历算全书 - 第 115 页/共 206 页
第四立方线【旧名分体线 凡平方形如棊局其四邉横直相等而无高与厚之数立方则如方柜有横有直又有髙而皆相等平方之积曰平积亦曰面积亦曰幂积如棊局中之细分方罫立方之积曰体积亦曰立积并如骰子之积累成方】
【旧图误以尺枢心甲书于一防上今改正甲乙一亦即一十则其内细数亦不平分旧图作十平分亦误今删去】
分法有二一以算一以量
以算分 从尺心甲任定一防为乙则甲乙之度当十分邉之积为一千【十分自乗之再乗之即成一千假如立方一尺其积必千寸】纪其号曰一次加一倍为立积二千开立方求其根得十二又三之一即于甲乙上加二又三之一为甲丙纪其号曰二再加一倍立积三千开立方得数纪三以上并同
防法 取甲乙邉四分之一加甲乙成甲丙即倍体邉又取甲丙七分之一加甲丙成甲丁即三倍体邉又取甲丁十之一加甲丁成甲戊即四倍体邉再加如图
【右加法与开立方数所差不逺然尾数不清难为定率姑存其意】
又防法用立方表
以量分 如后图作四率连比例而求其第二盖元体之邉与倍体之邉为三加之比例也【假如邉为一倍之则二若求平方面则复倍之为四是再加之比例也今求立方体必再倍之为八故曰三加 三加者即四率连比例也】
几何法曰第二线上之体与第一线上之体若四率连比例之第四与第一【第一为元邉线第二为加倍之邉线第三以邉线自乗为加倍线上之面第四以邉线再自乗为加倍线上之体今开立方是以体积求邉线即是以第四率求第二率也】
假如有立方体积又有加倍之积
法以两积变为线【元积如辛庚倍积如辛巳】作
壬巳辛庚长方形次于壬巳壬庚
两各引长之以形心【戊】为心作圈
分截引长线于子于午作子午直
线切辛角【如不切辛角必渐试之令正相切乃止】即辛庚【一率】午庚【二率】子巳【三率】己辛【四率】为四率连比例末用第二率午庚为倍积之一边其体倍大于元积
若辛巳为辛庚之三倍四倍则午庚邉上体积亦大于元积三倍四倍【以上仿此】
解四率连比例之理
试于辛防作卯辛为子午之垂线次
用子壬度从午作卯午直线截卯辛
线于卯又从卯作直线至子又从辛
防引辛庚邉至辰引辛巳邉至丑成
各句股形皆相似而比例等
【卯辛午句股形从辛正角作垂线至丑分为两句股形则形相似而比例
等为午丑辛形以午丑为句丑辛为股辛丑卯形以丑辛为句丑卯为股
则午丑与丑辛若丑辛与丑卯为连比例也 卯辛子句股形从辛正角
作垂线至辰分两句股形亦形相似而比例等 卯辰辛形卯辰为句辰
辛为股辛辰子形辰辛为句辰子为股则卯辰与辰辛若辰辛与辰子
亦连比例也而辰辛即丑卯故合之成四率连比例】
一率 辛庚 即午丑
二率 午庚 即丑辛 亦即辰卯
三率 子巳 即辛辰 亦即丑卯
四率 己辛 即辰子
试法 元体边倍之即八倍体积之邉若三之即二十七倍之邉四之即六十四倍体积之邉五之即一百二十五倍体积之邉
又取二倍邉倍之得十六【八其二也】再倍之得一二八倍体积之邉【六十四其二也】
三加比例表【平方立方同理即连比例】
第一率 第二率 第三率 第四率
按第一率为元数第二率为线即根数也第三率为面平方幂积也第四率为体立方积也开平方开立方并以积求根故所用者皆二率也【比例规觧乃云本线上量体任用其邉其根其面其对角线其轴皆可其説殊不可晓今删去】
用法一 有立积求其根【即开立方】
假如有立方积四万法先求其与一千之比例则四万与一千若四十与一即取十数为分体线上一防之底定尺而取四十防之底得三十四强即立方之根【説见平方】
用法二 有两数求其双中率【谓有连比例之第一与第四而求其第二第三】法以小数为一率用作本线一防之底而取大数之底为二率既有二率可求三率
假如有两数为三与二十四欲求其双中率法约两数之比例为一与八即以小数三为本线一防之底定尺而于八防取底得六为第二率末以二率四率依法求中率得十二为三率
一率三 二率六 三率十二 四率二十四
用法三 设一体求作同类之体大于设体为几倍【此乗体之法】
假如设立方体八千其邉二十求作加八倍之体为六万四千问邉若干法以设体根二十为本线一防之底定尺而取八防之底得四十即大体邉如所求
用法四 有同类之体欲并为一法累计其积而并之为总积求其根即得
假如有三立方体甲容一十乙容十三又四之三丙容十七又四之一并得四十一即以甲容一十为本线一防之底定尺而取四十一防之底为总体邉如所求 若设体无积数则以小体命为一十而求其比例然后并之
用法五 有两同类之体求其比例与其较【此分体之法】假如甲丙两立方体欲求其较而不知容积之数法以甲小体邉为一防之底定尺而以丙邉为底进退求其等数如所得为九即其比例为九与一以一减九其较八即于八防取底为较形之邉
用法六 有立方体欲别作一体为其几分之几假如有立方体欲另作一体为其八之五则以设体邉为本线八防之底定尺而于五防取底为邉作立方体即其容为设体八之五
第五更体线【旧名变体线】
体之有法者曰立方曰立圆曰四等面曰八等面曰十二等面曰二十等面凡六种外此皆不能为有法之体
六等面体各面皆正方即立方也有
十二棱八角测量全义曰设边一百
求其容为一○○○○○○
浑圆体亦曰球体即立圆也几何补
编曰同径之立方积与立圆积若六
○○○○○○与三一四一五九二
设径一百求其容为五二三五九八
此三角平面形相合而成有六棱四
角测量全义曰设边一百求其容为
一一七四七二半
此体各面亦皆三等边形有十二棱
六角测量全义曰设边一百求其容
为四七一四二五有竒