御制数理精蕴 - 第 131 页/共 595 页

用命分式　术通曰实未尽者欲再开之须尾加三圏则开一商加六圏増二商他命分术无用矣 　　筹算开立方法【见筹算】 　　立方不等开法 　　通曰立方有三面三面俱等者用前法开之三面内有一靣不等及三靣俱不等者用纵方亷开之三靣者髙濶长也 　　一长濶相等髙不等法 　　式积一千二百九十六长濶数等惟髙不及三问髙与长濶各几何曰髙九长濶皆十二术列实以髙不及三自乗得九为纵方又以不及三倍作六为纵亷有二防应约初 　　商一十因有纵方只商九自乗得八十一并纵方九得九十又以所商九乗纵亷六得五十四九十者方法也五十四者亷法也相并得一百四十四列实下呼所商九除实一九除九百四九除三百六十四九除三十六实尽得髙九加不及三得十二为长濶数 　　减积式积一千七百八十七万五千髙濶相等惟长多三十六问长髙濶各几何曰长二百八十六髙濶皆二百五十术列实初商二百自乗再乗得八百万次商五十两商共二百五十自乘再乘得一千五百六十二万五千以减积余二百二十五万为实另以所商二百五十乘长多三十六得九千又乗二百五十得二百二十五万以减积实尽所商之二百五十乃髙濶数也加长多三十六得二百八十六乃长也 　　二长濶髙三不等法 　　式积一百二十濶多于髙二长又多于濶三问长濶髙各几何曰髙三濶五长八术通曰濶多于髙二髙濶较也长多于濶三长濶较也列实两较各自乘二自之得四三自之得九相并得 　　十三为纵方两较相乘得六为纵亷约商当是四因此有纵方只商三以三自乘得九并纵方十三得二十二为方法又以商三乗纵亷六得一十八为亷法二法相并得四十列实下呼商三四除一百二十实尽得髙三加二得濶五又加三得长八 　　立方带纵诸变 　　一带纵负隅开立方法 　　式实一千三百八十二万四千纵方八万六千四百二为隅法问方几何曰一百二十术列实初商一百自之得一万以隅二乗之得二万并纵得十万○六千四百为下法与初商一百相乗得一千○六十四万列实下 　　减实余实三百一十八万四千以三 　　乗隅法二万得六万为方法以三乗 　　初商得三百又以隅二乗之得六百 　　为亷次商二十乗亷得一万二千为 　　亷法以次商自之得四百以隅二乗 　　得八百为隅法乃并六万【方法】一万二千【亷法】八百【隅法】八万六千四百【纵方】共得一十五万九千二百为下法与次商二十相乗得三百一十八万四千列实下减实尽得方一百二十末防未开故知初商为百也 　　通曰下法乗商即呼商也竟列下法则呼商除实若列下法乗商之数则减实也 　　二带纵亷开立方法 　　式实二千一百六十万纵亷一百三十五问方几何曰二百四十术列实初商二百乗纵亷得二万七千初商自之得四万为隅法相并得六万七千为下法乗初商二百得一千三百四十万列下减实余实八百二十万倍纵亷乗数得五万四千三乗隅法得十二 　　万相并得一十七万四千为方法三乗初商得六百又并纵亷得七百三十五为亷次商四十乗亷得二万九千四百为亷法又以次商自之得一千六百为隅法乃并十七万四千【方法】二万九千四百【亷法】一千六百【隅法】共得二十万○五千为下法乗次商四十得八百二十万列下减实尽末防未开得方二百四十 　　三带纵减益亷开立方法 　　式实五百三十七万六千纵方一万七千六百益亷六百四十问方几何曰一百二十术列实初商一百乗益 　　亷得六万四千初商自乗得一万为 　　隅法以隅法并纵方得二万七千六 　　百以减益亷乗数余三万六千四百 　　为下法乗初商得三百六十四万列 　　下减实余实一百七十三万六千倍 　　益亷乗数得十二万八千三乗隅法得三万并纵方得四万七千六百为方法三乗初商得三百为亷法次商二十乗益亷得一万二千八百加入倍亷十二万八千得十四万○八百又以次商乗亷法三百得六千又以初商自乗得四百为隅法乃并四万七千六百【方法】六千【亷乗】四百【隅法】共得五万四千以减十四万○八百余八万六千八百为下法乗次商得一百七十三万六千列下减实尽得方一百二十 　　四纵亷减纵方翻法开立方法 　　