御制数理精蕴 - 第 136 页/共 595 页

共母共子及各子求各母式三商共母一千五百二十两得子一百九十两甲分一百二十两乙分四十两丙分三十两问各母若干曰甲九百六十两乙三百二十两丙二百四十两术共子为首率共母为次率各分子为各三率 　　共子各子及出母率求各母式二商共得子二百两甲分五十两乙分一百五十两其母则乙多甲一倍又零八两问各母若干曰甲八两乙二十四两术以甲子五十为首率以零八两为次率各子为各三率 　　共时各时及甲母均分子求乙丙母式三商共贩一年甲先出母一千两乙母后二月方出丙母后四月方出俱不知数所得子银则均分问乙丙母各若干曰乙一千二百两丙一千五百两术以甲母乗甲月十二得一万二千为实以乙月十为法除实得乙母以丙月八为法除实得丙母 　　求出时法 　　共子各母各子及甲时求乙丙时式三商共贩得子银一千两甲母三百两系满十月乙母七百两丙母八百两俱不知月其子银则甲分五百乙分三百丙分二百问乙丙出母月若干曰乙二月又七分月之四丙一月又二分月之一术以甲为凖以甲子五百为首率以甲月乗甲母得三千为次率以乙丙各子为各三率如法次三两率相乗首率除得四率乙得一千八百为乙母乗乙月之数丙得一千二百为丙母乘丙月之数再以乙母除乙四率得乙月数丙母除丙四率得丙月数 　　和求法 　　或知此子而不知彼子或知彼母而不知此母时亦如之 　　共子各子甲母与时及乙母丙时求乙时丙母式三商共得子银一百三十八两甲母二百两经十二月乙母二百四十两不知月丙经十月不知母其子银则甲分六十乙分四十八丙分三十问乙时丙母若干曰乙时八月丙母一百二十两术以甲子为首率甲母乗甲月得二千四百为次率乙丙各子为各三率求得乙四率一千九百二十为乙母乗月之数以乙母除得乙月求得丙四率一千二百为丙月乗母之数以丙月除得丙母 　　共子各时分子率及甲母求乙丙母及各子式三商共得子银一百九十两其分数则乙比甲仅三之一丙比甲仅四之一甲出母八十两经十二月乙经八月丙经四月俱不知母问乙丙母及各子若干曰乙母四十两丙母六十两甲子一百二十两乙子四十两丙子三十两术以甲母乗甲月得九百六十为首率乙得三之一则三分首率得三百二十为乙次率丙得四之一则四分首率得二百四十为丙次率乃以乙月为法除乙次率得四十为乙母以丙月为法除丙次率得六十为丙母既知乙丙之母则以前首率与乙丙两次率相并得一千五百二十为后首率以共子为后次率以前首率为甲三率以乙次率为乙三率丙次率为丙三率共母共子及合和求各母子式三商共母一千五百二十两共得子母和银一千七百一十两甲分一千○八十两乙分三百六十两丙分二百七十两问各母各子若干曰甲母九百六十两子一百二十两乙母三百二十两子四十两丙母二百四十两子三十两术以共子为首率共母为次率各和为各三率求得各母以各母减各和余即各子 　　共子甲乙母及丙子求甲乙子及丙母式三商共得子银一千五百二十两甲母一千○八十乙母三百六十丙不知母而分子二百四十问甲乙子及丙母各若干曰甲子九百六十两乙子三百二十两丙母二百七十两术先于共子内减去丙子余一千二百八十为甲乙和子乃并甲乙母得一千四百四十为首率以甲乙和子为次率用甲母为三率求出甲子用乙母为三率求出乙子既知甲乙子数再并甲乙子得一千二百八十为后首率以前首率为后次率以丙子为三率求出丙母 　　共子甲母及出母裒求各母各子式四商共得子银三百四十两其母以四递加如乙五则丙九丙七则丁十一丁九则甲十三之类甲母二百八十六问各母各子若干曰丁母一百九十八两丙母一百二十六两乙母七十两甲子一百四十三两乙子三十五两丙子六十三两丁子九十九两术由甲推丁以甲裒十三为首率甲母为次率丁裒九为三率求出丁母由丁推丙以丁裒十一为首率丁母为次率丙裒七为三率求出丙母由丙推乙以丙裒九为首率丙母为次率乙裒五为三率求出乙母乃并四母得六百八十为后首率共子为后次率各母为各后三率求出各子 　　