历算全书 - 第 118 页/共 206 页
假如有甲乙丙三角形求甲角法任
于甲角旁之一邉截戊甲十寸作垂
线如戊丁截又一邉于丁得丁甲十
九寸次以十数为割线初防之底定尺而以十九数为底进退求等数得五十八度一十七分为甲角之度
用法二 作平面日晷【兼用割切二线】
法曰先作子午直线卯酉横线十字相交于甲以甲为正午时从甲左右尽横线尽处为度于切线八十二度半为底定尺次于本线七度半取底向卯酉横线上识之自甲防起为第一时如甲丙甲乙次每加七度半取底如前作识为各时分【如七度半加之成十五度即第二时又逓加如二十二度半三十度三十七度半四十五度五十二度半六十度六十七度半七十五度至八
八十二度半合线末元定之防】若逓加三
度四十五分而取底作识
即每时四刻全矣【按每七度半加
防乃二刻也今每三度四十五分则一刻加防】订定法曰横线上定时刻
讫次取甲交防左右各十
二刻之度【即元定四十五度之切线亦即】
【半径全数】为割线上北极髙度之底定尺而取割线初防之底为表长【如壬庚】 次以表长当半径为切线四十五之底定尺而检北极髙度之正切取底自甲防向
南截之如甲壬以壬为表位
又于北极髙度之余切线取底
自表位壬向南截之如壬辛以
辛为晷心 末自晷心辛向横
线上原定时刻作斜直线引长
之得时刻 时刻在子午线西
者乙为午初丁为巳正癸为巳初又加之即辰正又加之即辰初在子午线东者丙为未初戊为未正巳为申初又加之即申正又加之即酉初并逓加四刻谨按卯酉线即赤道线也二分之日日躔赤道日影终日行其上庚甲割线正
对赤道正午时日影从庚射甲成庚甲影若已末午初则庚防之影不射甲而射乙而庚甲影如半径乙甲如切线矣以庚甲为切线上半径而递取各七度半之切线以定左右各时刻之防并日影从庚所射也然此时庚甲之度无所取故即用赤道线四十五度之切线代之用切线实用庚甲也【庚甲既为切线之半径则必与四十五度之切线同长】
以四十五度当半径而取切线以定时刻此天下所同也然赤道髙度随各方北极之髙而变庚甲割线何以能常指赤道则必于表之长短及表位之逺近别之故以庚甲当北极髙度之割线而取其初防为表长初防者半径也本宜以半径求割线今先有割线故转以割线求半径也既以庚壬表长为半径庚甲为割线则自有壬甲切线而表位亦定矣表位既定则庚甲影能指赤道矣何以言之表端壬庚甲角既为极髙度则庚角必赤道髙度而庚甲能指赤道也故北极度髙则庚角大甲角小而庚壬表短壬甲之距逺北极度低则赤道髙甲角大而庚壬表长壬甲之距近比例规觧乃以表位定于甲防失其理矣遂复误以割线为表长余割线为晷心而强以割线名为表心线名实尽乖贻误来学此皆习其业者原未深谙强为作觧而即有毫厘千里之差立法者之精意亡矣故特为阐明之
庚壬表上指天顶下指地心为半径
壬表位壬甲为正切线辛晷心辛壬
为余切线甲角即赤道髙度壬庚甲
角即北极髙度与辛角等
用法三 先有表求作日晷【借用前图可解】
法先作子午直线任于线中定一防为表位如壬乃以表长数壬庚为切线四十五度之底定尺而取本方北极出地度之底得壬甲正切度于表位北作防【如甲】次于甲防作卯酉横线与子午线十字相交即赤道线春秋分日影所到也又取极髙余度之底得壬辛余切线于表位南作防【如辛】即晷心也若自表端庚作直线至晷心辛即为两极轴线辛指南极庚指北极也次以表长【庚壬】与壬甲正切相连作正方角则庚壬如句壬甲如股而取其线庚甲即极出地正割线也次以庚甲为切线四十五度之底定尺而各取七度半之底累加之于甲防左右作识于卯酉横线上末自晷心辛作线向所识防即得午前后时刻并如前法
用法四 有立面向正南作日晷并同平面法但以北极髙度之余切线定表位以正切线定晷心则自晷心作线至表端能上指北极为两极轴线又立晷书时刻并逆旋与平面反然以立晷正立于北与平晷相连成垂线则其时刻一一相符
用法五 用横表作向东向西日晷
假如立面向正东法于近南作直线上指天顶下指地心近上作横线与地平相应两线相交于甲以甲为心于两线间作象限弧自下起数至本方北极出地度止自此向甲心作斜直线以分弧度
此线即为赤道次以甲为表
位用横表乙甲之长取数为
切线四十五度之底定尺递
取十五度切线从心向赤道
线累加之作识定时即春秋
