新法算书 - 第 166 页/共 181 页

圏内线相当之理 　　每弧毎角有八种线曰正曰正切线曰正割线曰正矢曰余曰余切线曰余割线曰余矢幷全数为九种诸线内各有相当之理皆依三边形等角比例法【防何六卷四题】 　　如上图丙丁为正弧甲丁为正 　　丙辛为正切线乙辛为正割线甲 　　丙为正矢戊丁为余己壬为余 　　切线乙壬为余割线戊己为余矢乙己乙丁乙丙皆全数也即辛丙乙壬己乙两形相似何者己丙两直角己乙辛丙为平行线辛乙直线割两平行即其相对两内角必等既丙辛乙壬乙己两角等即其对边相似 　　一全数为正余割线两率之中率 　　如丙丁弧之正为甲丁全数为 　　丁乙余割线为乙壬则甲丁与丁 　　乙若乙己与乙壬矣丁乙乙己皆 　　全数必等则甲丁与丁乙若丁乙与乙壬也 　　又全数为余正割线之中率如戊丁与丁乙若丁乙【与乙丙等故】与乙辛 　　一系凡四率全数为中率【或二或三】若第一率 　　为正即弃正而变余割线为中率全 　　数为第一省而一　若第一率为余则 　　变正割线为中率　若第一率为正割线则变余若第一率为余割线则变正　凡所变者皆以易全数而使为第一率 　　论曰凡有连比例之三率一率与二【如二与六】若二率与三【如六与十八】别有二数其比例若连理之一率与二【如八与二十四】即可代用或连理之一率与二【如二与六】若他数与别数【八与二十四】可也或连理之二率与三【六与十八】若他数与别数【八与二十四】亦可也为其比例等故也【皆三之一】今连理之一率为甲【正】二率为乙【全数】三率为丙【余割线】次有断理之第三率丁第四率戊即可代用谓一甲【正】与二乙【全数】若三丁与四戊可也谓二乙【全数】与三丙【余割线】若三丁与四戊亦可也是于连理之三率二比中弃前比而用后比初以全数为第二余割为三今以全数为一余割为二也如三十八度一十七分之正六一九五五与全数若三十度之正与某数常法二三率相乘以一率为法而一得第四今法用三十八度一十七分之余割线一六一四○七为二率以易全数而为第一以二三率相乘即得第四何者正全数余割线为连比例故也二系凡四率中无全数若第一率为正则变余割线为第一率若第一率为余则变正割线为第一率法用一二率相乘得数以全为法去后五位所存若干位与全数等而一又以乘第三率得数如前而一得四率【名为而一者再皆以全数为法止减末位不难也常法一乘一除此用两乗犹是防法】 　　假如一十八度四十○分之正三二○○六与二十五度三十七分之正四三二三一若六十三度三十二分之切线二○○八六二与某数其常法二三率相乘第一率而一今用防法取一十八度四十分之余割线三一二四三九乘第二率四三二三一得一三五○七○○○○○○为实以全数为法而一得一三五○七○又以第三率一二四三二二乘之得一六七九二二○○○○○以全为法而一得一六七九二二为四率 　　二三○七三五　六十四度十九分之正割线 　　又假设三率如一二二三四一 　　二三四三二 　　第一率变取六十四度十九分之余四三三四○以乗第二率得数减后五位以所存乘第三率得数又减 　　后五位所存即第四率 　　二全数为正余两切线之中率 　　如上圗辛丙与丙乙若乙己与己壬 　　何者丙乙乙己皆全数则辛丙丙乙【或乙己】己壬为三率连比例 　　系凡四率断比例全数为中率若第一为正切线变余切线为中率以易全为第一若第一为余切线变正切线为中率以易全为第一 　　三正与余若全数与余切线余与正若全数与正切线 　　如前圗甲丁与丁戊【即甲乙故】若乙己与己壬戊丁【即甲乙故】与甲丁若乙丙与丙辛 　　系四率断比例若一二率为正与余变为全数与余切线若为余与正变为全数与正切线 　　