新法算书 - 第 32 页/共 181 页

自乘无三近少为一平行取 　　一为方法为初啇即以一减 　　三存二以并次防实得二二 　　○为余实次倍初根得廉法 　　二取二号筹列左筹方于列 　　筹并数得近少者一八九在 　　第七格即七为隅法为次啇 　　列初啇之右以一八九减余 　　实得三一以并三防之实得 　　三一四一为次余实次倍前 　　根十七得三四为次廉法取三四两筹列方筹左于列筹并数得三一四一在第九格适尽即九为三啇为隅法列次啇之右而本方之根得一百七十九又如有积六十五万一千二百四十九列为实从末 　　位九向前隔一位作一防得三 　　防知啇三位防在次位则实 　　首六为实数也视筹自乘无 　　六五近少为六四平行取八 　　为方法为初啇以六四减六 　　五存一以并次防实得一一 　　二为余实次倍初根得廉法 　　一六取一六两筹列方筹左 　　于列筹并数查无一一二亦 　　无近小数即知次啇为○也 　　则于八下加○以当次啇而 　　以一一二并三防之实得一 　　一二四九为次余实次倍前 　　根八得一六进一位得一六 　　○为次廉法取○筹列一六两筹之右于列筹并数得一一二四九在第七格适尽即七为三啇为隅法列前二啇之下而本方之根得八○七 　　其啇而不尽者以法命之则有二术其一如前第一 　　六十六万二千七百四十九 　　如前三啇得根八百一十四 　　余积一百五十三更啇一当 　　倍廉加隅得一千六百二十 　　八今不足则命为未尽者一 　　千六百二十八之一百五十三也 　　法曰凡开方不尽实其命分法倍前啇数【二廉也】加一【立隅】为母【续啇之】余实为子依法命之然终不能尽如设积六十求开方初啇七余十一倍七加一得十五为母十一为子可命六十之根为七又一十五之一十一而缩试并初啇及分数自之得四十九又二二五之二四三一约之为一十一是二二五之一八一以并四十九得五十九又二二五之一八一不及元积若倍初啇不加一为母命为十四之十一试自之得六十○又一九六之一四一过元积而盈 　　其一欲得其小分则通为小数如前第二法更开之当于余积之右加两圏【是原积之一化为百也】如法开之得根数当命为一十分之几分也或加四圏【是原积之化为万也】 　　得根数命为一百分之几分 　　也或加六圏【一化为百万】得根命 　　数为一千分之几分或加十 　　圏【一化为百万万】　得根命为十万 　　分之几分也 　　如图原积六六二七四九已啇得八一四不尽者一五三欲得其细分加六圏【是一百五十三化为一万五千三百○十○万○千○百○十○也】更开得数为○九三因空位六则命为一千分之○百九十三也欲更细更加空位终不能尽何故六十者本无根之方也 　　四开立方法 　　开立方亦有积数有啇数啇有方法有平廉法长廉法隅法置积为实从末位向前隔二位作防每一防有一啇次视立方筹内再乘之数有与实首相等者即除之若无相等则取其近少者除之但实首以左第一防为主若防前无位则再乘止于零数如一如八是也若防前有一位则再乘应有十数如二七如六四是也若防前有二位则再乘应有百数如一二五至七二九是也而此乘数在第几格则第几数即初啇数如所用数是八八为二之再乘在第二格即二为初啇也若有二防者以初啇数自乘而三倍之如二之自乘得四四之三倍为一十二为平廉法以初啇数三倍之如二之三倍得六为长廉法次以平廉法数查筹列立方筹左又以长廉法数查筹列立方筹右次视左筹与方筹并之横行内数啇其少于余实者平行取数为约数即以此数为次啇如在五格即次啇五也次以次啇自乘之数与长廉法数相乘进一位书于约数之下以此二数并之除其余实即得立方根不尽者以法命之三防以上仿此 　　解曰立方形者六方面积为一实体也每面等每边每角各等立方积者一数自乘再乘之所积也线有长面有长有广体有长有广有高所谓一乘作面再乘作体是也开立方者亦以积求形之术其异于平方者平方为面面有四等线开之求得四线之一为方根也立方为体体有十二等线开之求得十二线 　　之一为方根也三乘方以上亦 　　皆十二线有等有不等而皆求 　　其最初第一面之一界线为方 　　根也今解立方廉隅法姑作分 　　合图论之若截木或镕蜡作八 　　体分合解之尤易晓矣　其一 　　作六方面形一事诸面线角皆 　　相等此名方法体即上图甲乙 　　丙丁立方体是也　其二作六 　　面扁方体三事其上下面各与 　　方法等旁四面之高少于方法之高【任意多寡开讫乃得】而四棱线皆等此名平廉法体即上图戊己庚辛是也其三作六面长方体三事其上下左右四面与平廉之旁面等两端之四界线皆与平廉之高等此名长廉法体即上图壬癸是也　其四作六面小立方体一事六面之广袤皆与长廉之两端等此名隅法体即上图子丑是也 　　右度数家以度理解数学【度者防线面体量法也数者一十百千等算法也】亦以数理解度学如鸟两翼交相待而为用也今依 　　此借数以明立方之体如初方 　　体之边各四则一面之积为一 　　六其容积六四平廉之两大面 　　亦一六其高设五相乘得容积 　　八○长廉之长亦四其两端之 　　