通曰与超四递加不同此乃各有递四之加也 　　附式原借母十五两每月每两加子二分五厘满六月还过母子和九两问母子各已还若干仍留母若干曰还母七两八钱二分六厘还子一两一钱七分四厘仍留母七两一钱七分四厘术以还银九两为实以六月用二分五厘通之得一钱五分得通子加母数一两得一两一钱五分为法除实得还母以通子乗之得还子原母内减还母得留母 　　通曰此留母未还子也若六月还全母之子二两二钱五分还母六两七钱五分应留母八两二钱五分矣附式三次为商俱得合利每次贮银三百两三次恰尽问原母若干曰二百六十二两五钱术以贮银折半得一百五十加三百得四百五十又折半得二百二十五又加三百得五百二十五又折半得原母三折者三次也借裒互徴另又一术 　　合率差【差分之五】 　　合率差分法 　　式谷二百四十石作五等分之甲乙二人数与丙丁戊三人数等问各若干曰甲六十四石乙五十六石丙四十八石丁四十石戊三十二石术甲裒五乙裒四并得九丙裒三丁裒二戊裒一并得六以六减九余三乃于五等裒上各加三甲得八乙得七丙得六丁得五戊得四又并之得三十为首率总谷为次率各裒加三得数为各三率 　　通曰此递差八也曰三人分则甲数与乙丙数等而七人分则甲乙丙数与丁戊己庚数不等乃截庚入甲乙截丙入丁戊巳两数始等此亦就裒而言若裒上加有等数俱不等矣故用并减之法也 　　式二银七百六十两甲十分乙七分丙二分问各若干曰甲四百两乙二百八十两丙八十两术甲裒十乙裒七丙裒二并得一十九为首率总银为次率各裒为各三率 　　式三田一百三十八亩每亩徴米二斗今徴七分本色米三分折丝每米一石折丝一斤问各若干曰米十九石三斗二升丝八斤四两四钱八分术以米二斗乘田得二十七石六斗为实以七与三并一十为法用七乗实得一百九十三石二斗以法除得米用三乗实得八十二石八斗以法除得八石二斗八升以石变斤得八斤其二斗八升用加六法得四斗四斗八合即四两四钱八分 　　式四米二十四石给甲乙丙丁四人甲四分乙五分丙七分丁九分问各若干曰甲三石八斗四升乙四石八斗丙六石七斗二升丁八石六斗四升术以米为实并各裒得二十五为法除实得九斗六升为一分之数以各裒乗得各数 　　式五徴粮七十三石二斗三等户照分办纳上二十五戸每户五分中四十户每户三分下六十户每户一分问各一户各共户若干曰上一户一石二斗共三十石中一户七斗二升共二十八石八斗下一户二斗四升共十四石四斗术以各裒乗各户上得一百二十五中得一百二十下得六十并得三百○五为首率总粮为次率各裒为各一户之三率 　　式六每芝蔴三斗换米五斗每米五斗抵荳七斗今有芝蔴四百五十石换米荳共九百二十五石问各用芝蔴及米荳各若干曰换米用芝蔴一百八十七石五斗换荳用芝蔴二百六十二石五斗米三百一十二石五斗荳六百一十二石五斗术并米五荳七得十二为首率以芝蔴总数为次率米五荳七为各三率求出用芝蔴各数再以换米用一百八十七石五斗以三斗除之得数以五斗乗之得米数以换荳用二百六十二石五斗先求出米数以三斗除之得数以五斗乗之得米四百三十七石五斗乃再以三斗除之得数以七斗乗之得荳数式七银十一块金九块等重交换一块则十银一金之重多于八金一银一十三两问金银各块各共若干曰金一块重三十五两七钱五分银一块重二十九两二钱五分银十一块共重三百二十一两七钱五分金九块共重等术以较十三两折半得六两五钱乗金九块得五十八两五钱为实以金九银十一相减余二为法除实得二十九两二钱五分为银一块数以十一乗得共数以半较六两五钱乗十一得七十一两五钱为实仍以前二为法除实得三十五两七钱五分为金一块数以九乗得共数通曰以盈朒法求之亦得 　　