新法算书 - 第 149 页/共 181 页

设角者设弧之角 　　如戊心甲戊戊乙两腰弧甲乙则因弧而称甲戊乙角言角之度分即对弧之度分 　　第十八界 　　设正 　　如丁戊半径十万分先言丙辛若干分则所设丙丁弧之正 　　第十九界 　　设切线 　　如甲乙全数先言甲丙若干数则所设切线 　　第二十界 　　设割线 　　如甲乙全数先言乙丙若干数则所设割线 　　第二十一界 　　设邉线 　　如甲乙丙角形先言甲乙四丈或乙丙五丈或甲丙三丈俱所设邉线 　　第二十二界 　　方数者方形邉自乗之数 　　如正方邉四自之得一十六方之各邉俱等 　　方形根者开方所得方形一邉之数 　　第二十三界 　　平形有方有矩【方者直角方形矩者矩内直角形】 　　矩形邉两两自相等有一邉有实用算得所求他邉开方法有本论本书今别撮为图欲求根一简即得省布算焉简法见筹算 　　测量全义卷一 　　第一题 　　通与通弧正与正弧比例等【比例等后省曰若】 　　解曰有己庚乙丙丁圏其通径己戊丁戊上作乙戊垂线别作庚甲丙线与己丁平行则庚甲丙为庚乙丙通弧之对题言 　　庚甲丙通与庚乙丙通弧之比例若丙甲正与乙丙正弧 　　论曰戊心上垂线作直角平分庚乙丙弧则庚甲戊丙甲戊两角形等何者庚戊丙戊从心至界等甲两旁直角等甲戊同邉则两形必等两角之对弧亦等【几何三卷二十六】故庚甲丙偕庚乙丙两全与丙甲偕丙乙两半比例等 　　第二题 　　圏内正弧等正亦等反之正等正弧亦等 　　解曰有全圏丁丙乙寅己丁寅为径设丁丙乙寅两正弧等从丙从乙作丙戊乙己两垂线截径于辛于壬作直角平分两 　　【三卷第三】亦平分丙丁戊乙寅己两弧【三卷三十】是丙丁丁戊偕乙寅寅己之各两半与丙丁戊偕乙寅己之两全比例等则其丙辛戊乙壬己之两全与丙辛辛戊偕乙壬壬己之各两半比例亦等题言丁丙乙寅两正弧既等则丙辛乙壬两正必等 　　论曰丙丁与乙寅两弧既等则作丙庚乙庚自心至界之两等线得丙庚丁角与乙庚寅角等【三卷二十七】丙辛庚与乙壬庚两直角亦等而丙辛庚乙壬庚两三角形必等故丙辛乙壬两正必等反之丙辛与乙壬丙庚与乙庚各等丙辛庚乙壬庚两直角等则丙庚辛乙庚壬两角亦等【一卷第八】而丙丁乙寅两对弧必等【三卷第二十六】 　　第三题 　　圏之内大弧大小弧小反之大大弧小小弧各相对 　　解曰甲乙丙丁圏甲己大弧丙庚小弧题言己卯大于庚寅 　　论曰试取甲辛弧与丙庚弧等从庚乙己辛各 　　作垂线过甲丙径至于丑于丁于癸于子其庚寅辛壬两半等【本卷二】即庚丑辛子两全亦等【三卷第三】己癸近心大于辛子【三卷十五】是全大于其全也【五卷十五】己卯视辛壬半不大于其半乎次论曰试截卯己于午与庚寅等午上作垂线至辛与丙甲径平行午卯庚寅既等自与辛壬等【皆在两平行线内】甲辛丙庚两弧亦等己甲全弧大于辛甲分弧己卯大必大于辛壬小是大对大弧小对小弧也第四题 　　圏径截亦截弧任分之两分与两弧之正各相似解曰有圏径乙辛截丙丁通于己截丙乙丁通弧于乙其丙乙乙丁两分弧之各正为丙甲戊丁题言丙己己丁两分 　　与甲丙戊丁两正比例等 　　论曰丙甲己丁戊己两角形相似何者两形有相等之己交角有相等之两直角即丁角与丙角必等【一卷三十二】是形与形邉与邉俱相似而丙己己丁两分之比例与丙甲丁戊两正自相似 　　第五题【三支】 　　三不等角形作垂线任分底为二其大分依大邉大邉上方大于小邉上方其较为底全线偕分余线矩内形先解曰丁乙丙角形三邉不等丁乙小丁丙次之乙丙大为底【凡邉大者为底】从丁角作垂线至底题言分底为二者谓垂线之甲在形内盖乙丙邉大即对角之乙丁丙角 　　