御制数理精蕴 - 第 133 页/共 595 页

再乘方式【即立方】术实二十三万八千三百二十八寻原母六自乘再乘得二一六除实余二万二千三百二十 　　八以六为方法求亷法用二率曰三 　　十曰三百自下而上叠位以方六对 　　三○以方六自乘得三六对三○○ 　　各列于左初乗以三六乗三○○得 　　一万○八百以视余实约得二之一乃立二为亷以对三○○复以亷二自乗得四又以二四相乗得八为隅皆列右以亷二乗一万○八百得二万一千六百再乗以六乗三○得一百八十又以四乗之得七百二十并初乗数及隅八共二万二千三百二十八减实尽商得六十二也 　　又式　术若初商方法只系一数者通率无乗须并诸率除之如实一千三百三十一初商以一为方法除浄首实一千次并中位两通率一除可净即以一为亷法对通率三百亷 　　自乗仍得一对通率三十再乗仍得一为隅附列共并得三百三十一【两率一隅】除实尽商得一十一也 　　通曰凡以一为方法者皆可以诸位通率并之以求也三乘方式　术实一千四百七十七万六千三百三十 　　六寻原母六自乗再乗三乗得一 　　二九六除实余一百八十一万六 　　千三百三十六以六为方法求亷 　　用通率三位曰四十曰六百曰四 　　千方六自乗得三六再乗得二一 　　六自下而上对列初乗以二百一十六乗四千得八十六万四千较余实约二之一以二为亷自乗得四再乗得八三乗得十六自上而下对列乃以二乗八十六万四千得一百七十二万八千再乘以三十六乗六百得二万一千六百以四乗得八万六千四百三乗以六乗四十得二百四十以八乗得一千九百二十乃并三数及隅十六共合余实商得六十二 　　四乗方式　术实九亿一千六百一十三万二千八百三十二寻原母六自乗至四乗得七七七六除实余一亿三千八百五十三万二千八百三十二求亷用四位通率曰五十曰一千曰一万曰五万以方法六自乗得三十六再乗得二百一十六三乗得一千二百九十六自下而上对列初乘以一千二百九十六乗五万得六 　　千四百八十万以较余实约得 　　二之一以二为亷自乗得四再 　　乗得八三乗得十六自上而下 　　对列又四乗得三十二为隅乃 　　以二乗六千四百八十万得一 　　亿二千九百六十万次乗二百 　　一十六乗一万得二百一十六万以四乗得八百六十四万三乘三十六乗一千得三万六千以八乗得二十八万八千四乗六乘五十得三百以十六乗得四千八百乃并四次乘数及隅共合余实商六十二 　　五乗方式　术实五百六十八亿○二十三万五千五 　　百八十四寻原母六以其五 　　乗数除实余一百○一亿四 　　千四百二十三万五千五百 　　八十四求亷用五位通率曰 　　六十曰一千五百曰二万曰 　　一十五万曰六十万以方六 　　自乗再乗三乘四乘自下而 　　上对列初乘左首位乘中首位得四十六亿六千五百六十万以较余实约得二之一以二为亷自乗再乗三乗四乗自上而下对列又五乗得六十四为隅乃以右首位乗所得较数得九十三亿三千一百二十万次乗左次位乗中次位又以右次位乗之得七亿七千七百六十万三乗左三位乗中三位又以右三位乗之得三千四百五十六万四乗左四位乗中四位又以右四位乗之得八十六万四千五乗左末位乗中末位又以右末位乗之得一万一千五百二十并五次乗数及隅共合余实商得六十二 　　六乗方式　术实三万五千二百一十六亿一千四百六十万六千二百○八寻原母六以其六乗数除实余七千二百二十二亿五千四百六十万○六千二百○八求亷用六位通率曰七十曰二千一百曰三万五千曰三十五万曰二百一十万曰七百万以方六自乗再乗三乗四乗五乗自下而上对列初乗左首位乘中首位得三千二百六十五亿九千二百万以较余实约得二之一以二为廉自乘再乘三乘四乘五乗自上而下对列又 　　六乗得一百二十八为隅 　　乃以右首位乗所得较数 　　得六千五百三十一亿八 　　千四百万次乗左次位乗 　　中次位又乗右次位得六 　　百五十三亿一千八百四 　　十万三乗左三位乗中三 　　位又乗右三位得三十六 　　亿二千八百八十万四乘左四位乗中四位又乗右四位得一亿二千○九十六万五乗左五位乗中五位又乗右五位得二百四十一万九千二百六乘左六位乗中六位又乗右六位得二十六万八千八百并六次乗数及隅共合余实商得六十二 　　七乗方式　术实四兆五千九百四十九万七千二百九十八亿六千三百五十七万二千一百六十一寻原母一除实一兆余实求亷用七位通率曰八十曰二千八百曰五万六千曰七十万曰五百六十万曰二千八百万曰八千万方法一数无乗当并通率诸位以较余 　　实而惟首次两数同为 　　大数其余小数不足为 　　多寡且从省只并首次 　　