式八冰片每两价二两七钱五分沉香每两价三钱五分伽楠每两价八钱有以沉香十七斤三两有以伽楠十三斤十二两问各换冰片若干曰沉香换得冰片三十五两伽楠换得冰片六十四两术以冰片价为首率用斤求两法【见乗布】化沉香伽楠得两数为各次率各价为各三率 　　式九军二万五千二百名月粮米麦荳兼支米每四名支三石麦每九名支五石荳每七名支八石问各若干曰荳二万八千八百石麦一万四千石米一万八千八百石术以七名九名四名为各首率军数为次率八石五石三石为各三率 　　式十刻漏一壶贮水令开三孔漏水大孔二时而尽中孔三时而尽小孔六时而尽如三孔齐泄则几时水尽曰一时漏尽术以三孔与时相较各时为各首率一壶为次率最小时为三率求得大孔六时漏尽三壶中孔六时漏尽二壶小孔原系六时漏尽一壶合计六时三孔共漏尽六壶因知一时共漏尽一壶也又术以二时三时六时为各首率一壶为次率一时为三率求得大孔一时漏水二之一中孔一时漏水三之一小孔一时漏水六之一合计二之一三之一六之一共十分亦合右三数偶满一时若并有竒零者另法求之如累台一座甲六年完工乙九年完工丙十八年方完今三人同累须几时可完必先知每人每年之工而总计之六年者每年得六之一九年者每年得九之一十八年者每年得十八之一并得每年共三分之一【竒零加法】约计三年始完甲成二之一乙成三之一丙成六之一共足十分之数也 　　式十一漏壶上注下泄塞下窍注水四时而满开下窍泄水六时而尽若上注下泄相并则几时可满曰十二时术用三次测法先以四时为首率一壶为二率一时为三率求得一时之所法乃四分壶之一次以六时为首率一壶为二率一时为三率求得一时之所泄乃六分壶之一以四之一与六之一相减余十二之一【竒零减法】乃以十二之一为首率一时为次率一壶为三率求得十二时 　　通曰以四时较六时则有二时不泄欲得六时俱不泄必须三回注四时矣亦合十二时之数也 　　问上注下泄四时满几分曰六时尽者四时泄三分之二以除全壶余三分之一为水满数又问如塞下窍三时而满开下窍八时而尽若上注下泄须几时可满曰以三时满者一时之率三之一以八时尽者一时之率八之一就三之一减八之一余二十四之五为一时之率则全壶得四时零五分时之四也又问一壶既以三时而满如四时又五分时之四可满几壶曰满一壶又十五分壶之八又问八时尽一壶若四时又五分时之四该几何曰此五分壶之三即于前数一时满一壶者除之便得问八时尽一壶三时得几何曰三时泄得八分之三以除全壶余八五之五是三时满八分之五又问三时满八分之五则全壶几时满曰四时零五分时之四也 　　式十二兵百人领队四人旗牌六人器械七万二千四百件犒军旗牌比领队得八分之五兵比旗牌得五分之三问各得若干曰兵得六万每人六百旗牌得六千每人一千领队得六千四百每人一千六百术以兵裒三乗一百得三百以旗牌裒五乗六得三十以领队裒八乗四得三十二并得三百六十二为首率器械为次率各裒乗数为各三率求出各共得数再以各人数除之得每人数 　　式十三大船三桅六桨小船一桅八桨今桅五十九桨二百○二问大小船各若干曰大船十五小船十四术并大小船每只桅桨各九共一十八为首率大小二只为次率并桅桨全数为三率推得二十九只乃大小和数减小之一补大得各数 　　贵贱差分法 　　式硃砂每斤三两六钱石青每斤二两四钱有银一千二百两买硃青二色硃数增青一倍问各若干曰硃二百五十斤共价九百两青一百二十五斤共价三百两术因硃加倍即倍其价为七两二钱并青价得九两六钱为首率总银为次率各一斤之价为各三率求出各斤数各以价乗得各共价 　　