御制数理精蕴 - 第 138 页/共 595 页

式二派粮八百四十石四县照田亩多寡纳之甲田三千六百三十五亩乙田二千四百六十六亩丙田三千五百七十七亩丁田四千三百二十二亩问各若干曰甲二百一十八石一斗乙一百四十七石九斗六升丙二百一十四石六斗二升丁二百五十九石三斗二升术并四县亩得一万四千为首率总粮为次率各亩为各三率 　　式三派粮二百七十四石三限催徴初限五分中限三分半末限一分半问各限若干曰初限一百三十七石中限九十五石九斗末限四十一石一斗术以五分乗总粮得初限数以三分半乗总粮得中限数以一分半乗总粮得末限数 　　通曰此非乗而积之乃乗而折之也 　　式四甲乙丙三人以田多寡均应一年差役甲田三百五十亩乙田二百八十亩丙田一百七十亩问各役几时曰甲一百五十七日半乙一百二十六日丙七十六日半术并三田共八百亩为首率以一年通作三百六十日为次率以各田为各三率 　　式五粮三千六百石三处仓上纳其每石则例东仓三斗三升四合西仓三斗三升五合南仓三斗三升一合问各仓若干曰东仓一千二百○二石四斗西仓一千二百○六石南仓一千一百九十一石六斗术此与三式同以总粮为实以各仓则例乗之得各数 　　式六众人输钞首出八文以下各加一文至出六十文止问人钞各若干曰五十三文共钱一千八百○二文术以八文并六十文得六十八为实以六十文减八文余五十二再加首次所加一文得五十三为法以法乗实得三千六百○四折半得共钱数法即人数 　　式七人一百名自第一人输银一百两以下挨减五钱问共银若干曰七千五百二十五两术以百名内减去第一人余九十九名以五钱乗得四十九两五钱于一百两内减之余五十两○五钱并第一名一百两得一百五十两○五钱以乗一百名得一万五千○五十两折半即得 　　式八自第一日输钱一文日増一倍至三十日问该若干曰十亿○七千三百七十四万一千八百二十四术置钱一文以十度八因即得一度八因乃三日倍数十度八因乃三十日倍数也又术以五度六十四乗之亦得一度六十四乃六日倍数五度六十四乃三十日倍数也又术以三度三十二乗之得数又自乗亦得三度三十二乃十五日倍数又自乗乃三十日倍数也通曰递加倍加少广详之矣本章亦应有此故及之而此式少广之术不同 　　均价法 　　式银二十二两八钱买甲乙二物均平其甲物每三斤价四钱乙物每一斤价五钱问各若干曰各三十六斤甲共价四两八钱乙共价十八两术用差分母子互乗法【三斤　四钱一斤　五钱】以三斤乗五钱得一十五以一斤乗四钱得四并得一十九为首率两母相乗得三为次率以总银为三率求出四率三十六以乙每斤价乗之得乙共价以甲三斤价四钱乗四率又以三除之得甲共价式二银三十七两八钱买米麦荳均平每石米价八钱麦价六钱荳价四钱问各若干曰各二十一石米共价十六两八钱麦共价十二两六钱岂共价八两四钱术以总银为实并三色每石价共一两八钱为法除得二十一为各石数各以每石价乗之得各共价 　　式三麦每石价九钱米每石价八钱荳每石价七钱今以价均扣算问各若干曰各该价五钱○四厘麦五斗六升米六斗三升荳七斗二升衍以麦荳价相乗七九乗得六斗三升为米数以米荳价相乗七八乗得五斗六升为麦数以麦米价相乗八九乗得七斗二升为荳数各以每石价乗之皆得五钱○四厘 　　均募法 　　式雇车载重一千二百斤行道一千里给银七两五钱今重一千五百斤道一千三百里问该银若干曰十二两一钱八分七厘五毫术置今重以今道乗之得一百九十五万又以七两五钱乗之得一千四百六十二万五千为实以原重乗原道得一百二十万为法除实得今银 　　通曰用异乗同乗之重测法【见九章外法】亦可 　　式二载重一千二百斤价七两五钱行道一千里今重一千六百斤付银六两问该行道若干曰行六百里术以今银乗原行得六千又乗原重得七百二十万为实以今重乗原价得一万二千为法除实得今行 　　式三行道一千里价七两五钱载重一千二百斤今行一千七百里去价七两六钱五分问该载重若干曰重七百二十斤术以原行乗原重得一百二十万又乗今银得九百一十八万为实以今行乗原价得一万二千七百五十为法除实得今重 　　