新法算书 - 第 28 页/共 181 页

第一平分线 　　分法　此线平分为一百或二百乃至一千量尺之大小也分法如取一百先平分之为二又平分为四又各五分之为二十自此以上不容分矣则用更分法以元分四复五分之或以元分六复五分之如上图甲乙线分丙丁戊为元分之四今更五分之得己庚辛壬元分与次分之较为壬丙为戊己皆甲乙二十分之一为元分五之一【毎数至十至百各书字识之】 　　论曰甲乙【四】与甲丙【一】若甲己【四】与甲壬【一】更之甲乙 　　【四】与甲己【四】若甲丙【一】与甲壬【一】甲己为甲乙五之四即甲壬为甲丙五之四壬丙为甲丙五之一又甲丁为十甲辛为八辛丁为甲丁十之二或丙丁五之二戊庚为丁戊五之三又壬丙为甲丙五之一必为甲壬四之一【几何五卷】 　　用法一　凡设一直线任欲作几分假如四分即以设线为度数两尺之各一百以为腰张尺以就度令设线度为两腰之底置尺数两尺之各二十五以为腰敛规取二十五两防间之度以为底向线上简得若干数即所求分数　凡言线者皆直线依几何原本大小两三角形之比例则二十五与得线若一百与设线也更之二十五与一百得线与设线皆若一与四也　若求极微分如一百之一如上以一百为腰设线为底置尺次以九十九为腰取底比设线其较为百之一　若欲设线内取零数如七之三即以七十为腰设线为底置尺次以三十为腰敛规取底即设线七之三【置尺者置不复动下仿此】用法二　凡有线求几倍之以十为腰设线为底置尺如求七倍以七十为腰取底即元线之七倍若求十四倍则倍得线或先取十倍更取四倍并之 　　用法三　有两直线欲定其比例以大线为尺末之数【尺百即百千即千】置尺敛规取小线度于尺上进退就其等数如大线为一百小线为三十七即两线之比例若一百与三十七可约者约之【约法以两大数约为两小数其比例不异如一百与三十约为十与三】 　　用法四　乘法与倍法相通【乘者求设数之几倍也】如以七乘十三于腰线取十三为度七倍之即所求数也 　　用法五　设两线或两数【凡言数者腰上取其分或以数变为线或以线变为数】 　　欲求一直 　　线而与元 　　设两线为 　　连比例　若设大求小则以 　　大设为两腰中设为底次以 　　中设为两腰得小底即所求 　　如甲乙甲丙尺之两腰所设 　　两数为三十为十八欲求其 　　小比例从心向两腰取三十 　　如甲辛甲己识之敛规取十八为度以为底如辛己次从心取十八如甲丁甲戊即丁戊为连比例之小率得十一有竒　若设小求大则反之以中设为两腰小设为底置尺以中设为度进求其等数以为底从底向心得数即所求如甲丁甲戊为两腰丁戊为底次以甲丁为度引之至辛至己而等从辛从己向心得三十即大率论见几何六卷十一题【凡言等数者皆两腰上纵心取两数等下同】用法六　凡有四率连比例既有三率而求第四或以前求后则丁戊为第一率辛己甲丁甲戊为第二又为第三而得辛甲为第四　若以后求前则甲辛甲己为第一辛己甲戊甲丁为第二又为第三而得丁戊为第四【甲辛与辛己若甲丁与丁戊故也】 　　用法七　有断比例之三率求第四如一星行九日得一十一度今行二十五度日几何即用三率法以元得一十一度为两腰元行九日为底置尺以二十五度为两腰取大底腰上数之得二十日【十一之五】为所求日【此正三率法九章中名异乘同除也】用法八　句股形有二边而求第三法于一尺取三十为内句一尺取四十为内股更取五十为底以为内即腰间角为直角置尺若求则以各相当之句股进退取数各作识于所得防两防相望得外 　　线以向尺上取数为外数【言内外者以先定之句股成式为内甲乙丙是以所设所得之他句股形为外甲戊己是】　若求句于内股上取外股作识以设为度从识向句尺取外得防作识从次识向心数之得句求股亦如之【下有开方术为勾股本法可用】 　　用法九　若杂角形有一角及各傍两腰求余边先以线法依设角作尺之腰间角次用前法取之【见下二十一用四法】 　　用法十　有小图欲更画大几倍之图则尺 　　上取元图之各线加几倍如前作之 　　用法十一　此线上宜定两数其比例若径与周为七 　　与二十二或七十一与 　　二百二十三即二十八 　　数上书径八十六上书 　　周　有圈求周径法以元周为腰设周为底次于元两径取小底得所求径　反之以径求周径为腰如前用法十二　此线上定两数求为理分中末之比例则 　　七十二与四十二又三之一 　　不尽为大分其小分为二十 　　四又三之二弱　有一直线 　　欲分中末分则以设线为度依前数取之【几何六卷三十题】 　　第二分面线 　　今为一百不平分分法有二一以算一以量 　　以算分　筭法者以枢心为心任定一度为甲乙十平分之自之得积一百　