式二银五十五两五钱买铜锡铁共重八万三千○五十两每银一钱买铜一百三十两锡一百五十两铁一百七十两问各若干曰铜二万四千七百两共价十九两锡二万七千七百五十两共价十八两五钱铁三万○六百两共价十八两术以总银用三色除之得十八两五钱为中间锡价以每一钱买一百五十两乗之得锡数共重内减锡数余五万五千三百两为铜铁和总银内减锡价余三十七两为铜铁和价以每一钱买铜一百三十两乗和价得四万八千一百两以减铜铁和余七千二百为实以铜一百三十与铁一百七十相减余四十除实得一百八十钱为铁价十八两以一百七十乗之得铁数又于和价内减铁价余十九两为铜价以一百三十乗之得铜数 　　式三绫每尺九分二厘罗每尺八分五厘绢每尺三分六厘有银一百二十一两一钱七分五厘买绫一停罗二停绢三停问各若干曰绫三十二丈七尺五寸共价三十两○一钱三分罗六十五丈五尺共价五十五两六钱七分五厘绢九十八丈二尺五寸共价三十五两三钱七分术二停乗罗价得一钱七分三停乗绢价得一钱○八厘以并绫价共三钱七分为首率总银为次率各每尺价为各三率求出各数各每尺价乗得各共价 　　式四绫罗纱绢共一百六十疋共价九十三两绫每疋九钱罗每疋七钱纱每疋五钱绢每疋三钱问各若干曰绫三十五疋价三十一两五钱罗四十疋价二十八两纱四十疋价二十两绢四十五疋价十三两五钱术以四色除总疋得四十疋即中间罗纱之数罗四十疋以每疋价推得银数纱四十疋以每疋价推得银数总疋内减罗纱余八十疋为绫绢和共价内减罗纱价余四十五两为绫绢价和乃以绫九钱乗绫绢和得七十二两以减余银尚余二十七两为实以绫九钱减绢三钱余六钱为法除实得四十五为绢数于绫绢和内减之余三十五为绫数各以每疋价乗得各价 　　式五银一千○八两买丝三停绵二停线一停共重三百六十两其价线二两丝止一两线一两六钱绵止一两问各若干曰丝重一百八十两价二两二钱四分【得线价二之一】绵重一百二十两价二两八钱【得线价十六之十】线重六十两价四两四钱八分术并各裒丝三绵二线一得六为首率总重为次率各裒为各三率求出各重丝一百八十以二两【线二两也】除得九十绵一百二十以一两六钱【线一两六钱也】除得七十五以并线六十共二百二十五为法除总银得线价以一六除线价得绵价以二除线价得丝价 　　式六银二千九百二十八两买绫一百五十疋罗三百疋绢四百五十疋绫疋价多罗疋价四钱七分罗疋价多绢疋价一两三钱五分问各疋价若干曰绫每疋四两三钱二分罗每疋三两八钱五分绢每疋二两五钱术以多绢价一两三钱五分乗罗疋得四百○五两以两多价共一两八钱二分乗绫疋得二百七十三两并两乗数得六百七十八两以减总银余二千二百五十两为实并三色共九百疋为法除实得二两五钱为绢每疋价加多一两三钱五分得罗每疋价又加多四钱七分得绫每疋价又术以多罗价四钱七分乗罗疋得一百四十一两以两多价共一两八钱二分乗绢疋得八百一十九两相并得九百六十两加入总银得三千八百八十八两为实以三色并得九百疋为法除实得绫疋价依裒减之亦合 　　通曰此又名匿价差分法 　　式七银一万○七百七十八两六钱○五厘籴米麦荳三色均平其每石价米二两三钱五分麦一两九钱五分荳一两四钱五分问各若干曰三色共一千八百七十四石五斗四升米共价四千四百○五两一钱六分九厘麦共价三千六百五十五两三钱五分三厘荳共价二千七百一十八两○八分三厘术以总银为实并三色每石价共五两七钱五分为法除实得各石数各以每石价乗得各共价 　　带分母子差分法 　　