四凡两弧之正割线与其余为互相视之线两弧之余割线与其正为互相视之线 　　如上圗丙癸丙丁两弧丙癸弧之正 　　割线为乙寅丙丁弧之正割线为乙 　　辛丙癸弧之余为庚癸丙丁弧之 　　余为戊丁则乙寅与乙辛若戊丁 　　与癸庚 　　论曰全数在正弧【丙癸】为其正割线【乙寅】及其余【癸庚】之中率在他弧【丙丁】亦为其正割线【乙辛】及其余【丁戊】之中率两理之各前后矩内形各与全数上方形等【各为其中率故】即两矩内形自相等其边互相视【防何六卷十四】 　　五凡两弧之正切线与其余切线为互相视之线同上论卷中诸圏皆以曲线当圎球之大圏相交相截人目视球曲面或近或逺或上或下或左或右所见不同有时视曲线而为直线即同是曲线而形象不一葢平面图球不能尽球之理宜从论説中领其意义乃得耳 　　圆球原本内借论题　　古徳阿多西阿撰 　　一大圏皆与球同心　系大圏皆相等若从大圏分球过心必为两平分【一卷六】 　　二两大圏于球上相交各为两平分 　　三反之两圏于球上相分为两平分必两皆大圏【一卷十一十二如赤道黄道等】 　　四大圏过他圏之两极必相交为直角【一卷十五题如子午圏过赤道极则两圏交处皆为直角】 　　五大圏与本极距一象限九十度 　　六大圏交两大圏若作直角则元圏之极在两圏之交如赤道与极至交圏极分交圏为直角则两圏之交在赤道极 　　七大圏三百六十平分之小圏亦然但小圏去离大圏一分其小圏之各分必小于大圏之各分 　　八两大圏相交其交角必等或上或下两角幷必等两直角与直线相交同理 　　九球上大圏不能相偕为平行弧一心止一圏故也若同心而能为多圏则是距等小圏非大圏矣 　　分球上三角形之各类 　　球上圏相交成三角形若三皆大圏之弧此形为大测之本【若有小圏之一弧即未能定圏大小之数安能定其弧数明大测不用小圏之弧也】 　　球上角形或三边等其角必等边之度若四之一【九十度】则角为直角过四之一则钝角不及则鋭角【如正球之赤道地平子午圏皆相交为直角则各边俱九十度】 　　或二边等其对角亦等若边过象限为钝角不及为鋭角或各边不等各角亦不等 　　球上角形或三直角其边皆四之一或两为直角其两对边皆四之一此二类自明勿论所论者一为直角余或钝或鋭各有本法如左 　　一圗外大圏内两大圏分皆相交为直角则各圏之极在他两圏之交【用号作十者指直角作○者指钝角作丨者指鋭角边云多者谓过四之一云少者谓不及四之一】 　　二圗两直角形第三角或鋭或钝【己上二圗俱不论】 　　三圗甲乙丙形甲为直角余皆鋭其边少甲丙戊形甲直角丙钝戊鋭钝角之对边大即甲已戊弧鋭角之对边小即甲丙弧或一直角两钝角如乙丙丁形乙丙两钝角其对边过四之一即乙壬丁弧 　　凡两角或鋭或钝若同其间所容弧不及四之一直线三角形与球上曲线三角形异理 　　一直线形之三角幷与两直角等曲线形之三角幷其数不定但不能及四直角【四直角者三百六十度也】 　　二直线形得两角即得其三曲线形否 　　三直线直角形有两边以句股开方法求其三曲线形否四直线形有三角不能求三边若干但得其比例耳曲形设三角可推三边若干 　　五直线形各边能当全数曲线之各边否 　　六两直线形等角即两形之边有比例曲线等角形之边必等 　　七直线形但有一易法以垂线分元形是也曲形有六易法 　　八直线形不过二种一直角二或钝或鋭角其边虽有长短不变其曲形边有大小其法不同 　　球上斜三角形因各角各边不等分为九种【或恒用或否俱见下文】第一三角皆鋭其边皆小于四之一【如第一图甲形】 　　第二三角皆钝其一边适足四之一其二边大于四之一【后凡四之一皆言足小于四之一者皆言少大于四之一者皆言多如第二圗乙形】 　　