　又按于七锭中取一即七之一同带分之理故又作问明之 　　问有金不知总任意分为二而较之则庚多八两湏令辛以金还庚如庚存数三之二庚亦以金还辛如辛存数四之三则其数适均 　　法以庚自存三分今添二分共五　以辛自存四分今添三分共七通为两家适足数之分 　　又以多八两半之四两命为庚所添二分辛所添三分之较【辛失之而减重故与辛同名】 　　解曰合而观之庚以五之二辛以七之三相交易则庚多八两若还其原数庚仍为五分辛仍为七分则适足也 　　辛一分得二十两　七分共一百四十两　五除之得庚之一分二十八两 　　计开 　　其相易【庚二分五十六两辛三分六十两】较之辛多四两即相易几锭之理 　　总论曰此皆两相交易也又与庚甲损一益一者不同凡损一益一者损庚之几分与甲则甲有增数而转以甲之既增者与庚之余数相较也　损庚益甲以相较是明有增损 　　今两相交易则损庚之分与辛亦损辛之分与庚然后以既损且增之庚与亦增之辛相较也