历算全书 - 第 120 页/共 206 页

若丁壬与丙壬也余并同 　　前图 　　一率　子巳与癸戊二线并 　　二率　子巳 　　三率　丁丙 　　四率　丁壬 　　歴算全书卷三十九 <子部,天文算法类,推步之属,历算全书> 　　方程论自叙 　　方程于数九之一也何独于方程乎论曰方程犹句股也数学之极致故二以殿乎九今之为数学往往覃思勾股而略方程不宁惟略抑多沿误佹于阙矣数九而阙其一可以无论乎议者谓勾股测量用以知道里之修城邑之广山之髙水之深天地日月之行度若方程筭术多取近用米盐凌杂非其精且大是不然精觕小大人则分之而自一至九之数无分也且数何兆欤当其未始有物之初混沌鸿蒙杳防恍惚无始无终无声无形无理可名无数可纪乃数之根也是谓真一真一者无一也一且非一而况其分及其自无之有无一而忽然有一有一则有万万者一之万也万各其一一各其万即万即一环应无端又孰从而精麄之小大之乎故果蓏之有理而星度齐观理实同源数亦防防苟未达此而侈言髙逺遗乎目睫将日用之酬酢有外乎理数以自立者哉而二之也古者数学大司徒以备乡之三物教万民而賔兴之其属保氏掌之以教国子具曰九数未尝右勾股于方程也虽然古之人以其进乎数者治数故用之简易而言之约今欲于古学既湮之日出独是以信众疑使方程之沿误皆正而九数阙而复全则意取共明固不敢谬托简古以自文其疎愚之论乃不觉其复矣凡六卷论成于壬子之冬写而成帙则甲寅之夏勿庵梅文鼎自识 　　余论 　　数学有九要之则二支一者筭术一者量法量法者长短逺近以求其距西法谓之测线方圆弧矢幂积周径以相求西法谓之测面立方浑圆堆垜之形以求容积西法之测体在古九章则为方田为少广为商功为句股筭术者消息盈虚乘除进退以差多寡騐往以测来西法谓之比例通分子母整齐画一不尽者以法命之西法谓之畸零若夫隠杂重复参错难稽即显騐幽探赜穷深无例可比故西法别立借衰互徴以为用亦比例也在古九章则为粟布为衰分为均输为盈朒为方程此二者相需不可偏废虽然筭术可以济量法之穷而量法不可以尽筭术之变何也可量者其可见也天下之不可见者多矣非筭术何以御之故量法有穷而筭术不穷也夫既量之而得其率矣所量者一欲知者百西法之用比例亦以筭术佐量法也然以例相比非量法而有量法之理吾友桐城方位伯谓九章出于句股葢以此也然吾观方程正负同异减并之用非句股所能御而能生比例愚故以筭术必不可废也 　　言数学者亦有二家一古法一泰西泰西之説详明晓畅古人之法径捷简易可互明也然古书仅存筭术而略于测量泰西详于测量而或遗在筭术吾观泰西家言矩度三角八线割圆几何原本备矣谓其善用句股能有新意出于古率之外未为过也若所译同文筭指者大约用三率以变古法至于盈朒方程则其术不复可行于是取古人之法以传之非利氏之所传也算术之妙莫盈朒方程若而泰西皆无之是九章阙其二也尚谓之贤于古法乎且泰西家欲以其説易天下故必宛转笺疏以达其意以取信于学者若盈朒方程立法之意殊不能言也不能言盈朒故别立借衰之法以代之自谓超妙可废古法矣而终不能废盈朒若方程一章不但不能言之亦不能用之不过取古人之仅存者具数而已不能别立术以代之也诸书之谬误皆沿之而不能察其必非知之而不用能言之而不悉亦可见矣夫古人之略于量法者非不能言也言之略耳言之详者别有専书而人不能习不传于世耳学士大夫既苦其难竟又无与进取弋获之利遂一切弃置不道浅猎焉者率得少以自多无所发明遂使古人之精意若存若亡不复可见今诸书所载方程法残缺错乱视盈朒尤甚其所仅存又多为后之不得其説者参以臆解而其防益晦非古人旧也使古之方程仅仅如此何必别立一章列于盈朒之后乎然以好变古率如泰西而不能变方程勤于言筭如泰西而不能言方程不能尽其用不能正其沿误可见古人立法之深逺而决不可易向使习古法者尽见古人之书又能如泰西家羣萃州处穷年累月研精覃思以为之引伸而推广又岂止如斯而已乎言之三叹 　　