新法算书 - 第 168 页/共 181 页

余　甲丙及丙乙定类 　　三十求甲乙边为全数与甲丙边之余若乙丙边之割线与甲乙边之割线　或全数与甲丙边之割线若丙乙边之余与甲乙边之余　甲丙及丙乙定类 　　球上斜角形各边角正等线之比例 　　第一题 　　各角之正与其对边之正皆为同比例 　　若形是直角则借彼第一题为全数【甲】与某角【乙】之正若底弧【乙丙】之正与某角 　　【乙】对边【甲丙】之正则用更理为甲角全数与其对边乙丙若乙角与甲丙或若丙角与甲乙用反理亦然【凡不言某线者皆正也下仿此】 　　若斜角形借相易第五法如丙丁乙形从乙从丁从丙作乙甲丁戊丙壬各垂弧至其对边为直角因前论甲乙丙角与甲丙边甲乙丁角 　　与甲丁边为同比例合之丙乙丁角之正与丙丁边之正若乙丁丙角之正与乙丙边之正【若戊为直角则戊丁丙角与戊丙边若戊乙丁角与戊乙边合之乙丁丙角与丙乙边若某角与某边或用壬直角其理不异】若甲直角在形外其理亦同　如乙丙甲乙甲丁两角对乙甲乙丁两边乙丁甲乙甲丙两角对甲乙乙丙两边各减共用之甲直角即丙 　　对甲乙乙丁两边丁对甲乙乙丙两边又各减共用之甲乙则丁角之正与乙丙边之正若丙角之正与乙丁边之正乙角与丁丙边同理 　　第二题 　　四率断比例若第一率为全数则全数上方与二三率之矩内形若第一率与第四率 　　解曰甲乙全数线上方【数与线两类相当互解】丙丁丙戊为二三率之矩内方己方形之容与丁戊矩方等又甲乙丁丙丙戊壬四线为断比例题言甲乙上方与丁戊矩方若甲 　　乙线【一率】与壬线【四率】 　　论曰因防何【六卷十】甲乙壬两率矩内形与丁戊两中率矩内形等或与已方形等即甲乙己壬三线为连比例第一率上方与第二率上方若第一率与三率等【六卷十七】则全数【甲乙】上方与二三率之矩内方【丁丙丙戊矩丙形或已形】若甲乙线【一率】与壬线【四率】 　　系若二三率为切线或割线或正即相乘以全数除之得第四率 　　第三题 　　球上斜角形全数上方形与两腰之正矩内形若两腰间角之矢与两矢之较两矢者其一为底弧【即角对边】之之矢其一为两腰较弧之矢 　　圗説乙丙丁斜角形于乙丙乙丁引长之各满半周遇于戊其极线为戊己乙己为心戊丙乙己为平面上半 　　圈戊丁乙为斜面半 　　圈两半圈各平分于 　　辛于寅作己辛己寅 　　已丙皆半径又作寅 　　辛弧即乙角之弧也其正为寅庚其矢为庚辛又取乙壬弧与乙丁腰等作丁壬小圏之弧次从丁作丁甲从壬作壬甲各为戊乙之垂线则小圏之半径亦为乙丁腰之正【即丁戊弧之正】次从丁作丁酉即丁壬小圏弧之正其矢为酉壬又取丙癸弧与底弧丁丙等又从乙从壬从癸向丙己半径作乙辰壬夘癸午各垂线末从酉向壬夘作酉子垂线 　　解曰乙辰为乙丙小腰之正其矢辰丙寅庚为乙角【亦寅辛弧】之正其矢庚辛午夘为两腰较弧【壬丙】之正其 　　矢夘丙癸午为底【丁丙亦丙 　　癸】之正其矢午丙午 　　夘【酉子同】为两腰较弧【壬丙】之矢【夘丙】与底弧【丁丙或丙癸】 　　之矢【午丙】之较矢丁甲【壬甲同】为乙丁大腰之正题合全数【乙己丙己之类】上方形与乙辰偕壬甲两正矩内形若辛庚【乙角之矢】与两矢之较午夘 　　论曰丁甲酉寅己庚两形相似【酉与庚皆直角甲己两角之腰平行又同在两靣内即等】则寅己全数【辛己同】与庚己若乙丁弧之正丁甲【壬甲同】与酉甲或辛己【寅己同】与庚己若壬甲【丁甲同】与酉甲依防何【五卷十九】之论辛己与辛庚若壬甲与壬酉【全与全两所截取之分比例等则两截取之余分必等】或辛己【全数】与壬甲【乙丁大腰之正】若辛庚【乙角之矢亦寅辛弧之矢】与壬酉【丁壬弧之矢】 　　又乙己辰壬子酉两直角形相似【壬夘乙辰两线平行即壬甲乙三角幷为一形之角而甲壬夘为辰乙己角之余又辰己乙角为乙角之余则与夘壬甲角必等】则乙己【全数】与乙辰【乙丙小腰之正】若壬酉【丁壬弧之矢】与子酉【两矢之较也午夘同】同乘理之法两理【前两比例】之第一率【一辛巳一乙己】相乘得全数上方形两理之第二率【一乙丁大腰之正壬甲一乙丙小腰之正乙辰】相乘得两弧之正矩内形依合理【防何五卷】为若乙角之矢辛庚【一理之第三率】与两矢之较子酉【二理之第四率】 　　