御制数理精蕴 - 第 135 页/共 595 页

桐城　方中通　撰 　　开筑【商功之一】 　　垺实率 　　穿地四尺　为壤五尺　为坚三尺 　　通曰壤者垺土也坚者实土也 　　互求法 　　穿地求壤及坚式穿地一万尺问壤土坚土各若干曰壤土一万二千五百尺坚土七千五百尺术以五因穿地得五万尺为实以四为法除得壤土以三因穿地得三万尺为实以四为法除得坚土 　　壤地求穿及坚式壤地一万二千五百尺问穿土坚土各若干曰穿土一万尺坚土七千五百尺术以四因壤地得五万尺为实以五为法除得穿土以三因壤地得三万七千五百尺为实以五为法除得坚土 　　坚地求穿及壤式坚地七千五百尺问穿土壤土各若干曰穿土一万尺壤土一万二千五百尺术以四因坚地得三万尺为实以三为法除得穿土以五因坚地得三万七千五百尺为实以三为法除得壤土 　　开法 　　求日式开壕上广七尺下广九尺深四尺长一千八百尺每夫每日穿一百四十四尺今用夫二百名问几日可完曰二日术并上下广得十六尺折半得八尺以乘深得三十二尺又乘长得五万七千六百尺为实以二百名乗每日穿数得二万八千八百尺为法除实得日数 　　求夫式开渠上广二丈四尺下广二丈一尺深九尺长三百八十四尺每夫十二名开积六百尺问该夫几何曰一万五千五百五十二名术并两广得四十五尺折半得二十二尺五寸以乘深得二百○二尺五寸又乘长得七十七万七千六百尺又乘夫十二名得九百三十三万一千二百尺为实以六百尺为法除实得夫数求工式开河长七千五百五十尺上广五十四尺下广四十尺深十二尺每日一工开三百尺问用工几何曰一万四千一百九十四工术并两广得九十四尺折半得四十七尺以乗深得五百六十四尺又乗长得四百二十五万八千二百尺为实以三百尺为法除实得工数 　　迟速式甲乙二人开河甲每日开积四百尺乙每日开积三百五十尺甲开七十日问乙开多几日与甲同曰十日术以甲开七十日乗每日四百尺得二万八千尺为实以乙每日三百五十尺为法除实得八十日减甲七十日余十日为乙多数 　　筑法 　　筑墙式原墙上广一尺下广三尺髙一丈二尺今欲筑高九尺问上广几何曰一尺五寸术以原下广减原上广余二尺以今高九尺乗之得十八尺为实以原高为法除实得一尺五寸乃于原下广内减之余一尺五寸为今上广 　　式二原墙上广一尺下广三尺高一丈二尺今欲筑高一丈五尺问上广几何曰五寸术以原上广减原下广余二尺以原高减今高余三尺两余相乗得六尺为实以原高为法除实得五寸乃于原上广内减之余五寸为今上广 　　通曰前式今高少于原高后式今高多于原高故法不同后式可用前法而前式不可用后法也 　　式三原墙上广一尺下广四尺高一丈二尺今上广如故下广仅二尺一寸问高几何曰七尺六寸术以原下广减今下广余一尺九寸以乘原高得二十二尺八寸为实以原下广减原上广余三尺为法除实得今高式四原墙上广二尺下广六尺高二丈今已筑至上广三尺六寸问已得高几何曰一丈二尺术以今上广减原下广余二尺四寸以乗原高得四丈八尺为实以原上广减原下广余四尺为法除实得今高 　　式五原墙上广十尺下广三十尺高四十尺今欲筑至上广九尺问该增高几何曰二尺术以原上广减原下广余二十尺又减原高余二十尺为实以今上广减原上广余一尺为法除实得今高又术以今上广减原上广余一尺乗原高得四十尺为实以原上广减原下广余二十尺为法除实亦合 　　筑台求积式筑直台上广八尺长二丈下广一丈八尺长三丈高一丈八尺问积若干曰六千尺术倍上长为四丈加下长共七丈乘上广得五百六十尺倍下长为六丈加上长共八丈乗下广得一千四百四十尺并两乘数得二千尺乘高得三万六千尺为实以六为法除实得积 　　筑堤求积式筑堤东头上广八尺下广十四尺高九尺西头上广二十尺下广二十二尺高二十一尺东西长九十六尺问积若干曰二万八千八百尺术倍东高为十八尺加西高共三十九尺以东上下广并得二十二尺乘之得八百五十八尺折半得四百二十九尺倍西高为四十二尺加东高共五十一尺以西上下广并得四十二尺乗之得二千一百四十二尺折半得一千○七十一尺并两折数得一千五百尺乘长得十四万四千尺为实以五为法除实得积 　　