历算全书 - 第 108 页/共 206 页

八　一○　○九　　　【铢满二十四进一两余三两满十六进一】□　○□　□八　　　【斤斤共十二是为一十二斤○三铢合问】 　　共一二斤○○两○三铢 　　右大小分母俱同故径以子并 　　假如甲数九【之四】又小分【五之四】乙数九【之八】又小分【八之三】并之若干答曰整一又九之四又小分四十之七 　　先同其小分之母 　　【先以小分母相乘得四十为共母　又互乘其子变 　　五之四为四十之三十二变八之三为四十之十五】 　　小分母既同乃重列而并之【余同上】 　　【并之】得九之十二又四十之四十七 　　归整一又【九之四】又小分四十之七　【小分满四卜收为大分一大分满九收为整一】右系大分母同而小分之母不同故互乘之使其同 　　假如有田二坵甲坵二亩【又四分亩之三】又小分【五之一】丙坵一亩【又三分亩之二】又小分【四之三】并之若干 　　答曰整四亩【又六十分亩之四十三】 　　先以甲小分母五通大分四之三为小分二十之十五加入原小分一共二十之一十六为甲数 　　又以丙小分四通大分三之二为小分十二之八加入原小分三共十二之十一为丙数 　　解曰【此即古通分纳子之法也以大分尽通为小分而纳小分焉实则以小分陞为大分也】 　　【并得】三又　　　　　二百四十之四百一十二归整四又【二百四十之一百七十二】约为六十之四十三 　　右系大分母不同故尽通为小分而并之 　　以上大分小分法为通分并子之又一类 　　凡通分并法以通分减法还原【互见后除】 　　通分子母减法 　　通分减法亦有三类曰母同者曰母不同者曰大分小分者而其减之之法有五曰径减法曰变分母法曰互乘法曰子乘母除法曰通母纳子法【并之与减犹乘之与除可以互相还原相反而适相成也故所用之法皆同】径减法【数在三宗以上而母同者并用此法】 　　凡分母同者径以相减不足减者以分母通整数减之假如有纻丝一疋零【五分疋之三】用过五分疋之三问仍存若干答曰五分疋之四 　　原一　五之二　　【此以之三减之二则减数反大于原数不足减以借法作】减　　五之三　　【防于疋位借原数一疋通作五分并之二共成五之七内】存○　五之四　　【减去五之三仍存五之四合问】以上分母同者径以对减为通分减法之一类 　　变分母法 　　凡分母有可以比例言者以比例同之可省互乘假如有数六之三又有数四之三其较若干 　　答曰四之一 　　较　　　　四　之一 　　假如有整数一零八之三减去四之三该存若干答曰八之五 　　整数一　八　【之　通三　为】八　之【十一】 　　减数　　四　【之三】　变八　之六 　　存数　　　　　　八　之五 　　互乘法 　　凡分母不同者先互乘以同其母以母互乗其子而减之假如有两数甲五之三乙七之四不知谁多 　　【法以两分母五七相乘得三十五为共母又互乘其 　　子变甲数为三十五之二十一变乙数为三十五之 　　二十以相减则乙不及甲者其较为三十五分之一】 　　甲多　　三十五之　　一 　　凡分母同者视其子为大小【子数大者即大小者即小】若子同而母不同者反是【母数大者子数反小】亦以互乘见之如后图 　　【甲六之四乙五之四】互得三十【之二十　丙四之三之卄四　丁五之三】互得二十之【十五十二】 　　乙多　　　三十分之四　丙多　　　　二十分之三右二则以分相较而辨其多寡即古课分之法也 　　凡三母内有两母相乘与余一母同者只用一互乘即可相减假如有甲数二又【三十五之十一】乙得甲【七之六】丙得甲【五之四】余为丁数该若干 　　答曰丁得甲三十五之二十三 　　【先以分母通整数为分而纳入分子 　　次以减数分母相乘为共母又互乘 　　其子而并之是为三十五之五十八】 　　丁存　　　　　　三十五之卄三　【以减甲数仍余三十五之卄三合问】子乘母除法 　　凡分母有可以相除者以分母除其分母得数转以乘子而减之其余数仍以分母除之即得约分之数若原系两分母互乘而并者用此法可知原母【数在三宗以上而母不同者并用此法可代维乘】 　　假如有沉香一石零【二十八分石之九】用去七分石之四该余若干 　　存　　卄八　之　　二十一　约为四之三【法以分母通共数一为二十八并子之九共三十七变共数为二十八之三十七　又以减分母七除共数之分母二十八得存数原母四以乘减分子四得十六变减数为二十八之十六两相减得所存数为二十一于是仍以减分母七除之得存数原子三变存数为四之三】 　　