今求加倍则倍元积得二百其方根为十四又十四之九即于甲乙十分线加四分半强而得甲丙为倍面之边求三倍则开三百之根得十七有半为甲丁求五六 　　七倍以上边法同【用方根表甚简易】 　　以量分　任取甲乙度为直角方形之一边求倍则于甲乙引至丁截乙丁倍于甲乙次平分甲丁于戊戊心甲界作半圈从乙作乙己垂线截圏于己即己乙线为二 　　百容形之一边【六卷二十六増】求三倍则乙丁三倍于甲乙四倍以上法同于尺上从心取甲乙又从心取乙己等线成分面线 　　试法　元线为一正方【直角方形省曰正方】之边倍之得四倍容方之边否即不合三倍之得九倍容方之边四倍得十六五倍二十五又取三倍之边倍之得十二再加倍得二十七倍之边再加倍得四十八倍之边再加倍得七十五倍之边若五倍容形之边倍之得二十倍容形之边再加倍得四十五倍容形之边再加倍得八十倍容形之边【本边之论见几何六卷十三】 　　用法一　有同类之几形【方圆三边多边等形 　　容与容之比例若边与边其理具几何诸题】　欲并而成 　　一同类之形其容与元几形并之容 　　等如正方大小四形求作一大方其 　　容与四形并等第一形之容为二二 　　形之容为三三形之容为四有半四 　　形之容为六又四之三其法从心至 　　第二防为两腰以第一小形之边为 　　底置尺次并四形之容得十六又四 　　之一以为两腰取其底为大形边其 　　容与四形之容并等　若无容积之 　　比例但设边如甲乙丙丁四方形其 　　法从心至尺之第一防为两腰小形 　　甲边为底置尺次以乙形边为度进 　　退取等数得第二防外又四分之三 　　即书二又四之三次丙形边为度得 　　三又五之一丁形边得四又六之五并诸数及甲形一得十又二十之十九向元定尺上进退取等数为底即所设四形同类等容之一大形边【此加形之法】 　　用法二　设一形求作他形大于元形几倍法曰元形 　　边为底从心至第一防为腰引至所求 　　倍数防为大腰取大底即大形之边【此乘 　　形之法】 　　用法三　若于元形求几分之几以元 　　形边为底命分数为腰退至所求数为 　　腰取小底即得　如正方一形求别作 　　一正方其容为元形四之三以大形边为底第四防为腰【即命分数】次以第三防为腰【即得分数】得小底即小形边【此除形之法若设一形之积大而求其若干倍小而求其若干分则以原积当单数用第一线求之】 　　用法四　有同类两形求其较或求其多寡或求其比例若干法曰小形边为底为一防为腰置尺以大形之边为度进退就两等数以为腰得两形比例之数次于得数减一所余为同类他形之一边此他形为两元形之较　如前图小形边为一大形边为六其比例为一与六则从一至六为较形边【此减形之法】 　　用法五　有一形求作同类之他形但云两形之容积若所设之比例法曰设形边为底比例之相当率为腰次他率为腰取其底为他形之边 　　用法六　有两数求其中比例之数法 　　曰先以大数变为线变线者于分度线 　　上取其分与数等为度也以为底以本 　　线上之本数为腰置尺次于小数上取 　　其底线变为数变数者于分度线上查 　　得若干分也此数为两元数中比例之 　　数　如前图二与八为两元数先变八为线以为底以本线之第八防为腰置尺次于第二防上取其底线变为四数则二与四若四与八也　若设两线不知其分先于分度数线上查几分法如前 　　用法七　有长方求作正方其积于元形等法曰长方 　　两边变两数求其中比例之数变作线 　　即正方之一边与元形等积 　　用法八　有数求其方根设数或大或 　　小若大如一千三百二十五先于度数上取十分为度以为底以本线一防为腰即一正方之边其积一百次求一百与设数之比例得十三倍又四之一以本线十三防强为腰取其底于度线上查分得三十五强为设数之根 　　第三更面线 　　分法　如有正方形欲作圆形与元形之积等置公类之容积四三二九六四以开方得六五八正方边也以开三边形之根得一千为三边等形之一边开五边之根得五○二六边形之根为四○八七边形之根为三 　　四五八边形之根为 　　二九九九边形之根 　　为二六○十边形之 　　根为二三七十一边 　　形之根为二一四十二边形之根为一九七圆形之径为七四二以本线为千平分而取各类之数从心至末取各数加本类之号【言平形者冇法之形各边各角俱等】 　　用法一　有异类之形欲相并先以本线各形之边为度以为底以本类之号为腰置尺取正方号之底线别书之末以各正方之边于分面线上取数合之而得总 　　边　假如甲乙丙三异类形欲相 　　并先以三边号为腰甲一边为底 　　置尺取正方号四防内之底向分 　　面线上用十数为腰正方底为底 　　于甲形内作方底线书十次五边 　　号为腰乙一边为底如前取正方