御制数理精蕴 - 第 139 页/共 595 页
通曰与前一式同但彼于半通数内减各分此于通数内并半数而减之两法皆可用也
式二三人共分银四十四两乙多甲一倍外又多四两丙兼甲乙之数外又多六两问各若干曰甲五两乙十四两丙二十五两术先借甲一十列左上乙倍得二十
加四共二十四丙兼
甲乙又加六共四十
并三数得七十四比
四十四盈三十列左下又借甲六列右上乙倍得十二加四共十六丙兼甲乙又加六共二十八并三数得五十比四十四盈六列右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得甲五两倍为十加四共十四两为乙数兼甲乙得十九又加六共二十五两为丙数如左图用各裒乗便求得各数也
又术通曰乙多四丙兼甲乙而多六则必兼多乙之四矣并三多为十四于总银内减之余三十为实乙多甲一倍是甲一停乙二停也丙兼甲乙是甲乙共三停丙亦三停也三人共六停为法除实得五两为甲一停之数亦合
式三以一千剖为二甲多于乙四十九两问各几何曰甲五百二十四两五钱乙四百七十五两五钱术先借
六百为甲裒
列左上乙四
百附列较差
二百比四十
九盈一百五十一列左下另借五百五十为甲裒列右上乙四百五十附列较差一百比四十九盈五十一列
右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得甲数减总得乙数又术通曰以一千剖为二得五百以四十九剖为二得二十四两五钱五百外加二十四两五钱为甲数五百内减二十四两五钱为乙数又术通曰于一千内减去四十九余九百五十一剖为二得四百七十五两五钱为乙数减总得甲
式四罏二座葢重一百五十斤以葢加甲鑪则多乙二倍以葢加乙罏则与甲等问各几何曰甲三百斤乙一百五十斤术先借三十为甲裒列左上葢附列共一百
八十又附列以
三之一为乙裒
得六十加葢共
二百一十比甲
裒盈一百八十列左下又借九十为甲裒列右上葢附列共二百四十又附列以三之一为乙裒得八十加葢共二百三十比甲裒盈一百四十列右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得甲鑪加葢得四百五十斤其三之一得一百五十斤为乙鑪
式五二人银不知数减乙六两与甲则甲多乙一倍减甲三两与乙则正等问各几何曰甲三十两乙二十四
两术从乙起算先借十
五为乙裒列左上内减
六存九以当甲之半则
甲该十八内减所加六得十二为甲裒内取三与乙则甲剰九以较乙裒十五加三之十八而乙盈九列左下另借二十为乙裒列右上内减六存十四倍得二十八为甲内减所加六得二十二为甲裒内取三与乙则甲剰十九以较乙裒二十加三之二十三而乙盈四列右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得乙二十四减六存十八倍得三十六减六得甲三十内减三与乙则与乙二十四加三正等
式六漏壶注水有三孔甲孔流水二时而尽乙孔流水三时而尽丙孔流水六时方尽若三孔俱开则几时水
尽曰一时术借四时列左
上以四时推甲当尽二壶
乙当尽一壶又三分壶之
一丙当尽三分壶之二并之四时共尽四壶比原问一壶盈三列左下另借十时列右上推甲当尽五壶乙当尽三壶又三分壶之一丙当尽一壶又三分壶之二并之十时共尽十壶比原问一壶盈九列右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得一时甲尽半壶乙尽三分壶之一丙尽六分壶之一正合一壶之数
通曰左裒推得四时尽四壶亦已明矣用合率差分法亦可
式七黄金百斤制鑪不用销毁欲知匠和银若干曰和银十六斤又三分斤之二术以三器贮水等重一投金鑪溢水六十五斤一投纯金百斤溢水六十斤一投纯
银百斤溢水九十斤如
法求之先借四十为和
银数列左上存金六十
附列以溢水裒推之存金六十斤该溢水三十六斤和银四十斤该溢水三十六斤共溢水七十二斤以比六十五斤盈七列左下另借三十为和银数存金七十附列以溢水裒推之存金七十斤该溢水四十二斤和银三十斤该溢水二十七斤共溢水六十九斤以比六十五斤盈四列右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得十六斤又三分斤之二为和银数推得溢水十五斤金只八十三斤又三分斤之一推得溢水五十斤共合投鑪溢水六十五斤之数
式八调南北西三处兵南兵四万北兵为南及西二分之一西兵为南及北三分之一问北西各几何曰北三万二千西二万四千术先借三万为北裒列左上推得南西共六万去南四万西仅二万附列西为南北三之
