新法算书 - 第 167 页/共 181 页

凡曲线三角形如得实球即指画易明直角形直角之对边名底斜角形大角之 　　对边名底 　　凡言直角其边小于象限则用之大于象限则依前法变为小而用之 　　球上直角形各边角正等线之比例 　　第一题 　　直角形人数数【即直角之本数】与某角之正若底弧之正与某角对边之正 　　欲明此论宜以浑体解之今权设浑象以坚厚楮作一圆形中心折作直角半平者其弧如赤道之半周也半立者其弧如极分交圏之半周也又作一半周形合于全形之直角两径相切共为半圏面三一平一立一中居中者其弧如黄道之半周也中圏面上下防移任作若干度角如黄赤道之相距又作九十度之两弧上合下分一置三半周之中如极至交圏为定弧一以下端防移平弧上恒与平弧为直角上割中弧而遇定弧于极防之上谓之防弧防弧之上容中平二弧之距度而此一定一防两弧者皆如过极之经圏也恒偕平弧为三弧两边等直角形 　　今于平面作图拟彼圆象用意推测聊足可明其诸名义亦借浑天以便识别也如上图乙丁寅圏为赤道乙丙癸为黄道乙寅为春秋分癸为夏至午辰为南北极午癸丁辰为极至交圏午丙甲为过极经圏以限黄道 　　之经度容赤黄二道之距度 　　平置乙丁寅赤道圏从黄癸 　　下垂线为极至圏上癸丁相 　　距弧之正从赤丁上立垂 　　线遇夘癸半径之引长线于 　　戊得戊丁与癸己平行为癸 　　丁弧之切线夘戊其割线也己夘则癸丁弧之余也又从黄道若干度之防如丙作两线一丙辛垂线为过极经圏上丙甲斜弧之正辛壬【乙寅径之垂线】其余一丙壬为寅乙极线之垂线即丙乙黄弧之正次从赤道过极两圏之交甲立甲子直线又于寅乙【黄赤交之对截线】上作甲丑垂线次于乙丙癸圏黄平面上从丑作丑子为乙寅之垂线过甲子于子子甲者过极圏上丙甲弧之切线也而甲丑为甲乙赤弧之正丑夘其余则图中有直线直角形四一癸己夘二戊丁夘三丙辛壬四子甲丑因夘壬丑三角等故三形俱相似 　　题言癸夘【全数】与癸己【癸乙丁角之正】若丙壬【丙乙底弧之正】与丙辛【丙甲为乙角之对边丙辛其正】 　　如上图甲乙丙形【凡称甲者恒为直角】全数【一率】与乙角之正【二率】若丙乙边之正【三率】与丙甲边之正【四率】此比例用防何五卷之六理 　　云更之则一与三若二与四又反之二与一若四与三又反而更之三与一若四与二 　　系若以大圏割本形作戊丁直角弧则丁戊与甲丙若乙戊与乙丙【俱用正】 　　第二题 　　全数与某边【如甲丙】之余【即丙戊弧之正】若他边【甲乙】之余【即戊角之正】与底【直角之对弧如丙乙】之余【即丁丙弧之正】 　　若直角形内有一钝角或二钝角其理同本题 　　第三题 　　直角形全数与某角【丙】之正【即丁丙戊角之正】若设角【丙】旁边【甲丙】之余【即戊丙底之正】与其边对角【乙】之余【即丁戊边之正】此题之丁丙戊形与一题之甲乙丙皆有底有一角其 　　理同也 　　一系依相当第四法及此第一题显全数与乙角【乙丙角互用】之正若角对边【甲丙】之余 　　割线与底弧【乙丙】之余割线【三四率各有正可用其余割线当之】二系依相当第四法及第一题显全数与底【乙丙】之正若某边【甲丙】之余割线与对角【乙】之余割线【三四率有正互易为余割线】 　　三系依相当第一法及此第一题显全数与某角【乙】之余割线若对边【甲丙】之正与 　　底【乙丙】之正【第一题之比例为角之正与全若角对边之正与底之正相当法则以正当余割线也】 　　