方程论发凡 　　一方程立法之始 　　按周礼九数一曰方田以御田畴界域一曰粟米【一作粟布】以御交质变易一曰差分【一名衰分】以御贵贱廪税一曰少广以御积方程一曰商功以御功程积实一曰均输以御逺近劳费一曰盈朒【一云赢不足】以御隠襍互见一曰方程以御错糅正负一曰句股【一云旁要】以御髙深广逺是则方程者九数之一乃九章中之第八章也通雅以九数为周公之法盖自隶首作筭数以来有九章即有方程渊源逺矣 　　一方程命名之义 　　方者比方也程者法程也程课也数有难知者据现在之数以比方而程课者则不可知而可知即互乗减并之用 　　一方程残缺之故 　　按七十子身通六艺则九数在其中自汉以后史称卓茂刘歆马融郑何休张衡皆明筭术唐宋取士有明筭科六典筭学十经博士弟子五年而学成宋大儒若邵康节司马文正朱文公蔡西山元则许文正王文肃莫不精筭然则筭学之疎乃近代耳夫数学一也分之则有度有数度者量法数者筭术是两者皆由浅入深是故量法最浅者方田稍进为少广为商功而极于句股筭术最浅者粟布稍进为衰分为均输为盈朒而极于方程【详见末卷方程能御襍法】方程于筭术犹句股之于量法皆其最精之事不易明也而筭学无闗进取皆视为贾人胥史之事而不屑从事又其用近小但于方田粟布取之亦无不足故近代诸刻多不具九章其列九章者不过寥寥备数学者虽欲推明古法孰从而求之此方程残缺之由也 　　一方程谬误之故 　　方程句股皆不为近用所需然句股测望自昔恒有専书近者西学骤兴其言句股尤备故九章所载虽简而不至大谬至若方程别无専书可证所存诸例又为俗本所乱妄増歌诀立为胶固之法印定后贤耳目而方程不复可用竟如赘疣周官九数几缺其一愚不自揆辄以管闚之见反覆推论以明之务求其理众晓而不疑于用庶不致谬种流传以乱古法云尔【详第四卷刋误】 　　一方程条件与旧不同之故 　　旧传方程分二色为一法三色为一法四色五色以上为一法头绪纷然而和较之分疑未清法无画一所立假如仅可施之本例不可移之他处然如此则为无用之法而方程一章为徒设矣窃以古人立法决不如此今按方程有和有较有兼用和较有和较交变约法四端巳尽方程之用不论二色三色四色五色乃至多色其法尽同正不必每色立法反滋纷扰也然惟如此则有定法而方程为有用且其用甚多窃以古人立法必当如此夫古人往矣愚生千载之下蓬户山居耳目局隘不能尽见古人之书亦何以防其然哉夫亦惟是反之心而无疑措之事而可用则此心此理之同庶可共信非敢好为新奇以自也天下大矣邺架藏书岂无足攷尚冀博雅好古君子恵示古本庶有以证明其説而广其所未知则所深望巳【详见第一卷及第四卷刋误】 　　一方程以论名篇之故 　　算学书有例无论则不知作法根原一再传而多误盖由于此本书欲明筭理故论多于例每卷之首皆有总论以为之提网然后举例以实其説【即假如也】而例中或有疑似之端仍各有説以反覆申明之令覧者彻底澄清无纎毫之凝滞凡为论者十之七而例居其三以论名篇着其实也 　　一方程例有详略可以互明 　　