高广各五则其容积一○○立隅之边各五则其容一二五此八体并之以三平廉合于初方之甲丙乙丙丙丁三面以三长廉补三平廉三阙以立隅补三长廉之阙即成一总立方也　又算法单数乘单数生单数【如四乘六为二四是为六者四积为二十四而其根四乃单数也】单数乘十数生十数【如四乘三十为一二是为三十者四积为一百二十而其根二乃十数也】十数乘十数生百数【如三十乘八十为二四是为八十者三十积为二千四百而其根四乃四百也】推之则十乘百生千百乘百生万也　今依此推前总立方以四十五为全根其初方之一边为四十其面则为四十者四十是一千六百也是十乘十生百也其容积为一千六百者四十是六万四千也是十乘百生千也　其平廉之两大面与初方之面等亦一千六百其高五是单数以乘百得八十者百是八千也是单乘百生百也立廉三三倍之得二万四千也　长廉之高广皆与平廉之高等为五是单数其面为二五单根也其长与初方等为四十相乘得四十者二十五是为一百者十则一千也是单乘十生十也长廉三三倍之得三千也　立隅体与平廉之高等为五是单数自乘得二五亦单数也再乘得一二五亦单数也是单乘单生单数也　已上共得九万一千一百二十五为两啇之总立方积其根四十五右以数明立体之理其在筹则右行自一至九者立方根数也左三行自一至七二九者即方根自乘再乘之数也自乘再乘止于三位如三自乘再乘为二十七九自乘再乘为七百二十九故列实下隔二位作防查实下几防知立方根当几位也法先于第一防以上查实简筹或适足或畧少者即初啇之立方体平行求得其根也　次初啇根自乘得平廉面与初啇之体等三倍者三平廉也平廉之筹列立方筹之左者立方筹之右行为单数中行为十左行为百平廉筹右行之号亦百数也以合于立筹之左行共为几百也　次平廉之面积三偕初啇之根三并为分率数以求六廉一隅之高于立筹平筹上求余实之近少数【不欲太少为尚有长廉之容故也】约可用者平行取根即次啇也不言隅法者次啇之再乘即是立隅筹上所自有也又平行取次啇之平方积乘长廉筹之数得长廉之容长廉之号为十数以列于约数之下进一位作十数　次求七体之总积初体之外有平廉三长廉三立隅一其定位立隅在本筹之上为单数次啇与三长廉法相乘得数为三长廉之实此数之号为十数三平廉之筹加于立筹之外其号为百数通并之以除余实未尽而原实有三防者以先两啇之总方为初体复如前法三啇之亦并八体为一总体不及啇为一者依法命之 　　同文算指曰先得之根【初啇也】乘于三十今曰三之【长廉法也】所得之号为十数也又曰先根之方【初体之面】乘于三百今曰三之【平廉法也】所得之号为百数也一也 　　假如有积四千九百一十三别列为实从末位三向前隔二位各作一防即知啇二位也防在实首四为单数视立方筹内再乘之数无四下八过实用其上一实之近少数也平行向右取一为方法【即方根】另列之为初啇即以一【千】减四【千】存三【千】以并次防之实得三九一三为余实次用初啇一自乘【为平廉面】而三倍之【三平廉故】得三百为平廉法【亦名倍方数】取三号筹列立方 　　筹左又以初啇一十三倍之 　　【一者长廉边三长廉故三倍】得三为长廉 　　法【亦名倍根数】取三号筹列立方 　　筹右于列筹【立方筹与平廉筹也】内并 　　数取其少于余实者为约数 　　第其中有长廉之实不得过 　　少又不得多多者如第九格 　　遇三四二九以为约数近少 　　矣另列之向右平筹自乘数 　　内平行取八十一乘于长廉法三得二百四十三列近少数【三四二九】下进一位并得五八五九则多于余实也至第七格遇二四四三以为约数另列之向右平筹自乘数平行取四十九以乘长廉法三得一百四十九列近少数【二四四三】下进一位并得三九一三除实尽【平廉筹之二千一百平廉实也立方筹之三百四十三立隅积也平方筹之四十九长廉两端之面也以乘长廉法三十得一四七长廉积也诸筹之上一一分明】平行求其根得七即七为次啇也得总立方之根一十七 　　又如积九百一十五万九千八百九十九别列为实从末位九向前隔二位作一防凡三防当啇三位也防在实首九为单数视立方筹内再乘之数无九下二七过实用其上八实之近少数也平行向右取二 　　为方法另列为初啇即以八 　　减九存一以并下位得一一 　　五九为余实次用初啇二自 　　乘而三倍之得一十二为平 　　廉法取一号二号两筹列立 　　方筹左又以初啇二三倍之 　　得六为长廉法取六号筹列 　　立方筹右于列筹【立方与平廉共三筹】内并数取其少于余实者为 　　约数试之而无有【最少者为第一格之 　　一二○一】则知啇有空位于初啇 　　下作圏以当次啇复开第三 　　防之余实为一一五九八九 　　九前二啇二○【百十也】自乘之 　　得四○○【四万也】三倍之为一 　　二○○【一千二百】依数取四筹为 　　平廉法列立方筹左前啇二 　　○三倍之得六○取二筹为 　　长廉法列立方筹右于列筹 　　【立方与平廉共五筹】内并数取其少于 　　余实者为约数至第九格方 　　得一○八○七二九另列之 　　向右平筹自乘数平行取八 　　十一以乘长廉法六○得四 　　八六○列近少数【一○八○七二九】下进一位并得一一二九三 　　二九除实不尽三○五七○