四系依相当第一法及此第一题显全数与底【乙丙】之余割线若边【甲丙】之正与对角【乙】之正【一题内底之正与全若边之正与角之正今易底之正为余割而居第二以全为第一】 　　五系依相当法第四及第二题显全数与某边【甲丙】之余若底【乙丙】之割线与他边之割线【二题云全与边之余若他边之余与底之余此云底之割线与边之割线葢以割线当余而为三四率也】 　　六系依相当第一法及第二题显全与某边【甲乙】之割线若底【乙丙】之余与他边【甲丙】之余【第二题之四率反用之为二与一若四与三则第一率为余第二率为全数也今依相当一法易之为全与割线】 　　七系依第四相当法及三题显全数与角【乙】之正若他角【丙】之割线与他角对边【甲乙】之割线【三题言全与角之正若设角旁边之余与他角之余今用相当第四法反四率为三三率为四易余为割线葢两弧之余与其正割线为互相视之线】 　　八系依三题第四相当法显全与边【甲丙】之余若边对角【乙】之割线与他角【丙】之余割线【三题三四率边旁角之正与他角之余今互变边对角之割线与他角之余割线】 　　九系依相当第一法及第三题之四率前后易之显全数与角之余割线若他角之余与其对边之余十系三题之四率前后相易用第一相当法显全与边之割线若边对角之余与他角之正 　　十一系因一系反理及相当一法显全与角之割线若底之余割线与角对边之余割线 　　十二系因上五系反用其率及相当一法显全与边【甲丙】之割线若他边之割线与底之割线 　　十三系因九系反用其率及相当一法显全与角之余 　　割线若边之割线与其对角之割线 　　第四题 　　曲线直角形其全数与角【乙】之切线若角旁边【甲乙】之正与角对边【甲丙】之切线【如前圗】 　　解用一题平面全图之甲乙丙 　　形甲为直角戊丁为甲乙丙角 　　之切线甲丑为甲乙边之正 　　子甲为丙甲边之切线可见夘 　　丁与乙角之切线丁戊若乙角旁边甲乙之正甲丑与乙角对边甲丙之切线甲子【三角形皆相似故见一题】 　　系用相易第一法则全与边【甲乙】之余切线【或丁甲弧之正切线或戊己丙角之正切线】若边旁角乙之余【即戊己弧之正】与底之余切线【即丙戊之正切线】　按本题第二率为乙角之切线系易为丁戊之余弧或己戊边三率为角旁边【甲乙】之正系易为边【戊己】旁角【己】 　　或丁甲弧之余【即甲乙正】四率为角对边【甲丙】之切线系易为底之余切线或甲丙弧之正切线 　　二系全与底之余【或甲丙边之正】若角【丙】之切线【两形为交角】与他角【已】之余切线【即甲乙边之正切线】 　　三系依相当五法余切线能当正切线【二三率可互易】为全数与边之正若他边之余切线与其对角之余切线四系若一二三四率反用为二与一若四与三即变第一率切线为余切线则为全数与角之余切线若角对边之切线与他边之正 　　向下诸系皆用相当法及反理省文不解 　　五全数与边之余切线若他边之切线与其对角之切线 　　六全与角之余若底之切线与角旁边之切线七全与边之切线若底之余切线与角旁边之余八全与角之割线若底之余切线与角旁边之余切线九全与底之割线若角之余割线与他角之切线十全与角之余切线若他角之余切线与底之正十一全与边之余割线若边旁角之余切线与他边之余切线 　　十二全与边之余切线若边对角之切线与他边之余割线 　　十三全与角之割线若角旁边之切线与底之切线十四全与底之切线若边之余切线与边旁角之割线十五全与角之切线若他角之切线与底之割线因上四题即每一设形有十二算法　