既欲推明其理则无取夸多故首卷和较襍变四端不过数例意在假此例以发吾论但求大义晓畅更不繁引多例以乱人思其后数卷举例稍繁然每设一例即明一义务求委曲尽变庶令用者不疑前详者后必略前略者后乃详更无重复细观自见 　　一方程著论校刻縁起 　　鼎性耽苦思书之难读者恒废寝食以求之必得其解乃巳有未能通则耿耿胸中虽厯嵗时未敢忘也算数诸书尤性所嗜虽只字片言亦不敢忽必一一求其所以然了然于心而后快窃以方程算术古人既特立一章于诸章之后必有精理而中西各书所载皆未能慊然于懐疑之殆将二纪嵗壬子拙荆见背閍户养疴子以燕偶有所问忽触胸中之意连类旁通若干门之乍啓亟取楮墨次第录之得书六卷于是二十年之疑涣然冰释然后知古人立法之精深必非后世所能易书虽残缺全理具存苟能精思必将我吿管敬仲之言不余欺也 　　论成后冀得古书为征而不可得不敢出以示人惟亡友温陵黄俞邰太史桐城方位伯广文豫章王若先明府金陵蔡玑先上舍曾钞副墨而昆山徐扬贡明府檇李曹秋岳侍郎姚江黄黎洲征君颇加鍳赏厥后吴江潘稼堂太史尤深击节嵗丁夘薄逰钱塘同里阮于岳鸿胪付赀授梓属以理装北上未遂杀青续遇无锡顾景范北直刘继庄二隠君嘉禾徐敬可先軰朱竹垞供奉淮南阎百诗宁波万季野两征士于京师并印可又得中州孔林宗学博杜端甫孝亷钱塘袁恵子文学共相质正乃重加缮录以为定本谬辱安溪李大中丞厚庵先生下询厯算命之论撰以质同人获与介弟安卿孝亷晨夕酬对承其谬赏兹编录副以归手挍欹劂视余稿本倍觉清明向使湖上匆剧雕版反不能如是之精良矣感书成之非偶惊嵗月之易流而良朋好我之殷受益宏多更仆难数爰兹略纪以志不忘 　　数学存古序【附录】 　　六艺古圣人用也所以开物成务垂泽将来虽然器久则毁声传而失彼其初非不穷神尽变而后稍湮没古圣人无如何也今不尽亡者数学耳数之为物不借器而存稽实待虚其道如易故礼乐代更而方圆不易书契形名世殊方别而竒偶自如数之不亡不能亡也顾不能亡者数仅存者数之学尝稽汉艺文志许商算术二十六卷杜忠算术十六卷唐博士肄习具有十经今略不一覩又古人制浑仪往往有书説详徴其故又凡作厯皆有测验诸书与厯术并垂如史所载晋姜岌刘宋祖冲之隋刘焯唐李淳风一行宋沈括元郭守敬着撰皆富今其存逸皆不可得攷自汉赵氏周髀一经外无可广证他纬书占候傅防难信然则今九章者果周官旧邪周官之旧既以不可知近世儒者又略之弗讲九数之学益以荒芜于是泰西氏者乃始孤行其测圜三角诸术以矜奇创学其学者至以大衍填写九执未尽授时阴用回回法子云康节之书皆为臆説而隶首之术必有所穷嘻其果然邪夫谓西厯能兼古法之长是也而反谓古人阴用乎西法此其説非也不观之书御乎御用于骑书用于楷楷与骑日以习而古书御亡或者未考舆轮而辄以古御不如今骑未窥籕篆而谓古书不及今楷遂欲驾王武子于造父尊钟元常于苍颉过矣愚生晚不及见古人僻处山陬闻见固陋闲尝于世传九章者稍稍论列补葺遗缺而昰正其纰缪使读者晓然知九数之学果不尽于今所传而其仅存者犹能与泰西氏并行而不得以相废虽不知于古人万一有当然天下之大不乏其人尚其共出枕秘以昭明而光大之使古人之绪晦而复显或由是以发其端欤是愚之所望矣 　　钦定四库全书 　　厯算全书卷四十 　　宣城梅文鼎撰 　　方程论卷一 　　正名 　　名不正则言不顺诸本方程皆以二色三色四色等分欵立法而不分和较宜其端绪纷纠而説之滋谬也故先正其名 　　