历算全书 - 第 109 页/共 206 页
原数一 九 之□又 四十 之七减乙 九 之八又八 之三变四十 之一十五存甲 九 之四又五 之四即四十 之三十二解曰【四十与八是五倍比例故以乙小分八之三母子各五倍之即变为四十之一十五则两母齐同可以对减矣】右系大分母同而小分母不同故用互乘以同之
假如甲丙两坵田共四亩又六十分亩之四十三甲坵二亩又四分亩之三又小分五之一余为丙坵该若干
答曰一亩又十二分亩之十一【即六十之五十五母子各五约之为十二之十一】法先以甲小分母五通大分四之三为二十之十五加入原小分一共二十之十六乃列而减之【如此则大分小分合而为一与原数无小分者类矣】
存丙一又 六十 之五十五用变分母法以甲子母各加三倍变二十之十六为六十之四十八以减原数四十三不及减乃作直号于整数位借一数通为六十分纳原数共一百○三减甲数四十八余五十五次减整数整数四因借减一成三减甲二仍余一是为整数一又六十之五十五即丙存数也
右系大分母不同故通为小分而减之
以上大分小分法为通分减法之又一类通分子母乘法
假如有田三十六亩六分毎亩征银三分钱之二问该银若干答曰二两四钱四分
法以分子之二乘田三十六亩六分得
七十三分二以分母三收之得二两四
钱四分合问
何以知其为七十三分也曰原问毎亩
徴银三分钱之二分故于右行实数内
寻毎亩之位为定位之根以横对左行
得数即命为分则上下俱定矣
假如有银六十四两毎两买铜八斤十二两该铜若干答曰五百六十斤
先以斤法【十六】收十二两为斤下之七分
五厘加八斤共八七五为法以乘银六
十四两得五六○○○即于右行实数
内寻毎两位以横对左行得数命法尾
厘推而上之定为五百六十斤
假如有米五石【又三分石之二】毎石价银九分两之八该银若干答曰五两又二十七分两之一
法以分母三通五石为十五分纳子二
共十七分以价之八乘之得一百三十
六又以两分母【三九】相乘得二十七收之
合问
通分子母除法
假如毎田一亩徴银三分钱之二今完编银二两四钱四分该田若干
答曰三十六亩六分
法以分母【三】通二两四钱四分为七十
三分二为实以分子之二为法除之即
得三十六亩六分合问【原所设三分之二以钱为主故
四分所通为小分】
假如有米五石又三分石之二共价银五两又二十七分两之一问毎石该价若干
答曰九分两之八
法先以米分母【三】通五石为十五分纳子二共十七分为法又以价分母【卄七】通五两为一百三十五纳子一共一百三十六分为实法除实得八为毎石三分一之价以分母三乘之得二十四分为毎石价命为二十七分两之二十四约为九之八
又防法【以米分母三除银分母二十七得九为毎石价之母即以除出之数为子即九之八】
假如有丝一斤又六分斤之四共价一两又四十二分两之二十问毎斤价若干 答曰七分两之六又十之二法先通丝一斤为六分纳子四共一十为法又通银一两为四十二分纳子二十共六十二退一位【即一十除也】命为单六又小分二即毎斤六分一之丝价也于是以分母六乘之得三十六又小分十二为毎斤价是为四十二分两之三十六又小分十二也子母并六约之为七分两之六又小分十之二防法【以丝分母六除价分母四十二得七为毎斤丝价之母即命为七分两之六又十之七】通分子母三率法【即异乘同除】
假如西厯太阳毎日平行【五十九分零八秒二十微】今有二刻半该行若干分答曰一分三十二秒卄四微【又九十六分微之卄六】
法【先通五十九分为三千五百四十秒加原帯八秒共三千五百四十八秒又通为二十一万二千八百八十微加原二十微共二十一万二千九百微在位以二刻半乘之得五十三万二千二百五十微为实以一日化九十六刻为法除之得五千五百四十四微不尽除满三千六百微收为一分又一千九百二十微收为三十二秒仍余二十四微 不尽者以法命之是为一分三十二秒二十四微又九十六分微之二十六】
论曰此小数法也何则二十一万二千九百者是每日九十六刻之数今以二刻半乘之于刻下多一位故截去得数尾一位命为百
假如以粟易布毎粟六分石之二易布五分疋之三今有粟一石又三分石之二该布若干 答曰三疋
一 粟六分石之二【母子各减一倍】变为三之一
四 布五分疋之【十五】 收为整三疋【两粟母同为三省不用只以布分母收之】用变分母法变一率六之二为三之一则两粟母相同可省互乘而子变为之一又可省除只以三率一石用分母通为三纳子二共五以乘二率布分子之三得十五再以布分母五收之即得三疋合问
假如以银换金毎银二两又三分两之二换金九分两之二今有银六分两之四该金若干
答曰十八分两之一
四 金【十八】分两之一
法以一率分母【三】互乘三率六之四为十八之十二与二率之二相乘得二十四为实又用一率分母三通二两为六分纳子二共八是为三之八复以三率分母【六】互乘之为十八之四十八以乘金母【九】得四百三十二为法法大实小以法命之为四百三十二之二十四母子各二十四约之即十八分两之一合问
若用变分母法则如后式
一 银二两【又三之二】 通为三之八乘得【七十二】为法【以金母九乘之八也】
四 金【七十二分】两之四 约为【十八】之一【子母各四约之】
解曰十八分两之一即五分五牦五五不尽畸零分子母乘法
假如以八之五乗四之三该若干
答曰三十二之十五
法以母乘母得三十二子乘子得十五即三
十二之十五为乗得数也
又法以除代乗则倒位互除之
法以五除四得八为母数以八除三得三七
五为子数是为八之三七五与乗得之数同
解曰四除三十二得八四除十五得三七五若四因八得三十二四因三七五亦得十五
用法
假如谷一石价二十七分两之十六今有谷四分石之三价若干
答曰九分两之四
一 谷一石
四 价九分两之四【因首率是一故省除即以九之四为得数】
解曰二十七分两之十六即五钱九分二牦六毫弱也谷四分石之三即七斗五升也价九分两之四即四钱四分四四不尽也
若用倒位除以代乘则径得九之四
法用母四除十六得四为子用子三除二
十七得九为母是为九之四也
畸零分子母除法
假如以五之四除四之三该若干
答曰八之七五
法以母除母得八子除子得七五是为八之
七半即除得数也
又法以乘代除则倒位互乗之
法以母五乘子三得【十五】为子以子四乗母四
得【十六】为母是十六之十五与除得之数同
解曰十六即八之倍数十五即七五之倍数故其数同用法
假如以绢易縀绢五分丈之四换縀七分丈之四问绢毎丈该縀若干
答曰该换縀七分丈之五
一 绢五分丈之四 法以母除母得一四子除子得一○是二 縀七分丈之四 为一十四之一十子母各半之为七分
三 绢一丈 之五【三率是一省乘即用縀七之四为实】
四 縀七分丈之五