填基式填基东六丈五尺西七丈五尺南八丈北九丈高二尺用土长濶方丈髙一尺为一方问该方若干曰一百一十九方术并东西为十四折半得七并南北为十七折半得八五两折数乗得五十九五又乗高得一百一十九为方数 　　垜捆【商功之二】 　　堆垜法 　　通曰有与少广递加之法相同者两章皆有所属故复衍于此 　　一面尖堆式一面尖堆脚濶十八问积若干曰一百七十一术用顺加求积法以十九乗十八得三百四十二折半即得说详少广 　　一面平堆式一面平堆脚七上三问积若干曰二十五术用顺加异首求积法以脚七并上三得一十为实以脚七减上三余四加一得五为法乘之得五十折半即得 　　四面尖堆式底长濶皆十二问积若干曰六百五十术置底十二以十二加一为十三乗之得一百五十六又以十二加半为十二五乗之得一千九百五十为实以三为法除实即得 　　四面平堆式底濶八长十三问积若干曰三百八十四术以长减濶余五折半得二五又加半得三并入长得十六以濶乗之得一百二十八又以濶加一作九乗之得一千一百五十二为实以三为法除实即得　四面尖堆即四面顺加四面平堆即长濶顺加说详少广又式横面下十上一正面下十二上三问积若干曰四百九十五术倍正下为二十四加正上得二十七以横下乗之得二百七十再乗横下得二千七百加入二百七十共二千九百七十为实以六为法除实即得通曰右二式前式若知正面上数可用后法后式可用前法 　　四面半堆式上长二十五濶十二下长三十濶十七中高六问积若干曰二千四百一十术倍上长得五十加下长得八十乗上濶得九百六十倍下长得六十加上长得八十五乗下濶得一千四百四十五并两乗数共二千四百○五以下长减上长余五并之得二千四百一十乘高得一万四千四百六十为实以六为法除实即得 　　圆底尖堆式底外周十五问积若干曰六十九术通曰用少广超三递加法首三尾十五得积外加一得四十六又首三尾九得积外加一得十九相并得六十九又加四共六十九为积 　　通曰凡圆堆每层外周自顶一起第二层是三第三层加三为六从此每层加三故用超三也每次以三为首故每外加顶一也底外周十五用圆包加六率推之内周减六必九故初曰首三尾十五次曰首三尾九也内周九内又减六余三为底中心三上必有一顶故又加四也盖底周至九者必加四至十二者必加十一为率也 　　三角尖堆式底面七问积若干曰八十四术以底七加一为八乗底七得五十六又以底七加二得九乗之得五百○四为实以六为法除实即得 　　三角半堆式每面上濶五底濶十二问积若干曰三百四十四术以底濶求出全积得三百六十四另以上尖虚底四求出虚积二十相减余为实积又术上濶自乗得二十五底濶自乗得一百四十四两濶相乗得六十倍下濶加上濶得二十九并四数共二百五十八为实以下濶减上濶余七加一得高八为法除实得二千○六十四又以六除之亦合 　　砖堆式长三丈高九尺入深四尺每块长一尺濶五寸厚二寸问该砖若干曰一万○八百块术以长为实以每块厚为法除得一百五十块以高为实以每块濶为法除得十八块两除得数相乗得二千七百块又以入深乗之即得 　　量捆法 　　木每根大率作长一丈五尺濶五寸以立法至其实数随时求之可耳 　　一封书式捆深七尺五寸濶四丈七尺长九丈问该木若干曰一万四千八百○五根术倍深得十五根倍濶得九十四根相乗得一千四百一十根为实以长率一丈五尺除长得六根为法乗实得八千四百六十根又以深七尺五寸首加一作一七五乗之即得 　　通曰濶率五寸每尺作二根故深濶皆用倍法 　　方捆式捆深七尺濶五丈长六丈问该木若干曰八千四百根术倍深作十四根倍濶作一百根相乗得一千四百根为实以长率一丈五尺除长得四根为法乗实得五千六百根又以濶五丈首加一作一五乗之即得荒排式排深二丈一尺濶四丈四尺长六丈问该木若干曰八千三百七十七根六分术以三除深得七尺倍作十四根倍濶作八十八根相乗得一千二百三十二根为实以长率一丈五尺除长得四根为法乗实得四千九百二十八根又以三除深得七尺首加一作一七乘之即得 　　