今设甲乙丙一形有乙丙底【三十度】及甲丙边【十一度三十一分】求乙角一为乙丙边之正【五○○○○】与全【十万分】若甲丙之正【一九九六五】与乙角之正【三九九一】 　　【三】查得二十三度三十一分三十○抄 　　二为全【十万】与丙乙之正【五○○○○】若甲丙之余割线【五○○八六九】与乙角之余割线【二二○六一七】 　　三为甲丙之余割线【五○○八六九】与全【十万】若丙乙之余割线【二○○○○○】与乙角之正【三九九一三】 　　四为全【十万】与甲丙之正【一九九六五】若乙丙之余割线【二○○○○○】与乙角之正【三九九一三】 　　五为乙丙之余割线【二○○○○○】与全【十万】若甲丙之余割线【五○○八六九】与乙角之余割线【三二○六一七】 　　六为甲丙之正【一九九六五】与全【十万】若乙丙之正【五○○○】与乙角之余割线【二二○六一七】 　　七为乙丙之余【八六六○三】与乙丙之余切线【一七三二○五】若甲丙之正【一九九六五】与乙角 　　之正【三九九一三】 　　八为乙丙之余切线【一七三二○五】与乙丙之余【八六六○三】若甲丙之余割线【五○○八六九】与乙角之余割线【二二○六一七】九为乙丙之正【五○○○○】与甲丙之切线【二○三七六】若甲丙之余【九七九八七】与乙角之正【三九九一三】 　　十为甲丙之切线【二○三七六】与乙丙之正【五○○○○】若甲丙之正割线【一○二○五五】与乙角之余割线【二二○六一七】十一为甲丙之割线【一○二○五五】与乙丙之余割线【二○○○○○】若甲丙之切线【二○三七六】与乙角之正【三九九一三】十二为甲丙之正【一九九六五】与乙丙之切线【五七七三五】若乙丙之余【八六六○三】与乙角之余割线【二五○六一七】以上十二法俱可得乙角因除法为繁故约用乘法如下方 　　球上直角形相求约法 　　球上直角三边形有三角三边此六者有三可推其余交互为三十求各以乘法得之 　　第一设乙丙两角【凡甲皆直角乙丙或鋭或钝】一求甲乙边为全数与乙角之正若丙角之割线与甲乙边之割线或全与乙角之余割线若丙角之 　　余与甲乙边之余　丙角定数 　　解曰同类者或皆过九十度或皆不及若丙角过九十度则所求之边亦过九十若丙角不及九十度所求之弧亦不及下仿此 　　二求甲丙【甲丙甲乙两边互用乙丙两角亦互用】为全数与丙角之正若乙角之割线与甲丙边之割线　或全与丙角之余割线若乙角之余与甲丙边之余　乙角定类三求丙乙【对直角之底】为全与乙角之切线若丙角之切线与乙丙边之割线　或全与 　　乙角之余切线若丙角之余切线与乙丙边之余或乙或丙两角定类 　　凡定类有二号者若二号为同类所得为不足九十度若两号为异类所得为过九十度 　　第二设乙角及乙甲边　四求丙角为全与乙角之余割线若乙甲边之割线与丙角之割线　或全与乙甲边之余若乙角之正与丙角之余【直线直角形设一得二取其较也此与异者曲直两线为异类故也】　甲乙弧定类 　　五求甲丙边为全与甲乙之正若乙角之切线与甲丙边之切线　或全与乙甲边之余割线若乙角之余切线与甲丙边之余切线 　　乙角定类 　　六求乙丙边为全数与乙角之割线若甲乙边之切线与乙丙边之切线　或全数与乙角之余若甲乙边之余切线与乙丙边之余切线　乙角或甲乙边定类第三设乙角及甲丙边　七求丙角为全数与甲丙边之割线若乙角之余弦与丙角之正或全数与甲丙边之余若乙角之割线 　　与丙角之余割线　乙角或甲乙边定类 　　八求甲乙为全数与甲丙边之切线若乙角之余切线与甲乙边之正　