第三三角皆钝其两边多一边少【如三图丙形】第四三角皆钝其三边皆多【如四图丁形】第五一角钝两鋭其三边皆少【如三圗戊形】第六一角钝两鋭其两鋭间之一边多钝角之两旁少【如四图己形】 　　第七一角钝两鋭一鋭角之对边少余皆 　　多【如三图庚形】 　　第八一角钝两鋭钝角之对边足余皆少【如二图壬形】第九一角钝两鋭其边皆不等一多一少一足【如二图辛形】 　　球上三角形相易其法有五 　　第一甲乙丙直角形甲为直角于乙甲乙丙各引长之满象限为乙丁乙戊又甲丙边引长之作甲丙己象限次聨丁戊引至己亦作象限【乙丁乙戊俱象限则丁戊己弧心为乙又丙甲乙为直角乙丁戊亦直角则甲己丁己遇于己而己为乙丁弧之心】得丙戊己直角形若甲乙丙形设甲乙乙丙两边若干 　　即有甲丁丙戊两余弧次丙戊己形有戊直角有丙戊边即有己角【其弧甲丁】 　　若元形有直角之对边及直角旁一边即次形有直角旁一边及其对角【一图】若元形有二角即次形有一角一边【二图】 　　若元形有一角及直角之对边即次形有直角旁两边 　　【三图】 　　第二甲乙丙直角形于甲乙引长作乙丁象限弧乙丙引至戊甲丙引至己皆满象限次作丁戊己象弧得丙戊己形次丙戊引至庚丙己至辛戊己至癸皆象弧次作 　　庚辛癸弧成辛己癸形此形与元形甲乙丙相当何者元形有乙丙两角即次形有两边【有乙角之弧戊丁即有其余弧戊己有戊己弧卽有己癸边与乙角之数等有丙角即辛庚丙形之丙角弧为庚辛其余弧为辛癸】 　　元形之乙丙易为癸角【乙丙边余为丙戊丙戊之余为戊庚是癸角之度】元形之甲乙边易为辛己癸角【甲乙弧之余为甲丁其对角为丁己甲或辛己癸皆甲乙之余弧角】 　　元形之丙甲边易为辛己边【甲丙弧之余为己丙己丙弧之余为辛己则辛己与甲丙等】 　　第三斜角形【两腰等角或鋭或钝】两腰引长至半周必相遇成他形与元形相当如图甲乙甲丙两腰引至丁成丁乙丙他形从乙丙作乙丙己成全圏引乙甲至己丙甲至戊又成甲戊己他形此两他形者皆与元形相当何者有甲乙边自有其半周内之余乙丁亦有其半 　　周内之余甲已即乙丙与戊己等【丙乙戊乙戊己皆半周故】又丁角与甲角等【凡两大圏相交为两角必等如黄赤二道相交于春秋分是也】丁乙丙为甲乙丙之余角乙丙丁为甲丙乙之余角甲戊己为乙丙甲之余角甲己戊为丙乙甲之余角则元形变易而生两形各相似相当　问本用曰元形边大【多于象限】角钝易为次形边小角鋭三角形六问中所用也【六问详见后篇】第四甲乙丙三不等形从乙甲弧作甲辰戊全圏次甲 　　角为心作丁壬辰大圏分乙角为 　　心作戊癸寅大圏分丙角为心作 　　己丑夘大圏分三圏分必相交成 　　癸寅丑形此形与元形相当而元 　　形之边易为角角易为边何者甲 　　壬弧满一象限丙午同之减同用之丙壬即午壬与丙 　　甲等壬午弧限壬丑午角之度其 　　余角为癸丑寅又甲丁乙戊皆象 　　弧减同用之乙丁即甲乙与丁戊 　　等丁戊为寅癸丑交角之度又乙 　　辛丙子皆象弧减同用之丙辛即 　　辛子与乙丙等辛子弧即辛寅子角之度则元形甲乙边易为次形之癸角甲丙边易为癸丑寅余角乙丙边易为寅角元形之三边易为次形之三角【边易为角】又元形乙角之余易为癸寅边甲角易为癸丑边丙角易为寅丑边【角易为边】 　　第五凡斜角形设一角二边法从他角作垂弧至其对弧为直角如一图【若不能则引长其对弧令受垂弧如二图】若设二角一边法从他边之对角作垂弧如图乙丁丙形有丙角丙乙丙丁两边即作乙甲垂弧分为两直角形其甲丙乙形有一角一边可求其余甲丁乙直角形先得甲乙甲丁两边可求其余 　　凡底边两旁角为同类垂弧在形内若异类垂弧在形 　　外