通曰相乗固有应得之数而有以虚乗者其数却非应得之数不过借以相求耳如一十七尺五寸乗八千四百六十根应得十四万八千○五十根而今止得一万四千八百○五根者是也首不加一用定身法【见珠算】乗之亦可 　　数度衍巻十六 　　钦定四库全书 　　数度衍卷十七 　　桐城　方中通　撰 　　两分差【差分之一】 　　通曰差分章多用三率法即异乗同除也见九章外法 　　四六差分法 　　四之与六加五而已以五乗四得二并四即六以五乗六得三并六即九或以六乗四除四亦得六六亦得九皆求裒法耳既得各裒始用三率法 　　戊裒四　　　　　丁裒六　　　　　丙裒九乙裒十三裒五分　甲裒二十裒二分五厘 　　右五位裒也如六位则以已为首而甲裒更增矣若止四位则以丁为首也后仿此 　　二等户式派粮三百八十五石五斗二升甲乙二等户甲六分乙四分办纳甲二十六户乙四十户问各一户各共户若干曰甲一户纳七石三斗二升共纳一百九十石○三斗二升乙一户纳四石八斗八升共纳一百九十五石二斗术甲裒六乙裒四以六乗甲户得一百五十六以四乗乙户得一百六十并得三百一十六为首率以总粮为次率以甲裒六乙裒四为各三率以甲三率六乗次率以首率除得甲一户之数以甲户乗得共数以乙三率四乗次率以首率除得乙一户之数以乙户乗得共数 　　四等户式徴银一千七百一十六两甲乙丙丁四等户甲六分乙四分乙六分丙四分丙六分丁四分办纳问各若干曰甲七百一十二两八钱乙四百七十五两二钱丙三百一十六两八钱丁二百一十一两二钱术丁裒四丙裒六乙裒九甲裒十三裒五分并得三十二裒五分为首率以总银为次率以各裒为各三率 　　三七差分法 　　二位者甲七乙三三位者以三为首三因得九为丙裒九用七乗三除得二十一为乙裒二十一用七乗三除得四十九为甲裒四位者以三为首三因得九又三因得二十七为丁裒五位者以三为首三因得九又三因得二十七又三因得八十一为戊裒俱用七乗三除得各裒 　　【二位】乙裒三　甲裒七 　　【三位】丙裒九　乙裒二十七　甲裒四十九 　　【四位】丁裒二十七　丙裒六十三　乙裒一百四十七甲裒三百四十三 　　【五位】戊裒八十一　丁裒一百八十九　丙裒四百四十一　乙裒一千○二十九　甲裒二千四百○一 　　三等戸式派粮二百六十一石甲乙丙三等户甲七分乙三分乙七分丙三分办纳甲二十一户乙三十二户丙四十三户问各一户各共戸若干曰甲一户六石一斗二升五合共一百二十八石六斗二升五合乙一户二石六斗二升五合共八十四石丙一户一石一斗二升五合共四十八石三斗七升五合术甲裒四十九乙裒二十一丙裒九以甲裒乗甲户得一千○二十九乙裒乗乙户得六百七十二丙裒乗丙户得三百八十七相并得二千○八十八为首率总粮为次率各裒为各一户之三率 　　五等户式徴银八百二十八两二钱甲乙丙丁戊五等戸甲七分乙三分乙七分丙三分丙七分丁三分丁七分戊三分办纳问各若干曰甲四百八十两○二钱乙二百○五两八钱丙八十八两二钱丁三十七两八钱戊十六两二钱术戊裒八十一丁裒一百八十九丙裒四百四十一乙裒一千○二十九甲裒二千四百○一相并得四千一百四十一为首率总银为次率各裒为各三率 　　二八差分法 　　二八裒惟用四乗二位者甲八乙二皆以二为首也三位者丙二四乗二得八为乙裒四乗八得三十二为甲裒 　　戊裒二　　　丁裒八　　　丙裒三十二 　　乙裒一百二十八　甲裒五百一十二 　　四等户式派银二千六百三十五两甲乙丙丁四等户甲八分乙二分乙八分丙二分丙八分丁二分办纳问各若干曰甲一千九百八十四两乙四百九十六两丙一百二十四两丁三十一两术丁裒二丙裒八乙裒三十二甲裒一百二十八并得一百七十为首率总银为次率各裒为各三率 　　五等户式徴粮二千六百五十五石九斗甲乙丙丁戊五等户甲八分乙二分乙八分丙二分丙八分丁二分丁八分戊二分办纳甲三十户乙四十户丙五十户丁六十户戊七十户问各一户各共户若干曰甲一户五十九石九斗○四合共一千七百九十七石一斗二升乙一戸十四石九斗七升六合共五百九十九石○四升丙一户三石七斗四升四合共一百八十七石二斗丁一户九斗三升六合共五十六石一斗六升戊一户二斗三升四合共十六石三斗八升术甲裒五百一十二乗甲户得一万五千三百六十乙裒一百二十八乗乙户得五千一百二十丙裒三十二乗丙户得一千六百丁裒八乗丁户得四百八十戊裒二乗戊戸得一百四十相并得二万七千二百为首率总粮为次率各裒为各一戸之三率 　　