系斜角形全数与所得之第四率【第四率者如上题全数为一率两腰之正为二三率用三率法乗除所得则第四率也】若两腰间角之矢与某矢【某矢者两矢之较两矢者一为底弧之矢一为两腰较弧之矢】 　　二系斜角形全数上方形与两角之两正矩内形【或全数与第四率】若两角内边之矢与某矢【某矢者两矢之较两矢者一为边对角之矢一为两角较角之矢】 　　解用第四相易法设角易为边即两弧之 　　正矩内形与两角之正矩内形必等或两腰内角之矢与两角内边之矢必等 　　第四题 　　全数上方形为两腰【或两角】两正矩内形及两腰两余割线矩内形之中率 　　解曰乙【正】与丙【全数】若丙与丁【余割线】如有两正两全数两余割线各以类相乗其形依合理为比例等反之或用余矩内形 　　及正割线矩内形亦同 　　系若两正两余割线各以类相乘【或用余及正割线】以全数除之所得两数亦全数为中率 　　假如乙丙丁形【乙丁边五十四度五十分丁丙边五十八度】求其正其余割线相乘以全数除之从尾截去若干位所存如全数之位则【五十四度五十分之正八一七四八五】 　　【十八度之正八四八○五】相乘得六九三二六三九一四○【五十四度五十分之余割线一二二三二七五十八度之余割线一一七九一八】相乘得一四四二四五五五一八六全数为两数之中率试之一全数上方积为实所得第一率为法除之或用减九数法亦可二系两弧之正余割线互乘所得两数亦全数上方形为中率【或用余正割线理同】 　　如前系一弧之正全数与其余割线作三率连比例为第一理一弧之余割线全数与其正作三率连比例为第二理用合理以两理之第一率相乘得数二三亦如之所得三数之比例与前同理则一弧之正他弧之余割线矩内形全数上方形一弧之余割线他弧之正矩内形为三率连比例形【如前法试之】若三率形皆以全数除之比例如前则一弧之正他弧之余割线相乘以全除之所得为一率全数为二率一弧之余割线他弧之正相乘以全除之所得为三率 　　三系两弧之正切线矩内形两弧之两余切线矩内形亦全数上方形为中率【如图戊正切与己全若丙全与丁余切用合理如前】若三率形皆以全数除之所得三数之比例如前系 　　四系若一弧之正切线乘他弧之余切线或一弧之余切线乘他弧之正切线亦全数上方形为中率若三率形皆以全数除之比例亦然 　　五系一弧之正切线他弧之正矩内形又一弧之余切线他弧之余割线矩内形亦全数上方形为中率【如上系戊正切全数丁余切为连比例反之则丁与丙丙与戊用合理如前】若三率形以全数除之比例亦然 　　六系一弧之余切线他弧之正矩内形一弧之正切线他弧之余割线矩内形亦全数上方为中率七系一弧之正切线他弧之余矩内形一弧之余切线他弧之正割线矩内形亦全数上方为中率八系一弧之余切线他弧之余矩内形一弧之正切线他弧之正割线矩内形亦全数上方为中率若各三率形各以全数除之比例皆同 　　第五题 　　无直角形从一角向其对边为垂弧分元形为二直角形各直角对边之余若底弧【受垂弧者为底】两分之余解乙丙丁形从丙作丙甲垂弧甲为直角则丙丁弧之余与丙乙弧之余若丁甲之余与甲乙弧之余又两边之割 　　线若两分之割线 　　论曰依前直角形第二题为全【一】与某边之余【二】若他边之余【三】与底之余今用更理二率与一若四率与三以论甲丙丁形则甲丁边之余【一】与全【二】若丙丁【直角形之底即直角之对边】之余【三】与丙甲之余【四】以论甲丙乙形则甲乙【一】与全【二】若丙乙【三】与甲丙【四】此二理平之则甲丁与甲乙【两理之两一率】若丙丁与丙乙【两理之第三率】各弧之余成 　　割线其理皆同【为丙丁边之割线与全若甲丁边之割线与甲丙边之余又丙乙割线与全若甲乙割线与甲丙边之余今用两理平之则一丙丁与一丙乙若三甲丁与三甲乙各弧之割线】第六题 　　垂弧旁两角之正若他两角之余 　　解甲丙丁甲丙乙两角之正若丁乙两角之余又丙上两分角之余割线若丁乙两角之正割线 　　