历算全书 - 第 110 页/共 206 页

解曰五分丈之四者八尺也七分丈之四者五尺七寸一分强也七分丈之五者七尺一寸四分强也 　　若用倒位乘以代除所得亦同 　　法用子四乘母七得卄八为母用母互乘子 　　四得卄为子子母各取四之一即七之五也 　　论曰同文筭指有畸零乘除之法甚为简妙然莫适所用今以三率列之则实数可稽而用法亦明矣 　　畸零乘除定位 　　凡乘法得数必大于原问之数若畸零乗则其数反降凡除法得数必降若畸零除则其数反陞盖即异乘同除之理诸家术皆未经说破故定位多讹兹以三率明之如左假如换珠每珠一两值银二十四两今有珠三分五厘该若干答曰八钱四分 　　此首率是单两 　　而三率有分厘 　　是单下有三位 　　零也故截去得 　　数尾三位命法 　　尾两两位空定所得为八钱四分 　　论曰此即以乘出之数为四率者以首率是单一两故省除耳试即以三率实尾位厘为单而定所得为八百四十两为实亦陞首率单两为千厘为法除实【即以实数降三位】亦仍得八钱四分合问【此条已详二巻乘法中兹以三率列之于定位之理益明】 　　又论曰乘除之难在于定位而畸零为尤难所以者何凡定位以单数为根而畸零无单位可言故也前于乘法中立本数大数小数三法以寻每位可以御畸零矣于除法犹未有以处也今皆归之三率惟视三率中所有之数即命为单数【如金银之类本以两为单今视三率中有分即以分为单而两则为其百数又如米谷之类本以石为单今三率中有斗即以斗为单而石则为其十数他仿此】则虽畸零皆可作整数筭无论乗除一以贯之矣【是为以零变整而乗除之后得数无异此所以别于通分化整为零之法也】 　　假如有珠三分五厘价银八钱四分问每两珠价若干答曰二十四两 　　【此一率首位是分即以分为单数以二率 　　陞两位作八十四两为实以法三分五厘 　　对实分位列之除毕于法上一位命 　　为单分推而上之定得数为二十四两合 　　问】 　　解曰二率陞二位为实者即百分乘也分原在单两下二位今既陞为单则单两亦陞二位成百分也 　　假如银二钱四分买稻九十六斤毎两该若干 　　答曰四百斤 　　【此以钱为单数则三率单两成十钱而二率亦陞一 　　位成九百六十○斤为实于是以法二钱对实○位 　　列之以单钱对单斤也除毕于法上一位命为单 　　斤即得数为四百斤合问】 　　假如以豆换油豆四斗八升换油十二斤今豆十石该油若干答曰二百五十斤 　　【此以斗为单数则三 　　率十石成百斗故二率亦陞两位作一千 　　二百斤为实以法四斗对实○斤位列之 　　亦以单斗对单斤也余亦同】 　　假如芝麻六斗四升四合换豆一石今芝麻四石八斗三升该豆若干 　　答曰七石五斗 　　若以斗为单则命实为四十八石三斗【以二率十斗乘之也】而以法首六斗对实三斗列之除毕于法上位定为斗亦得七石五斗或以升为单以合为单得数亦无不同也【以升为单法上即命为升以合为单法上即命为合】 　　假如钱六百五十文价四钱八分七厘半每千该价若干 　　【此问毎千钱价是以千为单也今法首只有百 　　即以百为单而陞单千为十百则二率亦陞一 　　位作四两八钱七分五厘为实四两列之以单 　　百对单两也除毕于法上位命为单两两位空 　　定得数为七钱五分】 　　歴筭全书卷三十七 　　钦定四库全书 　　厯算全书巻三十八 　　宣城梅文鼎撰 　　笔算巻五 　　开平方法 　　测量句股全恃开方开方有平有立而平之用博以其有实无法故别为一术以佐乘除之所穷 　　平方者面羃也其形正方故亦为自乘之积开平方者以自乘之积求正方之邉故西法谓之测面其邉谓之方根法先列实　依除法作两直线以所用方积列于右直线之右自上而下至单位止无单作○ 　　次作防定位　自单位作一防起毎隔一位防之有一防则商一位【如有二防则商数有十有三防则商数有百】 　　次定初商　皆自原实最上一防截定为初商之实【如防在首位即以一位为初商实防在次位即合两位为初商实】以自乘数约而商之皆以防处为本位防上一位为进位【本位者单数也如一商一四商二九商三其自乘皆本位不论百与万以上皆作单数用进位者十数也如一六商四二五商五以至八一商九其自乘皆有进位不论千与万以上上皆作十数用】 　　又法　