御制数理精蕴 - 第 140 页/共 595 页

加六丙得二十八并得五十俱列左比六十不足一十列左下又借八为甲乙得二十丙得三十四并得六十二俱列右比六十盈二列右下盈不足并为法甲互乗并为实以法除得甲数推得乙丙 　　式九以三十数剖为二甲加六十乙加二十而甲为乙三倍其剖分各几何曰甲二十二又二之一乙七又二 　　之一术先借二十为甲 　　列左上乙一十附列甲 　　加六十得八十乙加二 　　十得三十以甲比乙乙三十甲当九十今止八十是不足一十也列左下又借二十四为甲列右上乙六附列甲加得八十四乙加得二十六以甲比乙乙二十六甲当七十八今却八十四是盈六也列右下盈不足并为法互乗并为实以法除得甲数三之一得乙又术通曰以三十剖为四分每分得七五甲得三分共二十二五乙得一分即七五 　　式十二人分银百两须甲捐三之一乙捐四之一平分捐数方各得五十两其未均数各几何曰甲五十二两又十七分两之十六乙四十七两又十七分两之一术 　　先借六十为甲列左 　　上乙四十附列减甲 　　三之一为二十存四 　　十减乙四之一为一十存三十和两减之三十均得十五以甲得十五合减存四十得五十五比五十盈五列左下又借二十四为甲列右上乙七十六附列减甲三之一为八存十六减乙四之一为十九存五十七和两减之二十七均得十三五以甲得十三五合减存十六得二十九五比五十不足二十○五列右下并盈不足为法并互乗为实以法除得甲数减总得乙 　　式十一二鑪一葢重百两葢加甲鑪则三倍于乙葢加乙鑪则二倍于甲问各若干曰甲鑪八十两乙鑪六十 　　两术先借五十为甲列左 　　上加葢共一百五十附列 　　以三之一为乙五十加葢 　　得一百五十甲是五十乙 　　加葢只该一百今盈五十列左下又借一百一十为甲列右上加葢共二百一十附列以三之一为乙七十加葢得一百七十甲是一百一十乙加葢当二百二十今不足五十列右下并盈不足为法并互乗为实以法除得甲数推得乙 　　式十二甲匠做工三十日完加乙匠则十八日完若独用乙匠须几日曰四十五日术须知甲之十八日乃三 　　十日内五分之三 　　则知乙十八日为 　　五分之二先借四 　　十为乙列左上以十八日完五之二推之四十日当完九之八不足九之一列左下又借六十为乙列右上以十八日完五之二推之六十日当全完又盈九之三列右下并盈不足为法并互乗为实以法除得乙日【用奇零法见前】又术通曰既知十八日为乙五分之二则以十八折半得九用五乗之亦得乙日 　　式十三牛羊共百牵总价一百六十八两每牛三头银十二两羊四羫银一两五钱问各若干曰牛三十六价 　　一百四十 　　四两羊六 　　十四价二 　　十四两术 　　先以三归 　　十二得牛一头价四两以四归一两五钱得羊一羫价三钱七分五厘而皆化为厘算之乃借六十为牛列左上羊四十列次以乗各价牛乘四千厘得二十四万羊乘三百七十五厘得一万五千并得二十五万五千厘比总价盈八千七百厘列左下又借三十为牛列右上羊七十列次以乗各价牛得十二万羊得二万六千二百五十并得十四万六千二百五十厘比总价不足二千一百七十五厘列右下并盈不足为法并上互乗为牛实次互乗为羊实以法除得各数 　　通曰盈本八万七千不足本二万一千七百五十今降一位列下也再降亦可葢升则法实俱升降则法实俱降也 　　叠求法 　　式甲乙丙三数甲加七十三则为乙丙数者二乙加七十三则为甲丙数者三丙加七十三则为甲乙数者四问各几何曰甲七乙十七丙二十三术此因有三之二及四之三当借奇数求甲而又因乙丙之加牵连难析则叠用前法以征之且如借一【奇数】为甲裒加七十三得七十四当为兼乙丙而倍之之数因折半三十七为乙丙数而乙数另须借推第一图先借二为乙列左上乙 　　丙数三 　　十七内 　　减二余 　　丙三十 　　五列次乃以二加七十三得七十五以较甲丙合数三十六【甲一丙三十五】三其合数该一百○八今只七十五是不足三十三也列左下又借五为乙列右上乙丙数三十七内减五余丙三十二列次乃以五加七十三得七十八以较甲丙合数三十三【甲一丙三十二】三其合数该九十九今只七十八是不足二十一也列右下两不足减余为法两互乗减余为实以法除得一十又四之一为乙裒另列初借甲裒一列后第三图左上乙裒列次乙丙共三十七内减乙得丙二十六又四之三列次再借三【奇数】为甲裒加七十三得七十六当为兼乙丙而倍之之数因折半三十八为乙丙数而乙数另须借推第二图先借二为乙列左上乙丙数三十八内减二余丙三十六七十四为兼乙丙而倍之之数【乙丙共三十七】乙裒一十又四之一加七十三得八十三又四之一当为兼甲丙共数者三今甲丙共二十七又四之三三其甲丙共数合八十三又四之一无差丙裒二十六又四之三加