式实一千○八万纵方二十一万三千六百纵亷一千二百问方几何曰一百二十术列实初商一百乗纵亷得十二万以减纵方余九万三千六百为方法初商自乗得一万为隅法以并方法得十万○三千六百为下法乗初商得一千○三十六万当以此数减实而实止一千○八万不足减遇此则反以一千○三十六万列上为实而以一千○八万减之余二十八万为负积倍纵亷乗数得二十四万三乗隅 　　法得三万为方法三乗初商得三百为亷法次商二十乗纵亷一千二百得二万四千并入倍亷二十四万得二十六万四千以减纵方而纵方止二十一万三千六百不足减遇此则反以二十六万四千为纵方而以二十一万三千六百减之余五万○四百为负纵又以次商乗亷法三百得六千又以次商自乗得四百为隅法乃并得三万【方法】六千【亷乗】四百【隅法】以减负纵五万○四百余一万四千为下法乗次商得二十八万减实尽得方一百二十 　　五亷减纵开立方法 　　式实一千三百○五万六千纵方一十三万二千八百纵亷三百二十问方几何曰一百二十术列实初商一百乗纵亷得三万二千以减纵方余十万○八百初商 　　自乗得一万为隅法并余纵得十一 　　万○八百为下法乗初商得一千一 　　百○八万列下减实余实一百九十 　　七万六千倍纵亷乗数得六万四千 　　三乗隅法得三万为方法三乗初商 　　得三百为亷法次商二十乗纵亷三百二十得六千四百并入倍亷六万四千共七万○四百以减纵方余六万二千四百又以次商乗亷法三百得六千又以次商自乗得四百为隅法乃并得三万【方法】六千【亷乗】四百【隅法】又并余纵六万二千四百共九万八千八百为下法乗次商得一百九十七万六千减实尽得方一百二十 　　六带纵以亷益积开立方法 　　式实二千五百八十万○四千八百纵方一十九万三 　　千九百二十纵亷四百八 　　十半为隅算问方几何曰 　　二百四十术列实初商二 　　百乗纵亷得九万六千以 　　乗初商得一千九百二十 　　万为益实加入原实共得实四千五百万○四千八百又以初商自乗得四万以隅算乗之得二万为隅法以并纵方得二十一万三千九百二十为下法乗初商得四千二百七十八万四千列下减实余实二百二十二万○八百倍纵亷乗数得十九万二千三乘隅法得六万为方法三乗初商得六百以隅算半乗之得三百为亷法次商四十乘纵亷四百八十得一万九千二百并入倍亷十九万二千得二十一万一千二百以乘次商得八百四十四万八千为益实加入余实共实一千○六十六万八千八百以次商乗亷法三百得一万二千又以次商自乗得一千六百以隅算半乗之得八百为隅法乃并六万【方法】一万二千【亷乗】八百【隅法】及纵方十九万三千九百二十共得二十六万六千七百二十为下法乘次商得一千○六十六万八千八百减实尽得方二百四十 　　七负隅减纵以亷益纵开立方法 　　式实一亿○五百八十四万纵方五十三万六千四百纵亷三千六百隅算六问方几何曰一百二十术列实初商一百乘纵亷得三十六万初商自乘得一万以隅算六乗之得六万为隅法以减纵方余四十七万六千四百并纵亷乗数得八十三万六千四百为下法乗初商得八千三百六十四万减实余实二千二百二十万倍纵亷乗数得 　　七十二万三乗隅法得十八万为方法三乗初商得三百以隅算六乗之得一千八百为亷法次商二十乗纵亷三千六百得七万二千加入倍亷七十二万得七十九万二千为纵亷以次商乗亷法一千六百得三万六千又以次商自乗得四百以隅算六乗之得二千四百为隅法乃并十八万【方法】三万六千【亷乘】二千四百【隅法】共二十一万八千四百以减纵方余三十一万八千又并纵亷七十九万二千共一百一十一万为下法乗次商得二千二百二十万减实尽得方一百二十 　　八带纵负隅以亷减纵开立方法 　　式实七千三百四十四万纵方八十四万二千四百纵亷二千四百隅算四问方几何曰一百二十术通曰列 　　实初商一百乗纵亷得二十四万减 　　纵方余六十万○二千四百初商自 　　乗得一万以隅四乘之得四万为隅 　　法并余纵共六十四万二千四百为 　　下法乗初商得六千四百二十四万 　　减实余实九百二十万倍纵亷乗数得四十八万以三乗隅法得十二万为方法三乗初商得三百以隅算四乗之得一千二百为亷法次商二十乗纵亷二千四百得四万八千并入倍亷四十八万得五十二万八千以减纵方余三十一万四千四百又以次商乗亷法一千二百得二万四千又以次商自乗得四百以隅算四乗之得一千六百为隅法乃并十二万【方法】二万四千【亷乘】一千六百【隅法】及余纵三十一万四千四百共四十六万为下法乗次商得九百二十万减实尽得方一百二十九带纵负隅以亷减纵翻法开立方法 　　