历算全书 - 第 114 页/共 206 页

原为一百不平分今按若尺小欲其清则但为五十分亦可假如有积六千四百则以平分线之二十自乗得四百于积为十六倍之一若置二十分于一防为底求十六防之底则得方根八十或置于二防为底则求三十二防之底或置于三防为底则求四十八防之底皆同 　　分法有二　以算一以量 　　以算分 　　算法者自枢心【甲】任定一度命为十分【如甲乙】即平方积一百分之根今求加倍平方二百分之根为十四又念九之四即于甲乙线上加四分强【如丙】命甲丙为倍积之根求三倍则开平方三百分之根得十七又三十五之十一即又于甲乙线上加十分半弱【如丁】即甲丁为三倍积之根求四倍则平方四百之根二十即以甲乙倍之得甲戊为四倍积之根五六七以上并同【按用方根表甚简易】 　　以量分 　　以任取之甲乙度作正方形【如丙乙甲】乃于乙甲横边引长之以当积数丙乙直边引长之作垂线以当根数如求倍 　　积之根即于横 　　线上截丁乙为 　　甲乙之倍次平 　　分甲丁于戊戊为心甲为界作半圈截垂线于巳即己乙为二百分之边求三倍则乙丁三倍于甲乙四倍以上并同又防法　如前作句股形法定两尺间成正方角如甲乃任于尺上取甲乙命为一防而又于一尺取甲丙度与甲乙相等即皆为一百之根次取乙丙底加于甲乙 　　尺上为二百之根甲丁又自丁至丙作 　　斜以加于甲乙尺上为三百之根甲 　　戊又自戊至丙作以加于甲乙尺上 　　为四百之根甲已如此递加即得各方 　　之根其加法俱从尺心起【如求得丙乙即以丙加甲乙加丁成甲丁他皆仿此】 　　试法　甲乙为一正方形之边倍其度即四倍方积之边否即不合三倍得九倍方积之边四倍得十六五倍得二十五又取三倍之边倍之即十二倍之边【四其三也】再加一倍得二十七倍之边【九其三也】再加倍得四十八倍之边【十六其三也】再加倍得七十五倍之边【二十五其三也】若以五倍之边倍之得二十倍之边【四其五也】再加倍得四十五倍之边【九其五也】再加倍得八十倍之边【十六其五也　凡言倍其度者线上度也如正方四百分之边二十分甲乙正方一百分之边十分其大为一倍也言几倍方积者积数也如边二十者积四百即尺上所书】 　　用法一　有平方积求其边【即开平方】法先其设数与某数能相为比例得几倍如法求之假如有平方积一千二百 　　二十五尺欲求其根以约分法求得 　　二十五为设数四十九之一即以规 　　于平分线取五防为平方线上一防 　　之底定尺展规于四十九防取其底 　　即得一边三十五尺为平方根【积二十五方根五加四十九倍为积一千二百二十五方根三十五】　或用四十九为设数【一千二百二十五尺】二十五之一即以规取七防为平方一防之底而取平方二十五防之底亦得方根三十五如所求【积四十九方根七加二十五倍为积一千二百二十五则其方根三十五又法若无比例可求者但以十分为一防之底定尺有假如在用法七】 　　用法二　凡同类之平面形可并为一大形【或方或圆或三角多边等形但形相似即为同类】假如有平面正方四形求作一大正方形与之等积其第一形之幂积为二第二形之积为三第三形之积四有半第四形之积六又四之三法先并其积得【十六叉四之一】乃任取第一小形之边为 　　底二防为定尺【若用第二形之边为底定尺即用三防为】而于十六防又四之一取其底为大形边其面积与四形总数等 　　若但有同类之形而不知面积亦 　　不知边数则先求其积之比例如 　　甲乙丙丁方形四法以小形甲之 　　边为底平方线第一防为定尺 　　次以乙形边为底进退求等数得 　　第二防外又五分之一即命其积 　　为二又五之一【此与小形一之比例不拘丈尺】次 　　丙形边为底求得【二又四之三】丁形边 　　得【四又六之五】并诸数及甲形一得【十又 　　六十分之四十七】约为【五之四弱】向元定尺上 　　寻十防外十一防内之距取其五 　　之四为等数之两【即十一弱】用其底 　　为大方形边其面积与四形并数 　　等 　　【此加形法也圆面及三角等面凡相似之形并可相并其法同上】 　　用法三　平面形求作一同类之他形大于设形几倍 　　【以设形之邉为一防之底定尺】　假如有正方形面 　　积四百其邉二十今求别作一方形 　　其容积大九倍法以设形邉【二十】为平 　　