式四负米一石一斗二升行三十步日五十次今负米一石二斗行四十步问日可几次曰三十五次术以负米一石一斗二升乗三十步得三百三十六又乗五十次得一万六千八百为实以负米一石二斗乗四十步得四百八十为法除实得次数又术以原负乗原行为三率以五十次为次率以今负乗今行为首率 　　式五兵二万三千四百人各相去五步今欲缩除十六里九十步而止各相去几何曰四步七分五厘术以五步乗兵数得十一万七千步另以十六里用里法三百六十步通之得五千七百六十步加入九十步共五千八百五十步与十一万七千步相减余十一万一千一百五十步为实以兵数为法除实得步数 　　式六人与车俱不知数凡三人共车二车空二人共车九人步行问人车各若干曰十五车三十九人术以三人乗二人得六加九人得一十五为车数以二人乗十五得三十加九人得三十九为人数 　　通曰此章本以人之多寡里之逺近物之轻重而立与【分不专以算法分也数度衍卷十九】 　　商功章皆以事 　　钦定四库全书 　　数度衍卷二十 　　桐城　方中通　撰 　　借推盈朒【盈朒之一】 　　借虚征实差分备矣更有子母杂互隐奥难知者则两借虚数以征之盈者有余也朒者不足也 　　两不足法 　　式设一数以其半为用内除三之一又除四之一尚余三百其原总若干曰一千四百四十术先借二十四为通数列左上半为十二于内去三之一为四去四之一为三余五以比三百不足二百九十五列左下又借九 　　十六为通数 　　列右上半为 　　四十八于内 　　去三之一为十六去四之一为十二余二十以比三百不足二百八十列右下乃以左上乗右下得数注右右上乗左下得数注左两不足相减余为法两乗得数相减余为实以法除实得原总一千四百四十半为七百二十于内去三之一为二百四十去四之一为一百八十余三百合问 　　式二设一数乗三外加一十又乗四外加二十又乗五外加三十又乘六外加四十共得六千七百其原数若 　　干曰十三术 　　先借二列左 　　上乗三得六 　　外加十得十 　　六又乗四得六十四外加二十得八十四又乗五得四百二十外加三十得四百五十又乗六得二千七百外加四十得二千七百四十以比六千七百不足三千九百六十列左下又借三列右上乗三得九加十得十九又乗四得七十六加二十得九十六又乗五得四百八十加三十得五百一十又乗六得三千○六十加四十得三千一百以比六千七百不足三千六百列右下左右上下互乗两不足减余为法两乗数减余为实以法除得一十三如例乗加合六千七百之数 　　式三二人分银一百两若均分则每人五十然须甲还所得三之一乙还所得五之一方得均分其不均之分各若干曰甲六十四两又七分两之二乙三十五两又七分两之五术先借三十两为甲裒列左上借乙裒七 　　十附列于甲裒内 　　减三之一为一十 　　存二十于乙裒内 　　减五之一为十四而以乙减归甲十四并二十为三十四以比五十不足十六列左下又借六十两为甲裒列右上借乙裒四十附列于甲裒内减三之一为二十存四十于乙裒内减五之一为八而以乙减归甲八并四十为四十八以比五十不足二列右下两不足减余为法两乗数减余为实以法除得甲数于一百内减甲数余乙数 　　通曰乙减归甲故与甲裒乗也若甲减归乙则与乙裒乗而先求得乙数矣 　　式四设一数以其二之一加三之一又加四之一再加二十二共得一百其数若干曰七十二术借十二列左上而以二之一曰六三之一曰四四之一曰三并得十 　　三加二十 　　二得三十 　　五以比一 　　百不足六十五列左下又借六十列右上而以二之一曰三十三之一曰二十四之一曰十五并得六十五加二十二得八十七以比一百不足十三列右下两不足减余为法两乗数减余为实以法除得七十二以其二之一曰三十六加三之一曰二十四四之一曰十八再加二十二合一百 　　式五二商母银不知数云取乙十二两与甲则乙有甲六之一取甲十五两与乙则甲有乙十之一其母各若干曰乙母十七两又五十九之二甲母十八两又五十九之十二术从乙起算先借二十为乙裒列左上内减十二余八以当甲六之一用六因求甲得四十八内减还乙十二存三十六为甲裒又于甲裒内捐十五与乙甲剩二十一乙裒二十并十五得三十五以甲剩数较乙加数是十之一否甲二十一则乙当二百一十今乙只三十五是不足一百七十五也列左下另借一百为 　　乙裒列右上 　　内减十二余 　　