一则南北当为六
万今得七万是盈
一万也列左下又
借二万四千为北
裒列右上推得南
西共四万八千去
南四万西仅八千附列西为南北三之一则南北当为二万四千今得六万四千是盈四万也列右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得北兵推知西兵二万四千
式九金九锭银十一锭等重互换一锭则金轻十三两问各若干曰金一锭重三十五两七钱五分银一锭重二十
九两二钱五分金九锭共重三百二十一两七钱五分银十一锭共重正等术金轻十三两则金银较为六两五钱先借十三两为金裒列右上银该六两五钱【去较数】列次金九锭乗十三得一百一十七两银十一锭乗六五得七十一两五钱以金比银盈四十五两五钱列右下又借二十四两为金裒列左上银该十七两五钱【去较数】列次金九锭乗二十四得二百一十六两银十一锭乗十七五得一百九十二两五钱以金比银盈二十三两五钱列左下两盈减余为法上与下互乗减余为金实以法除得金一锭数次与下互乗减余为银实以法除得银
一锭数各以锭数乗得共重正等又术以较六两五钱乗金九锭得五十八两五钱为实以金九锭银十一锭相减余二为法除得银一锭数又以较乗银十一锭得七十一两五钱为实以法二除得金一锭数
通曰又术即合率差分法也
一盈一不足法
式物价九十六两三人共买甲出不知数乙于甲内少二两丙于甲乙二人外多四两问各若干曰甲二十四两乙二十二两丙五十两术先借二十为甲数列左上
乙当十八丙当四十二
并得八十较原价不足
十六列左下又借三十
为甲数列右上乙当二十八丙当六十二并得一百二十较原价盈二十四列右下盈不足并得四十为法左右上下互乗并得九百六十为实以法除得甲数推知乙丙
式二物价二千七百两三人共买甲出不知数乙倍甲丙倍甲乙问各若干曰甲三百两乙六百两丙一千八
百两术先借二百为甲
数列左上乙四百丙一
千二百并得一千八百
较原价不足九百列左下又借四百为甲数列右上乙八百丙二千四百并得三千六百较原价盈九百列右下盈不足并为法互乗并为实以法除得甲数推知乙丙又术通曰只拟甲出十两为率甲十乙二十丙六十并得九十为法以甲十两乗原价得二万七千为实以法除得甲数
式三设一数以其半为用内除三之一又除四之一尚余三百其原数几何曰一千四百四十术先借二千四
百列左上半为一千二
百内三之一去四百四
之一去三百余五百比
三百盈二百列左下又
借九十六列右上半为四十八内三之一去十六四之一去十二余二十比三百不足二百八十列右下盈不足并为法互乗并为实以法除得原数
式四甲乙不知数取乙九与甲则甲倍乙取甲九与乙则甲乙等问各若干曰甲六十三乙四十五术先借一
百为等
数乙得
甲九则
甲原是
一百○
九列左上乙为九十一列次甲若取乙九则甲得一百一十八而乙余八十二比甲之半五十九【甲系倍乙】盈二十三列左下又借五十为等数乙得甲九则甲原是五十九列右上乙为四十一列次甲若取乙九则甲得六十八而乙余三十二比甲之半三十四不足二列右下盈不足并为法上乗并为甲实次乗并为乙实以法各除得各数
式五携酒游山四处每沽増一倍俱饮六升恰尽问原携若干曰五升六合二勺五抄术先借五升四合列右上倍得一斗○八合减六升余四升八合又倍得九升六合减六升余三升六合又倍得七升二合减六升余
一升二合又倍得
二升四合减六升
不足三升六合列
右下又借六升二合列左上倍得一斗二升四合减六升余六升四合又倍得一斗二升八合减六升余六升八合又倍得一斗三升六合减六升余七升六合又倍得一斗五升二合减六升盈九升二合列左下盈不足并为法互乗并为实以法除得原携酒数四次倍减适尽
式六贷糓不知数每年加息一倍又还糓五十石至三年本息俱完问原贷若干曰四十三石七斗五升术先
借四十三列左上倍
得八十六减五十余
三十六又倍得七十
二减五十余二十二又倍得四十四比五十不足六列左下另借四十四列右上倍得八十八减五十余三十八又倍得七十六减五十余二十六又倍得五十二比五十盈二列右下盈不足并为法互乗并为实以法除得原糓
式七逐百只每三人得四只该几人曰七十五人术先借七十二列左上四乗三除得九十六不足四列左下又借九十列右上四乗三除得一百二十盈二十列
右下盈不足并为法
互乗并为实以法除
得人数又术通曰用
三累法【见九章外法】以四只为一率三人为二率百只为三率求之亦可
式八三人共数六十乙倍甲外加四丙兼甲乙外加六问各几何曰甲七又三之二乙十九又三之一丙三十
三术先借六为
甲倍之加四乙
得十六兼甲乙