七十三得九十九又四之三当为兼甲乙共数者四今甲乙共一十一又四之一四其甲乙共数只该四十五今却九十九又四之三是盈五十四又四之三也列左下右上甲裒三加七十三得七十六为兼乙丙而倍之之数【乙丙共三十八】乙裒一十二又二之一加七十三得八十五又二之一当为兼甲丙共数者三今甲丙共二十八又二之一三其甲丙共数合八十五又二之一无差丙裒二十五又二之一加七十三得九十八又二之一当为兼甲乙共数者四今甲乙共一十五又二之一四其甲乙共数只该六十二今却九十八又二之一是盈三十六又二之一也列右下两盈减余为法甲乗减余为甲实乙乗减余为乙实丙乗减余为丙实以法除得各数甲七加七十三得八十为兼乙丙共数四十者二乙十七加七十三得九十为兼甲丙共数三十者三丙二十三加七十三得九十六为兼甲乙共数二十四者四合问通曰本章诸式多与差分同两法皆可求者则同也原带盈朒【盈朒之二】 　　一盈一不足法 　　式买物每人出五两盈六两每人出三两不足四两人数物价各若干曰五人物价十九两术左列五之六【即五 　　两盈六两】右列三之 　　四【即三两不足四两】两 　　子并为人实母 　　子互乗并为物实两母减余为法以法除人实得人数以法除物实得物价再以五人乗五减六或以五人乗三加四皆同物价若用借裒先借四人列左上乗五得 　　二十减六存十四又以四 　　乗三得十二加四得十六 　　两数相较不足二列左下 　　另借七人列右上乗五得三十五减六存二十九又以七乗三得二十一加四得二十五两数相较盈四列右下并盈不足为法并互乗为实以法除得五人 　　式二分糓每人五石盈三十石每人六石不足四十石人糓各若干曰七十人糓三百八十石术五之三十列左六之四十列右两子并为人实母子互乗并为糓实两母减余为法除人实得人数除糓实得糓数再以人 　　数乘五石加 　　盈三十或以 　　人数乗六石 　　减不足四十皆同糓数前式系出率故减盈増不足此式系入率故増盈减不足也若用借裒先借三十人列左上乗五得一百五十加三十共一百八十又以三十 　　乗六得一百八十减四 　　十存一百四十两数相 　　较盈四十列左下另借 　　一百人列右上乗五得五百加三十共五百三十又以一百乗六得六百减四十存五百六十两数相较不足三十列右下盈不足并为法互乗并为实以法除得人数 　　式三新绢作帐折六幅长旧六寸折七幅短旧四寸新绢旧帐幅各几何曰绢长四丈二尺旧帐幅长六尺四寸术先以幅数乗盈不足以六列左上乗盈六寸得三 　　尺六寸列下以 　　七列右上乗不 　　足四寸得二尺 　　八寸列下两子并为旧实母子互乗并为新实两母减余为法得旧帐幅长除新实得绢长 　　式四田一坵截半另佃截长六步不足七步截长八步盈九步所截步及原濶步各若干曰截积之步五十五原濶步八术左列六之七右列八之九并子为濶实并 　　母子互乗为截 　　实两母减余为 　　法各以法除得 　　数 　　两盈法 　　式买物每人出三两五钱盈六两每人出三两三钱盈二两八钱人数物价各若干曰十六人物价五十两术两出率左右列两盈各列其下两子减余为人实母子 　　互乗减余为物 　　实两母减余为 　　法各以法除得 　　数 　　式二井不知深将绳折作三股入井汲水余绳四尺折 　　作四股入井汲 　　水余绳一尺井 　　深绳长各几何 　　曰井深八尺绳长三丈六尺术左三股右四股列上以三乗四尺得十二为左子以四乗一尺得四为右子俱列下两子减余为井实母子互乗减余为绳实两母减余为法各以法除得数 　　两不足法 　　式买物每人出银五两不足四两每人出银五两四钱不足二两人数物价各若干曰五人物价二十九两术 　　左列五十之 　　四十【升两为十】右 　　列五十四之 　　二十两子减余为人实母子互乗减余为物实两母减余为法各以法除得数 　　一适足一盈法 　　式买物每人出二两五钱盈六两每人出二两三钱适足人数物价各若干曰三十人物价六十九两术以二 　　十五列左上盈六十列 　　下以二十三列右上无 　　下数即以盈数为人实 　　左子乗右母为物实两母减余为法各以法除得数或不乗物实以人数乗适足之母亦得物价 　　式二以米换布换九疋适足换七疋米多四斗米数布 　　价各若干曰共米一石八斗每疋 　　值米二斗术左列九适足右列七 　　盈四以盈数为米实两母减余为 　　法除得二斗为每疋换米数乃以适足之母九乗之得共米 　　一适足一不足法 　　式买物每人出七两不足十四两每人出九两适足人数物价各若干曰七人物价六十三两术左列七不足 　　十四右列九适足 　　以不足为人实左 　　子乗右母为物实 　　两母减余为法各以法除得数或以人数乗适足之母亦得物价