八十八以当 　　甲六之一用 　　六因求甲得五百二十八内减还乙十二存五百一十六为甲裒又于甲裒内捐十五与乙甲剩五百○一乙裒一百并十五得一百一十五以乙较甲是十之一否甲五百○一则乙当五千○一十今乙只一百一十五是不足四千八百九十五也列右下两不足减余为法两乗数减余为实以法除得乙母内捐十二与甲余五两又五十九之二六乘得三十两又五十九之十二内减还十二存甲母内捐十五与乙加乙母得三十二两又五十九之二甲剩三两又五十九之十二乃乙十之一也 　　式六甲乙丙三人共博甲赢乙二之一乙赢丙三之一丙又赢甲四之一各剰银七百两其各母若干曰甲母四百乙母八百丙母九百术先借一百为甲裒列左上内捐与丙四之一曰二十五存七十五而总有七百是 　　所赢乙二之一 　　为六百二十五 　　【七百内去七十五】而乙 　　裒当为一千二 　　百五十矣【两其六百】 　　【二十五】附列内捐二之一剰六百二十五又赢丙三之一共得七百是所赢丙为七十五【七百内去六百二十五】而丙裒当为二百二十五矣【三其七十五】又附列内捐与乙三之一剩一百五十加入得甲四之一曰二十五共一百七十五以比七百不足五百二十五列左下另借二百为甲裒列右上内捐与丙四之一曰五十存一百五十而总有七百是所赢乙二之一为五百五十【七百内去一百五十】而乙裒当为一千一百矣【两其五百五十】附列内捐二之一剩五百五十又赢丙三之一共得七百是所赢丙为一百五十【七百内去五百五十】而丙裒当为四百五十矣【三其一百五十】又附列内捐与乙三之一存三百加入得甲四之一曰五十共三百五十以比七百不足三百五十列右下两不足减余为法两乗数减余为实以法除得四百为甲母内减四之一存三百加乙二之一为七百是所加四百因知乙母八百也以乙母减二之一存四百加丙三之一为七百是所加三百因知丙母九百也以丙母减三之一存六百加甲四之一为七百 　　通曰不足数与乙裒乗求得乙母与丙裒乗求得丙母式七甲乙丙三商共贩得子银四百两其分数乙比甲多十二两丙比乙多十六两问各若干曰甲一百二十乙一百三十二丙一百四十八术先借一两为甲裒列左上乙该十三丙该二十九共四十三比四百不足三 　　百五十七列左下又 　　借二两为甲裒列右 　　上乙该十四丙该三 　　十共四十六比四百不足三百五十四列右下依法求得甲数加多得乙丙数 　　式八绫七尺罗九尺两共价等其每尺价罗少三十六文其各尺价若干曰绫每尺一百六十二文共一千一百三十四文罗每尺一百二十六文共与绫等术先借七十二为绫价列左上罗价当为三十六列次各以尺 　　数乗之绫得五百○四罗得三百二十四以罗视绫不足一百八十列左下又借一百为绫价列右上罗当为六十四列次各以尺数乗之绫得七百罗得五百七十六以罗视绫不足一百二十四列右下两不足减余为法以不足数乗绫裒得绫实以法除得绫每尺价乗罗裒得罗实以法除得罗每尺价各以尺数乗得各共价式九鸡同笼不知数云九十六头三百○八足问各若 　　干曰鸡三十八兔五十八术以九十六头爲主先借鸡四十八列右上该四十八【九十六内去四十八存四十八】列次鸡二足乗得九十六足免四足乗得一百九十二足并得二百八十八足比三百○八不足二十列右下又借鸡六十列左上该三十六【九十六内去六十存三十六】列次鸡为一百二十足为一百四十四足并得二百六十四比三百○八不足四十四列左下两不足减余为法以下互乗上裒减余为鸡实以法除得鸡数以下互乗次裒减余为免实以法除得数又各乗得足数合三百○八又术倍九十六头为一百九十二以减总足余一百一十六以二除得五十八为数用四足乘得二百三十二足以减总足余七十六以二除得三十八为鸡数【琇曰鸡足半共足减共头余足分共足减共头倍余为鸡】 　　两盈法 　　式设一数以其半为用内除三之一又除四之一尚余 　　三百其原总几何曰 　　一千四百四十术先 　　借四千八百为通数 　　列左上半为二千四百三之一为八百四之一为六百皆于通数内减之余一千以比三百盈七百列左下又借二千四百为通数列右上半为一千二百三之一为四百四之一为三百皆于右通数内减之余五百以比三百盈二百列右下两盈相减余为法左右上下互乗得数相减余为实以法除实得原总