新法算书 - 第 29 页/共 181 页

底向分面线得二十一半即于乙 　　形内作方底线书之次圆号为腰 　　径为底如前得十六弱并得四十七半弱　若欲相减则先通类如前法次于分面线上相减【用上图】 　　用法二　有一类之形求变为他类之形同积以元形边为度以为底从心至本号防为腰置尺次以所求变形之号为腰得底即变形边 　　用法三　凡设数求开各类之根先于分面线求正方之根次以方根度为底本线正方号为腰置尺则所求形之号之底线即元数某类之根【有法之平形其边可名为根与方根相似】用法四　若异类形欲得其比例与其较则先变成正方依分面线求之 　　第四分体线 　　线不平分分法有二一以算一以量 　　以筭分　从尺心任定一度为甲乙十平分自之又自 　　之得积一千即 　　定其线为一千 　　即体之根今求 　　加一倍积体之 　　根倍元积得二千开立方根得十二又三之一即于甲乙加二又三之一为甲丙乃倍体之边求三倍开三千数之立方根以上同 　　又捷法取甲乙元体之边四分之一加于甲乙元边得甲丙即倍体边又取甲丙七分之一加于甲丙得甲丁乃三倍体之边取甲丁十分之一加于甲丁得甲戊乃四倍体之边再分再加如图 　　试置元体之边二十八四之一得七以加之得三十五法曰两根之实数即用再自之数为一与二不逺葢二十八之立实为二一九五二倍之为四三九○四比于三十五倍体边之实四二八七五其差才○一○二九约之为一千四百五十二分之一不足为差若用三十六之四六六五六其差为逺　又加倍体七之一得再倍体之边三十五又七之一七之一者五也以加之得四十其实为六四○○○元积再倍之数为六五八五六较差才○一八五六或三十五之一可不入算也若用四十一根之实六八九二一其差为逺 　　又试倍边上之体为体之八倍即依图计零数至第八位为五之四八之七十一之十十四之十三十七之十六二十之十九二十三之二十二用合分法合之得一二○四二八○之六○八六○八约之为一○七五○之五四三四与二之一不逺则法亦不逺　右两则皆用开立方之法不尽数难为定法 　　以量分　先如图求四率连比例线之第二葢元体之边与倍体之边为三加之比例也今求第二几何法曰第二线上之体与第一线上之体若四率连比例线之第四与第一假如丙乙元体之边求倍体之边则倍丙 　　乙得甲丁以甲丁乙丙作壬己辛庚矩 　　形于壬角之两腰引长之以形心为心 　　如戊作圏分截引长线于子于午渐试 　　之必令子午直线切矩形之辛角乃止 　　即乙丙【即辛庚】午庚子己甲丁【即壬庚】为四率连比例线用第二率午庚为次体之一边其体倍大于元体【详双中率论】若甲丁为乙丙之三倍四倍即午庚边上之体大于元体亦三四倍以上仿此　用前法则元体之边倍之得八倍体之边若三之得二十七倍体之边四之得六十四倍体之边五之得一百二十五倍体之边 　　又取二倍体边倍之得十六再倍得一二八倍体之边本线上量体任用其边其根其面其对角线其轴皆可用法一　设一体求作同类体大于元体几倍法以元体边为底从心至第一防为腰置尺次以所求倍数为腰得大底即所求大体边　若设零数如元体设三求作七以三防为初腰七防为次腰如上法【此乘体之法】用法二　有体求作小体得元体之几分如四分之一四分之三等法以元体之边为底命分数之防为腰置尺退至得分数为小腰得小底是所求分体边【此分体之法】用法三　有两体求其比例以小体边为底第一防为腰置尺次以大体边为底就等数得比例之数也不尽则引小体边于二防以下以大边就等数两得数乃上可得比例之全数而省零数 　　用法四　有几同类之 　　体求并作一总体　若 　　有各体之比例则以比 　　例之数合为总数以小体边为底一 　　防以上为腰置尺于总数防内得大 　　底即总体边　若不知其比例先求 　　之次用前法【此加体之法】 　　如图甲乙丙三立方体求并作一大 　　立方体其甲根一乙三又四之三丙 　　六并得十又四之三以甲边为底本线一防以上为腰置尺向外求十又四之三为腰取底为度即所求总体之根 　　用法五　大内咸小所存求成一同类之体　