方线一防之底定尺而取平方九防等数之底得【六十】如所求【邉六十其方积三千六百以比设形积为大九倍】 　　用法四　平面形求别作一同类之形为设形几分之几【以设形之邉为命分定尺而于得分取数】　假如有平方形积三千六百其邉六十今求作小形为设形九之四法以设形邉【六十】为平方第九防之底定尺而取第四防之底得【四十】如所求【邉四十其积一千六百以比设形积为九之四也九为命分四为得分】此减积法也圆面三角等俱同一法 　　用法五　有两数求中比例【即三率连比例之第二率】 　　假如有二与八两数求其中比例法先以大数为平方线八防之底而取二防之底得四如所求 　　二与四如四与八皆加倍之比例故四为二与八之中率 　　用法六　有长方形求作正方形　假如长方形横二尺直八尺如上图求得中比例之数为四尺以作正方形之边则其面积与直形等 　　直八尺横二尺　其积一十六尺 　　方形各边并四尺其积亦十六尺 　　用法七　有设积求其方根而不能与他数为比例则以一十数为比例 　　假如平积二百五十五用十数比之为二十五倍半即取十数为平方线一防之底而取二十五防半之底得十六弱为方根【十六自乗积二百五十六今只欠一小数故命之为十六弱】 　　第三更面线 　　【凡平面形方必中矩圆必中规其余各形并等边等角故皆为有法之形而可以相求】 　　分法 　　置公积四三二九六四以开方得正方形之根六五八三边形之根一千五边形之根五○二六边形之根四○八七边形之根三四五八边形之根二九九九边形之根二六○十边形之根二三七十一边形之根二一四十二边形之根一九七圜径七四二以本线为千平分而取各类之数从心至末取各数加本类之号 　　用法一　有平面积求各类之根【凡三角及多边各平面形其边既等故并以形之一边为根圆形则以径为根】法先以设数于平方线上求其正方根以此为度于更面线之正方号为底定尺次于各形之号取底即得所求各形边 　　假如有平面三等边形积二千七百七十一寸欲求其边法以设积于平方线上如法开其平方根【依前卷用法七以设数为十数之二百七十七倍强各降一位命为一数之二十七倍又十之七强乃以一数为平方一防之底定尺而于其二十七防十之七强取底数得五寸二六进一位作五尺二寸半强】以所得方根为更面线正方号之底定尺而取三等边号之底得八尺为三等边形根如所求 　　用法二　有平面形不同类欲相并为一大形法先以各形边为更面线上各本号之底定尺而取其正方号之底作线为所变正方形之边次以所变方边于分面线上求其积数而并之为总积 　　假如有甲【三角】乙【五边】丙三形欲相并先以甲边为三角号之底定尺而取其正方号之底作线于甲形内【如此则甲形已变为正方下同】书其数曰十次以乙边为五边号之底如前取其平方底向平方线求之得二十一半【其法以甲 　　邉为平方十防之底定尺而以乙所变方边进退求等度之命之】即 　　于乙形作方底线书之次以丙圆径 　　为平圆号之底如前求得十六弱并 　　三数得四十七半弱为总积【此因三形之邉 　　无数姑以小形命十数定尺而所得各方积并小形十数之比例】若三形内先知一形之面积即用其 　　所变方邉定尺则所得皆真数如上 　　三形但知丙形之积十六【或十六尺或十六寸】 　　【等】如法以丙形邉变方边于平方线十六防为底定尺余如上法求之亦必得甲为十数乙为二十一半总积四十七半但前条所得是比例之数比例虽同而尺有大小故以此所得为真数也 　　末以总数于原定尺上寻平方线四十七防半处取其底度为平方邉则此大平方形与三形面积等若欲以总积为五邉形则以所得大平方邉为更面线正方号之底定尺而于五邉形之号取其底即所求五边形之一邉【若欲作三角或圆形并同一法】 　　用法三　有平面形欲变为他形如上法以本形邉为本号之底定尺而取所求他形号之底 　　假如有三角形欲改平圆则以所设三角形之邉加于本尺三角形之号为底定尺而取平圆号之底求其数命为平圆径所作平圆必与所设三角形同积 　　用法四　有两平面形不同类欲定其相较之比例如前法各以所设形变为平方 　　假如有六邉形有圆形相较即如法各变为平方求其数平圆数二十六邉数三十六即平员为六邉形三十六之二十以二十减三十六得十六为两形之较