式四人共分金七百八十五两乙得甲十之七丙得乙十四之三丁得丙十二之九问各若干曰甲四百两乙二百八十两丙六十两丁四十五两术先并各子乗各母从小并起除丁九无并其丙裒十二又系三则以十二并三依约法三四一十二且作四以乗乙之十四得五十六为乙裒乙系五十六又系七则以五十六并七依约法七八五十六且作八以乗甲之十得八十为甲裒乃并丁九丙十二乙五十六甲八共一百五十七为首率总银为次率以各裒为各三率 　　式二三人共钱三千○四十二文甲得二之一乙得三之一丙得四之一问各若干曰甲一千四百○四乙九百三十六丙七百○二术先并母防其通四分三分二分之一者为主依法二三乗得六又乗四得二十四约之得十二以甲乙丙分之其数皆通甲二之一用六为裒乙三之一用四为裒丙四之一用三为裒乃并三裒得十三为首率总钱为次率各裒为各三率 　　式三三县派粮共一千四百○七石小县二分之一中县五分之三大县十一分之八问各若干曰大县五百六十中县四百六十二小县三百八十五术以各母相乗求通数二乗五得一十又乗十一得一百一十为通数小县裒五十五中县裒六十六大县裒八十并三裒得二百○一为首率总粮为次率各裒为各三率　此与右式同术 　　式四四人共银三百九十六两甲得二分之一外加十两乙得五分之三内欠二十两丙得三分之一外加八两丁得四分之一内欠六两问各若干曰甲一百二十乙一百四十四丙八十丁六十术先于总银内除去加数甲十丙八存三百七十八加入欠数乙二十丁六共四百○四两乃依前法并母二乗五得一十又乗三得三十又乗四得一百二十约得六十为通数甲裒三十乙裒三十六丙裒二十丁裒十五并得一百○一为首率四百○四两为次率各裒为各三率 　　式五兄弟三人季歳得伯四之三仲歳得伯六之五仲多季只八嵗问各嵗若干曰伯九十六仲八十季七十二术已知两母为伯裒并其母四六相乗得二十四为伯裒之实乃用母子互乗以求仲季之裒【四之三六之五】以四乗五得二十为仲裒以六乗三得十八为季裒以仲季两裒较二为首率仲多季八为次率伯裒二十四仲裒二十季裒十八为各三率 　　式六四人分钱不知数云乙得甲六之五丙得甲四之三丁得甲二十四之一十七丁与丙差四文问各若干曰甲九十六文乙八十文丙七十二文丁六十八文术先并母四乗六得二十四又乗二十四得五百七十六为甲裒乃以乙母六除甲裒得九十六以乙子五乗得四百八十为乙裒以丙母四除甲裒得一百四十四以丙子三乗得四百三十二为丙裒以丁母二十四除甲裒得二十四以丁子一十七乗得四百○八为丁裒以丙丁二裒之较二十四为首率丙丁差四为次率各裒为各三率　此与右式同术但彼三位此四位也通曰右二式用后借裒互徴法亦可 　　式七七人分钱甲乙共七十七文戊己庚共七十五文问丙丁及诸人各若干曰甲四十乙三十七丙三十四丁三十一戊二十八己二十五庚二十二术先令母子互乗甲乙二人为母七十七为子戊己庚三人为母七十五为子【二人三人】□【七十七七十五】以二乗七十五得一百五十以三乗七十七得二百三十一相减余八十一为一差之实并两母二三得五折半得二人半以减总七人余四人半以两母相乗得六乗四人半得二十七为一差之法以法除实得三文为一差之数乃知自甲而下递减三文也以三加甲乙和得八十折半得甲数递减三得各数 　　式八大小船数相等共载盐四千三百五十引大船每三只盐五百小船每四只盐三百问船盐各共若干曰大小船俱十八只大船共盐三千小船共盐一千三百五十术先令子母互乗【大三小四】□【五百三百】以三乗三百得九百以四乗五百得二十并得二千九百为首率两母相乗得十二为次率总盐为三率求出各船十八再以两母三四为各首率两子五百三百为各次率以船数十八为三率求得各盐数 　　