递分差【差分之二】 　　递减差分法 　　二位者甲裒二乙裒一三位者甲裒三乙裒二丙裒一之类 　　四位式银九十二两甲乙丙丁四人递减分之问各若干曰甲三十六两八钱乙二十七两六钱丙十八两四钱丁九两二钱术甲裒四乙裒三丙裒二丁裒一并得一十为首率总银为次率各裒为各三率 　　五位式金八十一两造杯一套五个问各重若干曰甲二十七两乙二十一两六钱丙十六两二钱丁十两○八钱戊五两四钱术甲裒五乙裒四丙裒三丁裒二戊裒一并得一十五为首率总金为次率各裒为各三率又式派粮一千一百三十四石甲乙丙丁戊五等户递减办纳甲二十四户乙三十三户丙四十二户丁五十一户戊六十户问各一户各共户若干曰甲一户十石○五斗共二百五十二石乙一户八石四斗共二百七十七石二斗丙一户六石三斗共二百六十四石六斗丁一户四石二斗共二百一十四石二斗戊一户二石一斗共一百二十六石术甲裒五乗甲户得一百二十乙裒四乗乙户得一百三十二丙裒三乗丙户得一百二十六丁裒二乗丁户得一百○二戊裒一乗戊户得六十并得五百四十为首率总粮为次率各裒为各一户之三率 　　隔位递减差分法 　　以六减者甲裒一百乙裒六十丙裒三十六以七减者甲裒一百乙裒七十丙裒四十九之类 　　用六减式派绢四百七十丈○一尺八寸四分甲乙丙三等户以一十分之六递减办纳甲二十五户乙三十户丙四十八户问各一户各共户若干曰甲一户七丈八尺共一百九十五丈乙一户四丈六尺八寸共一百四十丈○四寸丙一户二丈八尺○八分共一百三十四丈七尺八寸四分术甲裒一百乗甲户得二千五百乙裒六十乗乙户得一千八百丙裒三十六乗丙户得一千七百二十八并得六千○二十八为首率总绢为次率各裒为各一户之三率 　　用七减式派粮一百六十八石四斗八升八合甲乙丙丁四等户以一十分之七递减办纳甲二十二户乙三十六户丙四十二户丁四十八户问各一户各共户若干曰甲一户二石共四十四石乙一户一石四斗共五十石○四斗丙一户九斗八升共四十一石一斗六升丁一户六斗八升六合共三十二石九斗二升八合术甲裒一千乗甲户得二万二千乙裒七百乗乙户得二万五千二百丙裒四百九十乗丙户得二万○五百八十丁裒三百四十三乗丁户得一万六千四百六十四并得八万四千二百四十四为首率总粮为次率各裒为各一户之三率 　　互和减半差分法 　　三位者曰三曰五曰七并一十五为裒四位者曰二曰四曰六曰八并二十为裒五位者曰一曰三曰五曰七曰九并二十五为裒奇用奇偶用偶也 　　三位式粮一百八十石给甲乙丙三人云甲多丙三十六石令互和减半分之问各若干曰甲七十八石乙六十石丙四十二石术以粮数为实以三位并裒一五【一十五作一五】为法除实得一百二十乃甲丙二人首尾和数内减甲多三十六余八十四折半得丙数加甲多三十六得甲数和甲丙二数得一百二十折半得乙数 　　通曰此递减十八也后式皆系递减 　　四位式银二百四十两分甲乙丙丁四人云甲多丁十八两今互和减半分之问各若干曰甲六十九两乙六十三两丙五十七两丁五十一两术以银数为实以四位并裒二【二十作二】为法除实得一百二十乃甲丁二人和数内减甲多十八余一百○二折半得丁数加甲多十八得甲数乙丙二人不可并折乃以甲多十八用三除之得六加入丁数得丙数又加六得乙数 　　通曰以首尾较数三位用二除四位用三除五位用四除得各位较数也并较减实余均分加各较亦合如前三位式总实一百八十甲丙较三十六用二除得十八为乙丙较并得五十四减实余一百二十六三位均分各得四十二甲加较三十六得七十八乙加较十八得六十丙即得均分数 　　五位式钞二百三十八贯分甲乙丙丁戊五人云戊不及甲三十三贯六百文令互和减半分之问各若干曰甲六十四贯四百文乙五十六贯丙四十七贯六百文丁三十九贯二百文戊三十贯八百文术以钞数为实以五位并裒二贯五百文【即二十五】为法除实得九十五贯二百文乃甲戊二人和数内减戊不及三十三贯六百文余六十一贯六百文折半得戊数加戊不及数得甲数互和甲戊二数得九十五贯二百文折半得丙数又和甲丙二数得一百一十二贯折半得乙数又和丙戊二数得七十八贯四百文折半得丁数 　　