正名有四一和数二较数三和较杂四和较交变和者无正负如只云某物如干某物如干共价如干以问每物各价者是也较者有正负如云以某物如干与某物如干相较多价如干或少价如干或相当适足者是也杂者半有正负半无正负如一行云某物某物各如干共价如干而其一行则又云以某物如干较某物如干差价如干或价相当适足者是也变者或先无正负而变为有正负或先有正负变而无正负三色以往重列减余兼用两行者是也 　　总论曰万筭皆生于和较和较可以御万分合之义也万物之未形一而已矣一且未有况万乎及其有也有一则有二有二则有三自此以至于无穷而数生焉矣和者诸数之合也较者诸数之分也分则有差故谓之较较与和相求而法立焉矣故一与一和则二也一与二和则三也一与二之较一也一与三之较二也万算虽多凖此矣故和较者万算之纲也算之用至于句股方程至矣尽矣窥髙致逺探赜穷幽无所不备然其用不出于和较且以方程言之凡方程列位皆以下位为之端如所列下一位为上中两位之总价则和也若下一位为上中两位相差之价则较也较故分正负和故不分正负虽不立正负然必以两和互乘对减以得其差然后其数可得而知矣故三色以往先无正负者有时而正负立焉故方程之法以和求较而已矣较者易知和者难知和之中有较较之中又有较此万数之所由生万法之所由起 　　和数方程例 　　方程用互乘对减与差分章贵贱相和法同但贵贱相和有总物总价又有每物每价不过以带分之故难用匿价分身而变为换影之术耳方程则有总物总价而无每数又有三色四色以至多色头绪纷然自非逓减何取之此古人别立一章之意也 　　用法曰二色者任以一色列于上以一色列于中以总价列于下于是以列上者为乘法左右互乘又互遍乘中下得数左右对减其上一色必两相若而减尽其中一色对减必有相差之数下价对减亦必有相差之数数相差则减不能尽于是取其余数以为用一为法一为实以法除实而得中一色每价乃以中价乘原列中物得中物总价以中物总价减原列两色之总价得上物总价以原列上物除之得上一色每价【若更以中一色列于上依法求之亦先得上一色价矣故上中之位可以互更也详见后】 　　假如有山田三亩塲地六亩共折输粮实田五亩七分又有山田五亩塲地三亩共折实田五亩五分问田地每亩折实科则各如干 　　畣曰每山田一亩折实田九分每地一亩折实田三分亩之一 　　法各列位 　　上　　　　　中　　　　　下 　　先以右上田三亩为法遍乗左行得数 　　次以左上田五亩为法遍乗右行得数　上位各得田十五亩对减尽　中位左得地九亩去减右行三十亩余地二十一亩为法下位左折田得十六亩五分去减右行二十三亩五分余折田七亩为实　以法除实不满法约为三之一为地每亩折实田之数【地一亩折田三分三厘三毫不尽即地三亩折田一亩也】　就以右行折实田共四亩七分内除原地六亩折实田二亩余二亩七分以右上田三亩除之得九分为田每亩折实之数【或以左行折田内减左原地三亩该折实田一亩余四亩五分以左上田五亩除之亦得九分为田每亩折实之数】 　　论曰以右上田三亩遍乘左行得数是各三之也为五亩田者三亩三亩地者三则为田地共折实五亩五分者亦三也 　　以左上田五亩遍乘右行得数是各五之也为三亩田者五为六亩地者五则为田地折实共四亩七分者亦五也 　　于以对减而上位田各十五亩减而尽则其数同也惟中位地余二十一亩在右行则是右行之地多于左行之地二十一亩也 　　而下位折实数亦余七亩在右行则是右行折实之数亦多于左行折实之数七亩也 　　合而观之此所余折实七亩者正是余地二十一亩之所折也 　　此以田地问折数故以地二十一亩为法折七亩为实也若以折数问原田地则以折七亩为法地二十一亩为实法除实得每折一亩原地三亩于是以右地六亩折二亩减折四亩七分余二亩七分为法除右田三亩得每折一亩原田一亩又九分亩之一即一分一厘一毫一一不尽也 　　