式九鳌灯一座大小灯毬大每三盏油四两小每四盏油三两其小灯多大灯二之一共用油十八斤七两问大小灯及用油各若干曰大灯一百二十盏用油十斤小灯一百八十盏用油八斤七两术因有二之一立大母二小母三【小多大二之一故作三】通斤为两【用粟布法】以十八斤七两通作二百九十五两又通两为铢每两二十四铢通作七千○八十铢先求大小每盏油数以三盏四盏为各首率以二十四铢为次率以四两三两为各三率求得大每盏用油三十二铢小每盏用油十八铢再求大小盏数以母二乗三十二得六十四以母三乗十八得五十四并得一百一十八为首率以总油七千○八十铢为次率以母二母三为各三率求得各盏数以各每盏铢数乗得大共用三千八百四十铢小共用三千二百四十铢各归整得油数 　　贵贱相和差分法 　　式甲乙物共一百斤共价八钱七分五厘甲二斤价四分乙七斤价五分问各若干曰甲一十二斤半共价二钱五分乙八十七斤半共价六钱二分五厘术立长短 　　法上中下 　　三互求之 　　以甲价四分乗乙七斤得二钱八分以甲二斤乗乙价五分得一钱相减余一钱八分为长法以乙七斤乗总价得六两一钱二分五厘以乙价五分乗总一百斤得五两相减余一两一钱二分五厘为实以长法除实得六分二厘五毫为短法以甲二斤乗短法得十二斤半为甲数以甲价四分乗短法得二钱五分为甲价减总得乙又术以甲二斤乗总价得一两七钱五分以甲价四分乗总一百斤得四两相减余二两二钱五分为实仍用前长法除之得一钱二分五厘为短法以乙七斤乗之得八十七斤半为乙数以乙价五分乗短法得六钱二分五厘为乙价减总得甲 　　通曰合率诸式凡有差皆递加之差也苟非递加则须用盈朒法矣 　　数度衍卷十七 <子部,天文算法类,算书之属,数度衍> 　　钦定四库全书 　　数度衍卷十八 　　桐城　方中通　撰 　　和较三率【差分之六】 　　和较三率差分法 　　凡数分合不离三率而互和难测则立较以测之立中率以较之而又互置较位以求之 　　式上酒每斗价二钱中酒每斗价一钱二分今杂和二酒每斗价一钱五分内各酒若干曰八分斗之三为上酒【三升七合五勺】八分斗之五为中酒【六升二合五勺】术先立三率之程立和价一钱五分为一十五列上列上中二价为二 　　十为十二于右以 　　上价二十与立十 　　五较得五列左与中价并以中价十二与立十五较得三列左与上价并此互对也乃并两较三五得八列左下以并较为首率以一斗为次率以中较为上酒之三率上较为中酒之三率 　　式二甲金一两凖银十五两乙金一两准银十二两今 　　镕为一处使金一 　　两准银十四两其 　　甲乙金各若干曰甲该三分两之二乙该三分两之一术立和金凖银于上如法较之以并较为首率一两为次率乙较为甲之三率甲较为乙之三率 　　式三玉率方寸重七两石率方寸重六两今有璞方三寸重一百七十六两问玉石各若干曰玉九十八两石 　　七十八两术 　　立重数于上 　　以璞方三寸自乗再乗得立方二十七寸以通玉石以玉率七乗二十七得一百八十九两以石率六乗二十七得一百六十二两二数列右并较为首率立方二十七寸为次率石较为玉之三率玉较为石之三率求得玉一十四以七乗得玉数求得石一十三以六乗得石数 　　式四银裹金方四寸共重九百○四两每银方寸重十 　　二两金方 　　寸重十六 　　两问各若干曰金五百四十四两银三百六十两术立共重于上以四寸自乗再乗得立方六十四寸以通金银以银十二乗立方得七百六十八以金十六乗立方得一千○二十四列如前以并较为首率立方为次率以两较互为各三率求得金三十四寸银三十寸各以方寸重乗之得各数　此与右式同 　　式五椒一斤价四钱丁香一斤价三钱桂皮一斤价六钱阿魏一斤价一两缩砂一斤价八钱今以银七钱买上五色共一斤问各色若干曰椒十三分斤之一丁十三分斤之三桂十三分斤之一魏十三分斤之四砂十三分斤之四术立七钱于上此系多位者先定互对有 　　对者寻对 　　而互列之