【论曰此亦变分母法也其数与互乘所得无异但用互乘则数益烦故用子乘母除之法变七之四为二十八之十六母既相同即可以相减矣若互用异乘同除则成三率之比例如后图】 　　一率【分母七】　法以子之四乘所变分母二十八得一百二率【分子四】　十二为实分母七为法除之得所变分子三率【分母卄八】　为十六其比例为七与四若二十八与十四率【分子十六】　六也 　　又论曰存数不用约分法而竟以分母七除何也曰约分之法以对减而得纽数今分母七既可以除其母二十八又可以除其子二十一即纽数也又何事于对减之烦乎况用之互乘还原尤为亲切盖互乘之共母既以原母相乘而得即无不可以原母除之而尽也 　　假如有整数一又【九十之七十二】甲得六【之四】乙得三【之一】余为丙数该若干 　　答曰丙得五之四 　　丙存　　五　之四　　　九十　之七十二法曰【先以分母通整一为九十并分子七十二是为九十之一百六十二　次以甲分母六除原母九十得十五以甲分子四乘之得六十为甲数　又以乙分母三除原母九十得三十以乙分子一乘之仍三十为乙数合甲乙两数得九十以减原数一百六十二仍余七十二为丙数以法约之为五之四　约分法详后条】约分防法　置丙存数【九十之七十二】为实以甲乙分母【六三】相乘得 　　数【十八】为法除之得五之四为丙存数【以十八除九十得五十八除七十二得四约分本法用子数七十二减母数九十得十八以转减子数得五十四再递减之亦余十八是为纽数乃用为法以除子母数得约分五之四今改用甲乙两母相乘亦得十八为法何也以原数九十可以六除亦可以三除知其为三数维乘而得者也故于还原最切】 　　论曰此有分母三宜用维乘然其数益繁故改用子乘母除之法则三母齐同可用相减而法与数俱简矣 　　试先减乙丙数则所存者即甲数【法同上】 　　甲存　【约为】六　之四　　即九十　之六十 　　若先减甲丙数则所存者必乙数其法并同兹不悉具按如此互求即知无误可无假他法还原矣 　　假如有数五百○四之四百○一甲得【八之一】乙得【六之一】丙得【七之一】丁得【九之一】余者为戊数该若干　答曰戊得四之一 　　原数　五百○四　　　　　　　　　　之四百○　一 　　甲减　八　之一　　　　　　　　　　　　　六十三 　　乙减　六　之一　以各减母除原母得　　　　八十四 　　丙减　七　之一　　　　　　　　　　　　　七十二 　　丁减　九　之一　　　　　　　　　　　　　五十六 　　共减　　　　　　　　　　　　　　　　二百七十五 　　戊存　五百○四　　　　　　　　　　之一百二十六约为　四　之一【以所存之数除原母即得】 　　解曰此因分子俱系之一故即以除数为得数也以上分母不同者为通分减法之又一类 　　大分小分减法 　　凡大小分母并同者【谓原数之大小分母与减数之大小分母也下仿此】竟以对减不足减者借整数以分母通为分【小分不足减亦以小分之母通大分为小分　其借上位皆作防志之】若大分母本同而小分母不同者用互乘以同之余如上法若大小分母俱不同者用通分法尽通大分为小分而纳小分焉余如上法 　　假如西厯得某月平朔三十日○一时一十六分其实距时七时四十分为减号问实朔在某甲子某时刻 　　答曰壬辰日酉初二刻○六分【以二十九日命为壬辰日以十七时命为酉初其小余三十六分以三十分收为二刻尚余六分命为壬辰日酉初二刻○六分】 　　日　时　分【时为大分大分以二十四为母时下为小分小分之母六十】 　　平朔三□○□一□【先减小分四十原数只十六不足减作直号于大分位借一分通为小分实距时】　　七四□　【六十并原小分共七十六减四十余三十六　次减大分七原数一已借】实朔二□一□三□【去亦借整一通为二十四减七余十七　原数三十因借减一余二十九】凡大小分母不同者【谓大分之母与小分之母不同也】须作防以别之故借整化零之防改为直号 　　右系大小分母并同故竟以对减 　　假如有整数一又【九之四】又小分【四十之七】甲得九【之四】又小分五【之四】余为乙数该若干 　　答曰乙得九之八又八之三 　　乃重列之【小分既同即可相减】 　　乙存　　九　之八　二百之七十五　约为八之三法曰【先减小分减数大原数小不足减乃作直号于大分位借一分通为小分纳原数共二百三十五减一百六十余七十五　次减大分原数四因借减一变三亦借整数一通为九共十二减四余八整数借减尽】 　　试先减乙【用变分母法以代互乘余并同上】