若更置以地列于上则先得田折数如后图 　　上　　　　　中　　　　下 　　先以左上地三亩遍乗右行得数 　　次以右上地六亩遍乗左行得数　上位各得地十八亩对减尽　中位左得田三十亩内减去右得九亩余二十一亩为法　下位折田左得三十三亩内减去右得十四亩一分余十八亩九分为实　以法除实得九分为田每亩折实数 　　就以右田三亩折二亩七分减右折实共四亩七分余二亩以右上地六亩除之不满法命为三分亩之一为地每亩折实数【或于左行折实五亩五分内减去左田五亩该折四亩五分余一亩以左地三亩除之亦得地折实每亩三之一】 　　论曰以右上地六亩遍乗左行是各六之也为三亩地者六为五亩田者六为地三亩田五亩之折实田共五亩五分者亦六也以左上地三亩遍乗右行是各三之也为地六亩者三为田三亩者三为地六亩田三亩之折实共四亩七分者亦三也以之对减而地在上位者各十八亩既对减而尽则其各十八亩之折实在折实共数中者亦必对减而尽也田在中位者既对减去九亩而仅余左行之二十一亩则其各九亩之折实在共数中者亦必对减而尽也由是以观则其所余之左下折田十八亩九分正是左中余田二十一亩之所折也故以余田二十一亩为法而以余折田十八亩九分为实即田之折数可知知田数知地亩矣 　　若以折问田亩则一十八亩九分折为法二十一亩田为实实如法而一得每折一亩原田一亩又九分之一于是以分母九通右行田三亩得二十七分而以一亩又九分之一共一十分为法除之得二亩七分以减共折四亩七分余折二亩以除右地六亩得每折一亩原地三亩【以上二色例也三色四色以至多色凡和数者皆同但须重例减余以求之今不悉具于后诸条中详之】 　　较数方程例 　　凡较数方程分正负之价与盈朒畧同但盈朒章有盈朒又有出率方程则但有总物与盈朒而无每出之率又兼数色所以不同又盈朒者是有每率而不知总所言盈朒适足是总计所出以与原立总价相较之数也方程正负则是两总物自相较之数若不立正负则下价之与上物不知其孰为同异矣此正负之法异于盈朒也【负与正对所以分别同异盖对数之所余即正数之所欠故谓之负与负责之负畧相似老子言万物负阴而抱阳盖正即正面负即反面也开方法有负隅言隅之空隙也郭太史厯经三差法有负减言反减也本于平差内减去立差今立差反多于平差故于立差内反减平差是为负减兼此数端而正负之义可见矣】 　　法曰任以一色为正则以相当之一色为负【此据二色者言之三色以上或以一色与多色相当或以多色与多色相当其法皆同二色】正物之价多为正价负物之价多为负价正与负为异名异名相并正与正负与负为同名同名相减 　　首位同名者仍其正负不变【首位同数同名即可减去此正法也】首位异名变其一一以相从【首位亦同数但不同名故变而同之则亦同数同名而可减尽矣首位既变则其行内皆从而变此通法也盖必如是则同减异加始归画一而于和较交变之用尤便也】 　　其法皆于互乗时以得数变之盖减并只用得数也只变一行其相对之行不必再变二色三色以至多色并同何也三色以上行数虽多而乘并之用皆以各相对之一行论同异即同二色之理 　　论曰和数方程有减无并皆同名故也较数方程有减有并或同名或异名也减并者方程之纲要正负淆则同异之名混而并减皆失矣今诸本所言正负同异誃离舛错虽加减得数皆偶合耳西人论句股三角八线割圜几何原本可谓详矣矣至方程增立诸率亦复草草未穷其故也