历算全书 - 第 107 页/共 206 页

【此原无整数但有分又有小分其分以三十为母十四为子是一整数剖为三十而得其 　　十四也小分以六为母五为子是一大分又剖为六而得其五也小分母古谓之秒母】 　　右以整零 　　凡母数必大于子数其常也乗除之后有子数反多者法当以母数收之为整而其零 　　假如有零分十六其分母九【此以子数反大当以母数收为整】 　　【九之十六】　收得一【九之　十六分内除九分收为整余七七　　分是为整一又九分之七也】 　　假如方田之法以方五尺为步其积二十五尺今有积七十尺 　　【步法二十五尺而积有七十尺子数反多法当收整】 　　【七十尺内除五十尺收为二步剩二十尺不能成步是为整二步又二十五分步之二十】 　　假如古厯法以十九年为一章四章为一蔀今距元中积一百年问在第几蔀第几章 　　畣曰第二蔀第二章之第六年 　　【法先以章法十九收九十五年成五章剰五年　次以蔀法四收四章成一蔀剩一章 　　通列之成一蔀一章零五年是为已过之数今正在交第二蔀第二章之第六年也】 　　右收零为整【凡欲乗除必化整为零既乘除矣仍必收零为整此二者相须为用也】此外仍有除零附整之法其法以分母为法分子为实实如法而一得零数为整数十分之几或百分千分万分之几所谓退除为分秒也见除法命分 　　通分并子法 　　通分并子其类有三曰母同者曰母不同者曰大分又小分者而所以并之之法有七曰径并法曰变分母法曰互乗法曰连乘法曰维乘法曰截并法曰通母纳子法 　　径并法 　　凡分母数同者径并其子并满母数收为整【数在三宗以上而母同者皆可径并其子或大分之下有小分而分母同者并用此法】 　　假如有丝五分斤之四又五分斤之三并之若干畣曰整一斤【又五分斤之二】 　　【此因两母同为五故径并其子子数七母数五是子满母数而且 　　有余也当以母数收之得整一零五之二】 　　以上分母同者径并其子为通分并法之一类 　　变分母法 　　凡分母不同而有比例可求者变而同之可省互乘假如有数【六之三】又加【四之一】共若干 　　畣曰共四之三 　　【法以六之三母子各损三之一变为四之二则两母同为四而其子可并矣 　　所以然者四与六是倍半比例故去三分之一即相同也】 　　假如有金【八分两之五】又【四分两之三】并之若干 　　答曰一两又八分两之三 　　【八与四为折半比例然不以八折半者其子奇数不可半也故以四之三 　　加倍即母数齐同可相并矣】 　　互乘法 　　凡分母不同而无比例可求者先互乘以同其母再以母互乘其子而并之【数在三宗以上而母不同者皆可用此法】 　　假如有物【四分石之三】又【七分石之四】共若干　答曰整一石又【卄八分石之九 　　先以右母四互乘左母七得卄八又互乘子四得十六变七之四为 　　卄八之十六　次以左母七互乘右母四及子三变四之二为卄八 　　之卄一　两母既同遂并其子为二十八之三十七 　　以满共母二十八収为整一仍余九】 　　凡三母内有两母相乘与余一母同者只用一互乘即可相并假如有甲乙丙丁四数乙得甲【七之六】丙得甲【五之四】丁得甲【卅五之二十三】若合乙丙丁三数得甲数若干　答曰得甲数二【又三十五之十一 　　法以乙丙两母相乘三十五与丁母同数即用乙母七互乘丙五之 　　四得三十五之卄八丙母五互乘乙七之六得三十五之三十以并 　　丁三十五之二十三共得卅五之八十一以满母卅五成整数合问 　　归整】得甲数二【又卅五之十一】 　　连乘法 　　凡数三宗以上者用母连乘为共母又以各母除之得数以乘其子为子而并之并满共母收为整 　　假如有数六【之四】又加三【之一】又加五【之四】并之若干 　　答曰整一【又九十之　　法以六乘三得一十八又以五七十二　　　乘之得九十为连乘之共母 　　即六除共母得数以乘之四之数 　　即三乘共母得数以乘之一之数 　　即五除共母得数以乘之四之数】 　　归整得一又【九十之七十二】 　　觧曰【此即互乘也试以五互乘六之四得三十之二十　又以三互乗之即成九十之六十　以六互乗三之一得十八之六又以五互乘之即成九十之三十　以六互乗五之四得三十之二十四又以三互乗之即成九十之七十二】维乘法【此古维乘法也与母除共母以乘子之法所得同】 　　假如钱粮一次完过【九分之一】又完【四分之一】又完【六分之一】又完【六分之一】又完【七分之一】问共完若干　答曰五百○四之四百零一【约为十分之八稍弱】法【以八乘六得四十八再以七乘之得三百卅六又以九乘之得三千○卄四又以四乘之即得一万二千○九十六】 　　约为五百○四之四百○一【卄四约之】 　　解曰【此即连乘法也但因分子皆为之一故即以母除共母之数为子相并而省一乗】 　　试用维乘所得亦同 　　截并法 　　凡数件中有分母同者先取出并之然后与各件并列则五件可作四件用【六件以上仿论】而共母亦简 　　如前图有八之一四之一为加倍比例可先取并之【用变分母法】 　　乃重列之【原数五宗今作四宗入余并同前】 　　【解曰共母原系一万二千 　　○九十六今只三千○二 　　十四简四之三故所得之 　　子皆于前式为四之一】 　　凡宗数繁多而分母又各不同者可分作几次并之假如有物四宗甲数【五分斤之三】乙数【六分斤之一】丙数【三分斤之二】丁数【七分斤之四】并之若干 　　答曰整二斤又六百三十分斤之三 　　如上图依法互乘以四宗并作两宗乃重列之 　　以上分母不同者为通分并子之又一类 　　大分小分并法 　　凡大分之下有小分而母相同者如法并之自小分起满小分之母进为大分满大分之母进为整 　　若大分之母同而小分母不同者用互乘法使其同【余如上法】若大分母不同者即通大分为小分再用互乘以同之假如西厯以一日分二十四小时一时又析为六十分今得中防二十九日十七时三十六分实防该加七时四十分依法并之得三十日零一时一十六分 　　原二九　【卄四之　六十之　时为大分大分之母二十四一七　　三六　　时下为小分小分之母六十】加　　　【卄四之　六十之　先并小分得七十六以满六丨丨○□　　四十　　十进为一时仍余十六分】 　　并得三○日○一时十六分　【次并大分得二十五时以满二十四进为一日仍余一时】假如修筑河堤新修七里○六十六歩一尺旧堤原存一十二里二百九十三步四尺问堤长若干答曰长二十里新修○七　○六六　一　　【里法三百六十步法五先并尺一四共五进一步次并步】原存□□　□□□　四　　【共三百六十进一里次并里二七及所进之一共十里并】共长二○里○○○步○尺　【原十里是为堤长二十里合问】 　　假如有硃砂八斤十两○九铢又有三斤五两十八铢共若干答曰十二斤○三铢