分日影所到也【若分二刻则逓取七度半】
【细分每刻则逓取三度四十五分】次于甲心作横斜线如丁戊为赤道之垂线其余时刻防各作线与丁戊平行【亦并与赤道十字相交】次于元定尺上【即以表长为四十五度所定】取二十三度半之切线为度于甲左右截之为界【如丁甲如戊甲】即二至卯正时日影所到也【二分日卯正则乙甲表正对日光无影分前后则有纬度而影亦渐生日日不同然不离丁戊线至二至而极冬至影在北如丁夏至影在南如戊以此为界向西酉正时亦然】仍用元尺取【每十五度之黄赤距纬】切线作于丁戊线内从甲防左右作识得各节气卯正日影【或取三十度切线则所得每月中气酉正亦然】
次以乙甲表长为割线初防之底定尺而取十五度之割线为二分日在辰初刻之影如乙辛即天元赤道上日离午线十五度其光过乙至辛所成也就
以乙辛割线为切
线四十五度之底
而取二十三度半
之底自辛防左右
截横线并如辛壬
为冬夏至辰初刻日影所到之界【辛壬在南为夏至其在北为冬至亦然】又逓取【每三十度之黄赤距纬】切线从辛至壬作防为各中气界【此向南日影界乃赤道北半周节气其辛防向北作界为南半周亦然】自此而辰正而巳初而巳正以至午初并同乃于节气界作线聫之即成正东日晷其面正西立晷作法并同但其时刻逆书自下而上最下为未初次未正次申初次申正次酉初而至酉正则横表正对日光而无影矣此亦二分日酉正也其余节气亦有短影而不出本线与卯正同
新增时刻线【以切线分时刻本亦非误但切线无半度取度难清今另作一线得数既易时刻尤真】
分法 依尺长短作直线【如后图乙丙】于线端作横垂线【如乙甲为乙丙垂线】又作直线略短与设线平行交横线如十字【如甲巳线交横线于甲】以甲为心作象限弧六平分之为时限各一分内四平之为刻限次于甲心出直线过各时限至直线成六时过各刻限者成刻乃作识纪之【并如后图】
尺短移直线近甲心取之【移进线并与原直线平行以遇第六时第二刻为度如已戊虚线遇丁戊线于戊即戊为第六时之二刻】
用法 凡作日晷并以所设半径置第三时为底定尺而取各时刻之底移于赤道线上午前午后并起午正左右为第一时依次加识即各得午正前后时刻【并如前法】
第十五金线【即轻重之学】
物有轻重以此权之独言五金者以其有定质也五金之性情有与七政相类者因以为识
金【太阳】水银【水星】铅【土星】银【太隂】铜【太白】铁【火星】锡【木星】
分法 用各分率及立方线
比例率 【先取诸色金造成立方体其大小一般无二乃权其轻重以为比例】
黄金一
水银一又七十五分之三十八【仪象志作九十五分之三十八】
铅一又二十三分之一十五
银一又三十一分之二十六
铜二又九分之一
铁二又八分之三
锡二又三十七分之二十一【比例规觧原作三十七分之一则锡率反小于铜铁而轻重之序今依仪象志】
金体最重故以为凖自尺心向外任定一度为金之根率自此依各率増之并以金度为立方线上十分之底定尺次依各率为底进退求等数取以为各色五金之根率自心向金率防外作识
解曰此同重异积之率也于立方线上求得方根作识于尺则同重异根之率也金体重则其积最少【谓立方体积】各色之金【谓银铅等】体并轻于金故必体积多而后能与之同重然立积虽有多少非开方不得其根之大小故必于立方线求之也
又解曰先以同大之立方权之得各率者同根异重之率也而即列之为同重异根之率何也盖以根求重则金最重而他色轻以重求根则金最小而他色大其事相反然其比例则皆等假如金与铜之比例为一与二强若体同大则金倍重于铜矣若其重同者则铜之体必倍大于金其理一也
又法 用立方根比例率
黄金一六六弱
水银一九一弱
铅二○二
银二○四
铜二一三
铁二二二
锡二二八
用法一 有某色金之立方体求作他色金之立方体与之同重【或立圆及各种等面体并同】
假如有金球之径又有其重今作银球与之等重求径若干法以金球径数置本线太阳号为底定尺而取太隂号之底数作银球之径即其重与金球等
用法二 若同类之体其根同大求其重
假如有金银两印章体俱正方而其大等既知银重而求金重法以银图章之根数置太隂号为底定尺而取太阳号底数次于分体线上以银章重数为两太阳号底定尺而转以太隂底数【即银章根数】进退求等得数即金章之重