先求其比例次以小体边为底比例之小率防以上为腰置尺次以比例两率较数防上为腰得较底即较体之边【此减体之法】 　　用法六　有同质同类之两体得一体之重知他体之重葢重与重若容与容先求两体之比例次用三率法某容得某重若千求某容得某重若干【同质者金铅银铜等同体者方圆长立等】 　　用法七　有积数欲开立方之根　置积与一千数求其比例次于平分线上取十分为底本线一防以上为腰置尺次比例之大率以上为腰得大底于平分线上取其分为所设数之立方根如设四万则四万与一千之比例为四十与一如法于四十防内得大底线变为分得三十四强　若所设积小不及千则以一分为底一防或半防或四之一等数为腰置尺设数内求底而定其分若用半防用所设数之一半用四之一亦用设数四之一葢筭法通变或倍或分不变比例之理用法八　有两线求其双中率【线数同理】如三为第一率二十四为第四率求其比例之中两率　法求两率之约数得一与八以小线为底一防以上为腰置尺次八防以上为腰取大底即第二率有第二第四依平分线求第三 　　第五变体线 　　变体者如有一球体求别作立方其容与之等分法　置公积百万依筭法开各类之根则立方之根为一百四等面体之根为二○四八等面体之根为一二八半十二等面体之根为五十二十等面体之根为 　　七六　圆球之径为 　　一二六　因诸体中 　　独四等面体之变最 　　大故本线用二百○四分平分之从心数各类之根至本数加字【开根法见测量全义六卷】 　　用法一　有异类之体求相加以各体之边为度以为底本线本类之防以上为腰置尺次从立方防内取底别书之各书讫依分体线法合之 　　用法二　有异类之几体求其容之比例先以各体变而求同容之立方边次于分体线求其比例乃所设体之比例若知一体之容数因三率法求他体之容数 　　第六分线 　　亦曰分圏线　分法有二 　　一法　别作象限圏分令半径与本线等长分弧为九 　　十度名作识 　　从一角向各 　　识取度移入 　　尺线从尺心 　　起度各依所取度作识加字　若尺身大加半度之防可作一百八十○度若身小可六十度或九十度止乂法　用正数表取度分数半之求其正倍之本线上从心数之识之【如求三十度即其半十五度之正为二五九倍之得千分之五一九为三十度之从心识之】 　　用法一　有圏径设若干之弧求其以半径为底六十度为腰置尺次以设度为腰取底即其移试元圏上合其弧　反之有定度之求元圏径以设弧之为底设度为腰置尺次取六十度为腰取底即圏之半径用法二　有全圏求作若干分法以半径为底六十度【其即半径也】为腰置尺命分数为法全圏为实而一得数为腰取底试元圏上合所求分【此分圏之法】　约法本线上先定各分之防如百二十为三之一九十为四之一七十二为五之一六十为六之一五十一又七之三为七之一四十五为八之一四十为九之一三十六为十之一三十二又十一之八为十一之一三十为十二之一各加字 　　用法三　凡作有法之平形先作圏以半径为底六十度为腰置尺次本形之号为腰取底移圏上得分用法四　有直线角求其度以角为心任作圏两腰间之弧度即其对角之度【有半径有弧求度如左】 　　用法五　有半径设弧不知其度法以半径为底六十度为腰置尺次以弧为度就等数作底其等数即弧度反之设角度不知其径及弧求作图其法先作直线一 　　界为心任作圏分以截 　　线为底六十度之线 　　为腰置尺次于本线取 　　设度之线为腰得底以为度从截圏防取圏分即设度之弧再作线到心即半径成直线角如所求因此有两法可解三角形省布数详测量全义首卷 　　第七节气线 　　一名正线 　　分法　全数为一百平分尺大可作一千用正表从 　　心数各度之数毎十度加 　　字　如三十度之正五 　　十则五十数傍书三十二 　　度之正五则五数傍书三 　　简法　第一平分线可当此线为各有百平分则一线两旁一书分数字一书度数字 　　用法一　半径内有设弧求其正以半径为底百为腰置尺次以设度为腰取底即其正 　　用法二　