亦大乙丙两角必小如谓在形外即以乙丙邉引长于己而令己作直角将丁己乙三角形内有丁乙己钝角【甲乙丁为锐角故也】又有己直角是两角大于两直角也可乎次解曰丁甲垂线任分乙丙底题言甲丙大分依丁丙大邉 　　论曰丁丙邉既大于丁乙邉即其上方形亦大而丁丙上方与甲丁甲丙上两方幷等【一卷四十七】则甲丁甲丙两邉幷亦大于甲丁甲乙两邉幷试减同用之甲丁则所存 　　甲丙亦大于甲乙是甲丙大分依丁丙大邉也三解曰丁丙方大于丁乙方其较乙丙偕戊丙矩内形论曰试截甲戊与甲乙等其乙戊线平分于甲有引增戊丙线则乙丙偕戊丙矩内形及甲戊上方形幷与甲丙上方形等【二卷第六】次各加一甲丁上方形则乙丙偕戊丙矩内形及乙甲【即甲戊也】甲丁上两方形或丁乙上方形【乙甲甲丁两方幷与丁乙方等一卷四七】与甲丙甲丁上两方幷或丁丙上方形俱等夫丁乙上方形内有甲乙甲丁上两方形独少乙丙偕戊丙矩内形则丁丙上方大于丁乙上方形之较为乙丙偕戊丙矩内形 　　第六题【四支】 　　三不等角形从角作垂线任分底为二知其邉数即知各分数 　　解曰同前图乙甲甲戊等戊丙为任分之较法曰丁乙丁丙上两方之实相减余者以底数而一得戊丙以减底数余者半之得乙甲 　　小分如丁丙十五丁乙十乙丙底十八丁丙自之得二百二十五丁乙自之得一百相减存一百二十五以底十八为法而一得六又十八之十七戊丙也以减十八存十一又十八之一乙戊也半之得五又三十六之十九乙甲也次解曰依二卷十三题乙丙为两锐角则丁丙上方小于丁乙乙丙上两方其较为乙丙偕乙甲矩内形二法曰用前数乙丁一百乙丙三百二十四两方形幷为四百二十四减去丁丙方形之数二百二十五存一百九十九为实底数一十八为法而一得乙甲之数约之为五又三十六之十九者二 　　三解曰以丁大角为心丁乙小邉为界作全圏截丁丙于己乙丙于戊丁丙引长于辛丁乙丁辛两半径等则辛丙偕己丙与乙丙偕戊丙两矩内形等【三卷三十六】乙甲甲戊又等【三卷三】丙乙大邉有戊丙分在圏外 　　法曰用前数丁丙十五加丁乙十或丁辛得辛丙二十五丁己与丁乙等则辛己径为二十以己丙五乗辛丙得一百二十五为实乙丙十八为法而一得六又十八之 　　十七为戊丙有戊丙得乙戊平分乙戊得乙甲四解曰以丁大角为心丁丙大邉为界作全圈乙丙底引长于戊丁乙邉引长于庚于己即庚乙乙己矩内形与丙乙乙戊矩内形等【三卷三十五】丙甲甲戊既等庚丁丁丙亦等庚乙邉二十五丁丙丁乙两邉幷亦二十五丁己丁丙各十五减丁乙十存乙己五 　　与庚乙相乗得一百二十五为实乙丙十八为法而一得六有竒为戊乙以加乙丙十八得戊丙平分得丙甲第七题 　　断比例之四率以三推一名三率法 　　解曰四几何为两比例等先有三推得第四或同类或异类其前其后不得更易用反理亦用转理列第一第二第三率即可推第四率依七卷十九题中率相乗与首尾两率相乗得数等故二三相乗为实第一为法而一得四率也昔人因其用大算家必需称为全法焉【同类异类反理转理俱见几何四卷】 　　第八题 　　三邉直角形锐角为心底为界作象限圏半径为全数在心角对邉为其弧之正其旁为正弧之余余弧之正解曰如前图甲乙丙直角形乙锐角为心乙丙底为界作丁己象限圏引乙甲邉于丁从心作乙己垂线题言甲直角乙丙为对邉作全数【本界说八】丙甲邉为在心角之对邉即丁丙弧 　　之正【本界说五】而甲乙邉为丁丙正弧之余为丙己余弧之正所以然者试从丙作丙戊与甲乙平行甲直角丙戊乙亦直角则丙戊甲乙两线等【一卷三十四】丙己弧为丁丙正弧之余弧丙戊为丙己余弧之正为丁丙正弧之余【甲乙同】 　　又如后图用锐角丙为心乙为界则乙甲 　　为丙角之对邉为乙丁正弧之正甲丙其余【乙戊同】第九题 　　