解依直角第三题甲丙丁角之正【一】与全【二】若丁角之余【三】与丙甲边【四】又曰全【一】与甲丙乙角之正【二】若丙甲边之余与乙角之余今以第二理更之为二与一若四与三又以二理平之一与一若三与三则甲丙丁角【一】与甲丙乙角【一】若丁角【三】与乙角【三】又用三题十三系可算割线之比例 　　第七题 　　垂弧旁两弧之余切线若垂弧旁两角之余 　　解丙甲垂弧遇丙丁丙乙两边于丙即丁丙甲角之余切线与甲丙乙角之余切线若丙丁边之余与丙乙边之余 　　用直角第四题依前论试之 　　又两弧之正切线若两角之正割线　亦用四题之系及十三系试之 　　第八题 　　垂弧旁两弧之余割线若垂弧相对两角之正又两弧之正若两角之余割线 　　解丙甲垂弧旁两弧为丙丁丙乙又丙甲垂弧之对角为丁为乙　用直角三题试之 　　第九题 　　垂弧分底为二两分之正若垂弧相对两角之切线又两分之余割线若两角之正切线又两分之正割线若两对边之正切线又两分之余切线若两对角之余切线 　　右各题之理皆从直角形之理出前解已明今不赘 　　斜角形相求约法 　　凡所设为异类【或边与角或角与边】用第五易分两直角形法见前凡形之弧或角过九十度用三四易得相似形其弧不及一象限 　　设三边若二边等即用垂弧分为两直角等形各形有元形之一边有元底之半求其角 　　解丙乙丙丁两弧等丙甲垂弧分乙丁底及乙丙丁角各两平分依圆球原本第一卷二十一题知两形必等 　　若三边各不等求某角有三法 　　其一以本角旁两腰之正相乘以全除之得数名初得数又以两腰之正矢相乘以全除之得数名次得数以次得数与角对边之或相加或相减【解见下文】得数以全乘之以初得数除之得某角之余 　　解凡角之对边大以象限而角之两腰同类【同类者或皆大于象限或皆小】则两数相加【所求之角为钝】角若异类则两数相减其次得数为实【大而受减者为实】则角鋭次得数为法【小而以减者为法】则角钝　凡角之 　　对边小于象限而两腰同类则两数相减其次得数为实即角钝次得数为法即角鋭若异类则两数相加角为鋭角 　　其二角两腰之【余割】线相乗以全除之得初数又两腰之【余】相乗以全除之得次数以次数与角对边之【余】或加或减如前法以所得数乗第一得数以全除之【得角之余】三法用前斜角三题全圗解为全数与一腰之正若他腰之正与初得数又初得数与两矢之较【两矢者两腰较弧之矢及底弧之矢此名次得数】若全数与角之矢 　　球上三角形比类法见宗动天诸问向上诸篇皆先言其理【诸问见本篇八卷】 　　上法之外尚多别法或用实球从球面界画诸圏测之或用平立环浑仪测之或用平浑仪测之或用比例规或用宗动天之象限或用规于平面画圗以缀术算之或先算成各度分之数而列为立成表俱有本书本论本防法然方之前法则踈而不宻故近来厯家舍置不用也 　　古法用数以推步七政必湏句股开平立三乘方等术至繁而易紊用力多而见功少今悉置不用独用乘除简矣此卷中幷除法不用而独用乘法更简也又有加减术幷乘除俱不用然其理必繇乘除而出故先用本卷之法此法既明用之既熟然后用加减取径防焉三角形有三边求角三法假如丙丁边十九度三十分丙戊边十五度五十八分戊丁边十二度九分求戊角　第一法两腰【戊丙戊丁】正【丙戊为二七五○八戊丁】 　　【为二一○四七】相乘以全除之初得五七八九又余相乘以全除之【丙戊为九六一四二丙丁为九七七六○】次得九三九八八丙丁边余为九四二六四比次得数为大【因两腰同类其三为小】即戊角为鋭其较为二七六加五○以初得数除之得四七六七为角之余查表得八十七度十六分　二法两腰余割线【丙戊三六三五三三丙丁四七五一二三】相乗以全除之初得一七一七二二九其余如上法次得九三九八八与第三边余相减得较以较乗初得数以全除之得如前此法更便可免除法　三法两腰正如上两矢较如前解求两腰之较度得三度四十八分其矢为二二一又对边之矢为五七三六两数相减得五五一五为实 　　【得角之矢为九五二三一其度如上新法算书卷九】 　　【十】 　　【三】