以初商实入表皆视初商实有与表同数或稍大于表数者用之以命初商【如一商一四商二此与表数相同也如二三亦商一五六七八皆商二此比表数稍大也若至九则商三又为相同之数矣十至十五皆商三皆比表数稍大至十六商四又为相同之数他皆仿此】初商表【凡初商三以下减积在本位四以上减积合两位此表明之】 　　用表防法【但视初商实不满表上自乘积者退一格即商数如不满○四即商一不满○九即商二他仿此】既得商数即书于左直线之右皆对初防之进位书之【凡商得一二三四书于防之上一位】五以上又进一位【凡商得五六七八九书于防之上两位】次减实　以初商数自乘书于左直线之左皆以本位对初防【如初商一二三自乘一四九皆本位即对初防书之如初商四五六七八九其自乘皆有进位则以下一字对初防】就以此命为减数以对减右直线所列方积如减积不尽则有次商次商之法　倍初商得数为次商亷法对原实位书于右直线之左【视实冇二防则初商是十有三防初商是百四防初商是千各取倍数对原列方积千百十零之位书之倍而言十者亦进位对之】截原实第二防为次商之实【次商减积至此防止】以廉法约实为次商数【并依除法约之】挨书于初商之下即用次商数为隅法亦书于廉法之下为次商廉隅共法【省曰次商法】以与次商数相乘书其数于左直线之左【皆以法首位所乘之进位对次商数书之若言如之数亦以○位对之法有几位徧乘而挨书之　至次防止　又法先以法尾位隅法乘次商数以本位对次防书之进位上一字书之依乘法例自下而上法有几位皆徧乘而迭进书之至次商数止亦同】命为次商减积数以对减右直线余积而定次商【皆减积至次防止】如减数大于余积则改次商【亦改隅法】如上乘减及减而止次商减积不尽则有三商 　　三商之法　合初商次商数倍之为廉法【简法只以隅法加倍増入次商法内即三商廉法】截原实第三防为三商之实【三商减积至三防而止】余并同次商如减积不尽则有四商 　　四商以上并同三商法 　　审○位之法　若次商廉法大于苐二防以上余积或数适相同是商得○位也【凡商得一数者其减积必与廉法同而多一数以为隅故仅同者无隅积也即不能商一数而成○位】则书○于初商之下以当次商亦增○于亷法之下为三商亷法三商以上有○并同【若应商几位而于初商或次商即已减积至尽是末几位皆商得○也俱补作○】命分之法　若已商得单数而仍有余积当以法命之【以商得方根倍之加隅一为分母不尽之数为分子命为几分之几】虽未商得单数而余积甚少不能成单一数亦以法命之【前审○位云亷法大于余积者但取第二防以上相较不论千百十零其所谓不能商一数者或是一千或是一百不拘定是单一也故商○之后仍有所商与此不同】 　　还原法以商得方根自之有不尽者以不尽之数加入之即得原实又简法作直线于左方以应减之积依并法并之必合原实有不尽数亦加入之并同除法还原 　　初商本位式【凡初商一二三者减积言如在本位　初商一二三四者书商数于防之上一位然以书商数之位言之亦本位也两本位法此一式中皆可明之】 　　假如有方田积二百五十六步问每面方若干 　　答曰每面方十六步 　　列实【作两直线列方积于右直线之右】作防定位【自单位起毎隔一位作一防共两防宜商两次　初商是十】 　　初商【防在实首位即以实首位○二为初商实以自乘数约之得一为初商初商是一宜对防上一位书于左直线之右有两防初商是一十自乘一百为减数书左线之左遥对右行初防○二百书之就以对减初商实于二百内减一百仍余余一百改书之初商减积未尽有次商】 　　次商【倍初商一十作二十对原列方积十步位书于右线之左为亷法　以第二防余实一五六为次商实用亷法约实可商七步因无隅积只约六步为次商以书于初商之下即用六步为隅法以书于亷法之下合亷隅共二十六步为次商法以乘次商六步得亷积一百二十步隅积三十六步皆对次商位书起每挨一位书之至次防止共得次商减数一百五十六以对减余实恰尽】共开得平方根一十六步合问 　　甲乙丙丁四形合为正方形【四面皆一十六步】甲分形正方【四而皆十步积一百步即初商积】丙丁二分形皆长方【广六步长十步积六十步两形共积 　　一百二十步即次商廉积】 　　乙小分形亦正方【面皆六步积三十六步即次商隅积】自乘还原法置方一十六步为实即以 　　十六步为法乘之得二百五十六步合 　　原数 　　初商进位式【凡初商四五六七八九减积言十在进位初商五六七八九书商数于防之上两位凡书商数以防上一位为本位则此其进位也两进位法此一式中皆有之】 　　假如方积三十五万八千八百零一尺问方若干答曰方五百九十九步