三角形邉与邉之比例若各对角之正 　　解曰题一言直角形依前论各邉为对角之正在心角与正弧与正俱同理则弧与弧与角与角其比例俱等二言三邉等即三角俱等【一卷五】角之正亦等则邉与邉皆若角与角三言己乙丙杂角 　　形三邉形不等则以己乙小邉引长于丁为乙丁与己丙等丙为心己为界作己庚弧又乙为心丁为界作丁戊弧末作丁辛甲己两垂线至乙丙底 　　论曰丁辛乙甲己乙两直角形之丁辛甲己平行同用乙角即各邉俱相似【六卷四】则乙丁与乙辛若乙己与乙甲又先设乙丁己丙等是丙己邉与丁辛若己乙邉与甲己也夫丁辛为乙角之正甲己为丙角之正更之则丙己邉与己乙邉若乙角正之丁辛与丙角正之甲己也 　　第十题 　　有三角即有三邉之比例 　　解曰直角形设一锐角自有其二【一卷三十二】三邉等形设一邉自有其三两邉等形有腰间角以减两直角平分其较自得底上角杂角形有两角幷以减两直角其较为第三角【杂角者总直钝锐也下文以直角为例】如乙角四十二度查正得六六九一三丙角四十八度得七四三一四则丙甲邉与乙甲邉若六六九一三与七四三一四约之为三十三与三十 　　七有竒也其乙丙与丙甲若全数与乙角之正六六九一三也钝角同理 　　第十一题 　　三角形有设角之比例即有各角之几何 　　解曰乙丙丁角形丁角与乙角若三与四乙角与丙角若四与六题言可得各角之几何 　　论曰三几何分之有比例幷之亦有比例【五卷十八】乙丙丁三角幷得十三其与丙若十三与六与丁若十三与三与乙若十三与 　　四 　　如求每角几度则用三率法三角幷为第一两直角幷一百八十为第二每角之分数为第三推之得第四 　　或用四卷八题之法三与四四与六四数横列之以第一第三相乗所得为第一率以第二第三相乗所得为第二以第三第四相乗所得为第三【再用前法】又如乙与丙若三与四丙与丁若五与六列数如图 　　第十二题　论直角三邉　【四支】 　　三角形有锐角及直角之对邉求余邉 　　一法曰置【三角形之直角之对邉也】如乙丙二丈五尺乙角三十六度五十二分丙角必五十三度○八分求丙甲邉以乙角为心作 　　丁丙戊象限弧则乙丙全数也丙甲邉乙角之正也一率甲直角之全数十万 　　二率丙乙邉外数二十五尺【言内者八线表数言外者今所求得数如丈尺等】三率乙角【三十六】一度五十二分　　或用丙角五十三度 　　正内数五九九九五　　　　其正内数八○○○三 　　四率得一四九九约得一丈四尺　　四率得二丈 　　为甲丙邉外数　　　　　为甲乙邉外数 　　用加减法 　　凡全数为第一率如置十万即第二第三率之数进为万加○若过万则退位两率各当正向各表上取其弧两弧幷而相减求总存两弧之各余若总数过九十者两余相加其半为第四率总数不过九十者两余相减所存半之为第四率 　　如全数与二十五若五九九九五与所求数法二十五作二万五千正表取其弧得十四度二十九分查第三率得三十六度五十二分两弧幷得五十度二十分其余为六三八三三相减存二十二度二十四分其余九二四五五两余之较二八六二三半之得一四三一为第四率与三率乗除所得同 　　用切割两线 　　二法曰丙乙角为心甲为界作甲戊己 　　弧截乙丙于戊则乙甲邉全数也甲丙 　　乙角之切线也乙丙乙角之割线也有 　　乙设角即有其切线与割线而求甲乙邉则乙角之割线与乙丙【外】若乙甲全数与乙甲【外】又求甲丙邉则乙角之割线与乙角之切线若乙丙【外】与丙甲【外】 　　一乙角三十六度五十二分之割线三四九九五二乙丙外邉二十五　　或二乙角之切线七四九九一 　　三全数十万　　　　　○三乙丙外邉二十五四得二十为外甲乙邉　　四得十五为外甲丙邉 　　三法曰设直角傍之一邉如乙丙甲角