或全数与甲丙边之余切线若乙角之切线与甲乙边之余割线　乙角或甲丙边定类九求丙乙为全数与乙角之余割线若丙甲边之正与丙乙边之正　或全数与乙角之正若丙甲边之余割线与丙乙边之余割线　乙角定类 　　第四设乙角及乙丙边　十求丙角为全数与乙丙之割线若乙角之余切线与丙角之切线　或全数与乙丙边之余若乙角之切线与丙角之余切线　乙角及乙丙定类 　　十一求甲乙为全数与乙角之余若丙乙边之切线与甲乙边之切线　或全数与乙角之割线若乙丙边之余切线与甲乙边之余切线　乙角及乙丙定类十二求甲丙为全数与丙乙边之正若乙角之正与甲丙边之正　或全数与丙乙边之余割线若乙角之余割线与甲丙边之余割线　乙角定类第五设丙角及甲乙边　十三求乙角为全数与甲乙边之割线若丙角之余与乙角之正　或全数与甲乙边之余若丙角之割线与乙角之余割线　丙角定类 　　十四求甲丙边为全数与甲乙边之切线若丙角之余切线与甲丙边之正　或全数与甲乙边之余切线若丙角之切线与甲丙边之余割线　甲乙边定类十五求乙丙为全数与丙角之余割线若甲乙之正与乙丙边之正　或全数与丙角之正若甲乙边之余割线与乙丙边之余割线　丙角定类 　　第六设丙角及甲丙边　十六求乙角为全数与丙角之余割线若甲丙边之割线与乙角之割线　或全数与甲丙边之余若丙角之正与乙角之余　甲 　　丙边定类 　　十七求甲乙边为全数与甲丙边之正 　　若丙角之切线与甲乙边之切线　或全数与甲丙边之余割线若丙角之余切线与甲乙边之余切线　丙角定类 　　十八求乙丙边为全数与丙角之割线若甲丙边之切线与乙丙边之切线　或全数与丙角之余若甲丙边之余切线与乙丙边之余切线　丙角及甲丙边定类 　　第七设丙角及丙乙边　十九求乙角为全数与丙乙边之割线若丙角之余切线与乙角之切线　或全数与丙乙边之余若丙角之切线与乙角之余切线　丙角及丙乙边定类 　　二十求甲乙边为全数与丙乙边之正若丙角之正与甲乙边之正　或全数与乙丙边之余割线若丙角之余割线与甲乙边之余割线　丙角定类二十一求甲丙边为全数与丙角之余若丙乙边之切线与甲丙边之切线　或全数与丙角之割线若丙乙边之余切线与甲丙边之余切线　丙角及丙乙边定类 　　第八设甲乙甲丙两边　二十二求乙角为全数与甲乙边之余割线若甲丙边之切线与乙角之切线　或全数与甲乙边之正若甲 　　丙边之余切线与乙角之余切线　甲丙边定类二十三求丙角为全数与甲丙边之余割线若甲乙边之切线与丙角之切线　或全数与甲丙边之正若甲乙边之余切线与丙角之余切线　甲乙边定类二十四求乙丙边为全数与甲乙边之割线若甲丙边之割线与乙丙边之割线　或全数与甲乙之余若甲丙之余与乙丙之余　甲乙甲丙定类第九设甲乙乙丙两边　二十五求乙角为全数与丙乙边之切线若甲乙边之余切线与乙角之割线　或全数与乙丙边之余切线若 　　甲乙边之切线与乙角之余　甲乙及乙丙定类二十六求丙角为全数与乙丙边之余割线若甲乙边之正与丙角之正　或全数与丙乙边之正若甲乙边之余割线与丙角之余割线　乙角定类二十七求甲丙边为全数与甲乙边之余若乙丙边之割线与甲丙边之割线　或全数与甲乙之割线若乙丙之余与甲丙之余　甲乙及乙丙定类第十设甲丙乙丙两边　二十八求乙角为全数与丙乙边之余割线若甲丙边之正与乙角之正　或全数与乙丙边之正若甲丙边之余割线与乙角之余割线　甲丙边定类 　　二十九求丙角为全数与乙丙边之切线若甲丙边之余切线与丙角之割线　或全数与乙丙边之余切线若甲丙边之切线与丙角之