凡造简平仪平浑日晷等器用此线甚简易如简平仪之干盘周天圈其赤道线左右求作各节气线先定赤道线为春秋分次于弧上取赤道左右各二十三度半之弧两弧相向作以其半为底本线百数为腰置尺次数各节气离春秋分两节之数寻本线之相等数为腰取底为度移赤道线左右两旁作直线与相对之节气相连为各节气线【或于赤道线上及二至线上定时刻线之相距若干亦可】　如欲定立春立冬立夏立秋【因四节离赤道之度等故为公度】法曰立春至春分四十五度则取本线四十五度内之防线移于仪上春分线左右　若欲定小暑小寒之线离秋分春分各七十五度则取七十五度内之底线为度移二分线左右得小暑小寒之线 　　第八时刻线 　　一名切线线 　　分法　切线之数无限为九十度之切割两线皆平行无界故今止用八十度于本线立成表上查八十度得 　　五六七即本线作五六七 　　平分次因各度数加字【一度 　　至十五切线正微差尺上不显可即用正】 　　第九表心线 　　一名割线线 　　分法　此线亦止八十度依表查得五七五平分之其初防与四十五度之切线等【初防即全数故等】次依本表加之用法一　有正弧或角欲求其切线或割线法以元圏之半径为底切线线四十五度之本数为腰割线线则以○度○分为腰置尺次以设度为腰取底为某度之切线割线　反之有直线又有本弧之径欲求设线之弧若干度以半径为度以为底设弧之度数为腰置尺又设线为底求本线上等数即设线之弧 　　用法二　表度说以表景长短求日轨髙度分今作简法用切线线凡地平上立物皆可当表以表长为底本线四十五度上数为腰置尺次取景长为底求两腰之等数即日轨髙度分　若用横表法如前但所得度分乃日离天顶之度分也安表法见本说 　　用法三　地平面上作日晷法先作 　　子午直线卯酉横线令直角相交从 　　交至横线端为底就切线线上之八 　　十二度半为腰置尺次于本线七度 　　半防内取底为度向卯酉线交处左 　　左各作识为第一时分次逓加七度半取底为度如前逓作识为各时分【毎七度半者加七度半十五度二十二度半三十度三十七度半四十五度五十二度半六十度六十七度半七十五度八十二度半】若求刻线则逓隔三度四十五分而取底为度也次于元切线上取四十五度线【四十五度之切线即全数】为底割线初防为腰置尺次以本地北极髙度数为腰于本线上取底为表长于子午卯酉两线之交正立之又取北极髙之余度线为度于子午线上从交防起向南得日晷心从心向卯酉线上各时分防作线为时线在子午线西者加午前字如己辰卯在 　　子午线东者加午后字如未申酉 　　日晷图说　子午夘酉两线相交于 　　甲甲酉为度以为底以切线之八十 　　二度半为腰置尺逓取七度半之底 　　向甲左右作识如甲乙甲丙次取十 　　五度线之底作第二识如甲丁甲戊毎识逓加七度半毎识得二刻则丁防为午初戊为未初余防如图　次取甲己线上四十五度之切线为底割线之初防为腰置尺取北极髙余度【顺天府约五十】之割线为度从甲向南取辛辛为心从心过乙丁等防为线为时刻线又割线上取北极髙度之线【顺天府约四十】为表长即甲庚也表与面为垂线【立表法以表位甲为心任作一圏次立表表末为心又作圏若两圏相合或平行则表直矣】用法四　先有表度求作日晷则以表长为底割线上之北极髙度为腰置尺次以极髙余度为腰取底为度定日晷之心次用元尺于切线上取毎七半度之线如前【凡言表长以垂表为主或垂线】 　　用法五　有立面向正南作日晷法如前但以北极髙度求晷心以北极髙之余度为表长【又平晷之子午线为此之垂线书时创以平晷之夘为此之酉各反之】 　　用法六　若立面向正东正西先用权线作垂线定表处即晷心从心作横线与垂线为直角　若面正东于横线下向北作象限弧若面正西于横线下向南作弧弧上从下数北极髙之余度为界从心过界作线为赤 　　道线又以表长为底切线线上之四 　　十五度为腰置尺逓取七度半之线 　　从心向外于赤道上各作识从各识 　　作线与赤道为直角则时刻线也其 　　过心之线向东晷为夘正线向西晷为酉正线　若欲加入节气线法以表长为度从表位甲上取乙防为表心从心取赤道上各时刻防为度以为底以切线线之四十五度为腰置尺又以二十三度半为小腰取小底