倍分差【差分之三】 　　倍减差分法 　　二位者甲裒二乙裒一三位者甲裒四乙裒二丙裒一之类 　　三位式银一万八千○八十八两甲乙丙三人倍减分之问各若干曰甲一万○三百三十六两乙五千一百六十八两丙二千五百八十四两术甲裒四乙裒二丙裒一并得七为首率总银为次率各裒为各三率通曰以银为实以并裒除得丙数倍得乙数再倍得甲数亦可 　　五位式派银一千一百○七两甲乙丙丁戊五等户倍减上纳甲十六戸乙二十五戸丙三十一戸丁四十八戸戊六十二戸问各一户各共户若干曰甲一户二十四两共三百八十四两乙一户十二两共三百两丙一戸六两共一百八十六两丁一户三两共一百四十四两戊一戸一两五钱共九十三两术甲裒十六乗甲户得二百五十六乙裒八乗乙户得二百丙裒四乘丙户得一百二十四丁裒二乗丁户得九十六戊裒一乗戊戸得六十二并得七百三十八为首率总银为次率各裒为各一户之三率 　　通曰两分递分倍分诸式凡有户数者以各一户数乗各戸得各共数然矣若以各裒乗各户之数为三率则先得各戸共数也以各戸除之得各一户数 　　子母差【差分之四】 　　求分子法 　　共子各母求各子式四商共贩得子银六千两甲母六十乙母一百丙母一百二十丁母二百问各分子银若干曰甲七百五十两乙一千二百五十两丙一千五百两丁二千五百两术四母相并得四百八十两为首率共子为次率各母为各三率 　　共子各母各时求各子式三商共子银一千两母银多寡既不一而先后之时又不一甲母二百两满八个月乙母四百五十两满六个月丙母五百两满十个月问各分子银若干曰甲一百七十二两又九十三分两之四乙二百九十两又九十三分两之三十丙五百三十七两又九十三分两之五十九术先以各母乗各月甲母乗八得一千六百乙母乗六得二千七百丙母乗一十得五千并得九千三百两为首率共子为次率各母乗各月之数为各三率 　　又式三商母银各等一年内共得子银一千两甲母阅七月乙母阅六月丙母满十二月问各分子银若干曰甲二百八十两乙二百四十两丙四百八十两术并各月得二十五为首率总子为次率各月为各三率共时共子各母各时加减求各子式四商居积二年得利一万两甲原母三千两至满八月取出一千两至满十九月又加一千二百两乙原母二千四百两至满六月取出八百两至满十五月又加一千四百两丙原母二千两满七月悉收回至满十七月别出母一千六百两丁初不出母六月后方出母一千八百两又过四月取出九百两至满十六月又加一千五百两问各分子银若干曰甲三千五百四十六两又一千七百四十八分两之一千五百九十二乙三千一百九十二两又一千七百四十八分两之三百八十四丙一千四百四十一两又一千七百四十八分两之一千一百三十二丁一千八百一十九两又一千七百四十八分两之三百八十八术以四母各乗其月甲作三段乗以原母三千乗八月得二万四千八月之后取去一千存母二千至十九月满计十一月以十一乗二千得二万二千十九月之后又加一千二百共母三千二百至二年满计五月以五乗三千二百得一万六千并三段乗数得六万二千为甲通乙作三段乗以原母二千四百乗六月得一万四千四百六月之后取去八百存母一千六百至十五月满计九月以九乗一千六百得一万四千四百十五月之后又加一千四百共母三千至二年满计九月以九乗三千得二万七千并三段乗数得五万五千八百为乙通丙作二段乗以原母二千乗七月得一万四千自满十七月以后别出母一千六百至二年满计七月以七乗一千六百得一万一千二百并二段乗数得二万五千二百为丙通丁作三段乗自六月以后出母一千八百满四月以四乗一千八百得七千二百此后取去九百存母九百至十六月满计六月以六乗九百得五千四百此后又加一千五百共母二千四百至二年满计八月以八乗二千四百得一万九千二百并三段乗数得三万一千八百为丁通再并四通数得十七万四千八百为首率总利为次率各通数为各三率 　　求原母法