式实二千○八十八万九千六百纵方二十七万○八十纵亷一千二百八十隅算四问方几何曰一百二十术通曰列实初商一百乗纵亷得十二万八千减纵方余十四万二千○八十初商自乗得一万乗隅算四得四万为隅法并余纵得十八万二千○八十为下法乗初商得一千八百二十万○八千减实余实二百六十八万一千六百倍纵亷乗数得 　　二十五万六千以三乗隅法得十二万为方法三乗初商得三百乗隅算四得一千二百为亷法次商二十乗纵亷得二万五千六百并入倍亷得二十八万一千六百以减纵方不足减反以纵方二十七万○八十减之余一万一千五百二十为负纵又以次商乗亷法一千二百得二万四千又以次商自乗得四百乗隅算四得一千六百为隅法乃并十二万【方法】二万四千【亷乗】一千六百【隅法】共十四万五千六百以减负纵余十三万四千○八十为下法乗次商得二百六十八万一千六百减实尽得方一百二十 　　十带纵方亷开立方法 　　式实一千○二十万纵方四万纵亷二百五十五问方几何曰一百二十术列实初商一百乗纵亷得二万五 　　千五百初商自乗得一万为隅法并 　　纵亷乗数得三万五千五百又并纵 　　方得七万五千五百为下法乗初商 　　得七百五十五万减实余实二百六 　　十五万倍纵亷乗数得五万一千三 　　乗隅法得三万相并得八万一千为方法三乗初商得三百并纵亷得五百五十五为亷法次商二十乗亷法得一万一千一百又以次商自乗得四百为隅法乃并八万一千【方法】一万一千一百【亷乗】四百【隅法】及纵方共十三万二千五百为下法乗次商得二百六十五万减实尽得方一百二十 　　通曰诸式皆三防因末防皆○未开故初商皆为百也开立圆【少广之十】 　　积求外周法 　　式积六万二千二百○八问立圆外周几何曰一百四十四术置积以四十八乗之得二百九十八万五千九百八十四用立方开之得方面一百四十四即立圆周也 　　积求内径法 　　式积六万二千二百○八问立圆内径几何曰四十八术置积以十六乗之得九十九万五千三百二十八以九除之得十一万○五百九十二用立方开之得方面四十八即立圆径也 　　数度衍卷十三 　　钦定四库全书 　　数度衍卷十四 　　桐城　方中通撰 　　开三乗方【少广之十一】 　　开三乗方法 　　式积二千○一十五万一千一百二十一问三乗方一面几何曰六十七术列实从末位作防隔三位一防每一防为一商也初商六十自乗得三千六百再乗得二十一万六千为隅法乗初商得一千二百九十六万减实余实七百一十九万一千一百二十一以四乗隅法得八十六万四千为方法另以初商自乗得三千六百以六乗之得二万一千六百为上亷又将初商以四乗之得二百四十为下亷次商七自乗得四十九以七乗之 　　得三百四十三为隅法另以次商乗上亷得十五万一千二百以七乗下亷得一千六百八十再以七乗之得一万一千七百六十乃并八十六万四千【方法】一十五万一千二百【丄亷乗数】一万一千七百六十【下亷乗数】三百四十三【隅法】共一百○二万七千三百○三为下法乗次商得七百一十九万一千一百二十一减实尽得方六十七又术列实平方开之四位商得一面四千四百八十九又以此数为实平方开之得一面六十七亦合 　　通曰式内所云以七乗之非次商七也与以四乗以六乗同为应用之率次商七盖偶合耳 　　通曰三乗方形虽系长立方然亦大平方也今以小平方边甲乙自乗得甲丁小平方形再乗得丙戊长方形此形内容甲丁 　　形者十也三乗得丙己大平方形此形内容甲丁形者百也丙申邉与甲丁形幂等故甲乙自乗得小平方丙甲自乗得大平方 　　三乗方带纵诸变 　　一带纵方亷开三乗法 　　式积一百○五亿七千六百○六万五千六百纵方四百七十三万○六百四十纵一亷五十一万一千九百○七纵二亷一千四百○六问方几何曰一百二十术列实初商一百以乗纵一亷得五千一百一十九万○ 　　七百初商自乗得一万以乗纵二 　　亷得一千四百○六万初商自乗 　　再乗得一百万为隅法乃并纵一 　　亷乗数纵二亷乗数隅法及纵方 　　共七千○九十八万一千三百四 　　十为下法乗初商得七十亿○九