两率开之并得一亿○ 　　八百万以较余实约可 　　用三然自乗之九乗中 　　次位其数浮当减用二 　　为亷自乗再乗三乗四 　　乗五乗六乗自上而下 　　对列又七乗得二百五十六为隅初乗右首位乗中首位得一亿六千万次乗右二位乗中二位得一亿一千二百万三乗右三位乗中三位得四千四百八十万四乘右四位乗中四位得一千一百二十万五乘右五位乗中五位得一百七十九万二千六乘右六位乗中六位得一十七万九千二百七乗右七位乗中末位得一万○三百六十八乃并七次乗数及隅共三亿二千九百九十八万一千六百九十六以除余实尚余实二千九百五十一万五千六百○二亿六千三百五十七万 　　二千一百六十一【乗得三亿从三兆除 　　起】再商自首至尾以一叚开 　　之乃并亷入方共一十二自 　　乗再乗三乗四乗五乗六乗 　　自下而上对列于左初乗左 　　首位乗中首位得二千八百 　　六十六万五千四百四十六 　　亿四千万以较余实只可用 　　一以一为亷无乗隅亦是一 　　次乘左次位乗中次位得八十三万六千○七十五亿五千二百万三乗左三位乗中三位得一万三千九百三十四亿五千九百二十万四乗左四位乗中四位得一百四十五亿一千五百二十万五乘左五位乗中五位得九千六百七十六万八千六乘左六位乗中六位得四十万○三千二百七乗左末位乗中末位得九百六十乃并七次乗数及隅共合余实商得一百二十一寻原之法平方可求立方之原兼平方立方可求多乗之原若三乗方者以平方开之得数又平方开之即得原矣五乗方者以平方开之得数又立方开之或先开立而后开平即得原矣六乗方者作四乗方开二次即得其原七乗方者作平方开三次即得其原八乗方者作立方开二次即得其原九乗方者先开平而后开四乗或先开四乗而后开平即得其原若十乗方者作四乗方开三次即得其原矣 　　竒零诸乗开方法 　　式　术凡开方诸法以寻原为第一义即竒零中有母数子数俱有原可用者如平方九之四则以三之二为原以三自乗得九以二自乗得四也如再乗立方【七二】之八亦以三之二为原以三自乗再乗得二十七以二自乗再乗得八也又如三乗方所得【一八】之【六一】亦以三之二为原以三自乗再乗三乗得八十一以二自乗再乗三乗得一十六也有二数并列子母不同而亦有原数可用者如四之二与九之八并列依对乗法两母乗得三十六两子乗得一十六是为【六三】之【六一】其平方之原为九之四以四九三十六四四一十六可用四为纽数者也有以全数带竒零而亦有原可寻者如有全数二又【七二】之【○一】依化法化得【七二】之【四六】寻其立方之原为三之四以三再乗为二十七四再乗为六十四归整得一又三之一也凡有原可寻则可开无原可寻则不可开必命分之母与得分之子各有原则可开若一有原一无原则不可开也寻原之术数之多者约之以至于寡如【五四】之【○二】约之为九之四其开平方之原即是三之二也如【一八】之【四二】约之为【七二】之八其开立方之原即是三之二也他一有原一无原者如九之六九有原六无原又如【○二】之【一二】则命分数与得分数俱无原皆不可开矣然数穷则变变则通不可开者又立法以开之如无原有数之最相近者可借以为原即以本数析之又析而相近之原可得也析之之法多取进位平方或析一为十为百立方或析一为百为千数弥多者求弥宻其原亦弥近也弥近之数或稍多于所求或稍约于所求而皆可以为原者也如以五数为开平方是为无原而任借【○一】为之原以一十自乗得一百以五乗得　虽【○一】不为　之原乃其原之最近者有两数其一为　以【二二】为原【二十二自乗得四百八十四也】此近而朒者其一为　以【三二】为原【二十三自乗得五百二十九也】此近而盈者何也试以所借【○一】为命分之母以【二二】为得分之子以【○一】之【二二】自乗【此系整二又带零一十之二】所得　之内除四百为四整数余【四八】为　之【四八】夫以四零　之 　　【四八】视二零【○一】之二犹五百与二十二之比例也试以所借【○一】为母以【三二】为子以【○一】之【三二】自乗【此系整二又零一十之三】得之　内除五百为五整数余【九二】为　之【九二】夫以五零之【九二】视二零【○一】之三犹五百与二十三之比例也故五可以借一十也如以九数为开立方亦为无原而任借【○一】为　之原以九乗得　虽九千不以一十为原而其近原者亦有两数一为　以【○二】为原此近而朒者一为以【一二】为原此近而盈者何也试以【○一】为母【○一】之【○二】系 　　整二数自乗再乗即得【○一】之八试以【○一】为母【○一】之【一二】系整二数零一十之一自乗再乗即得九零　之　也【母一十自乗再乗得一千子整二化二十并入一为二十一自乘再乗得九千二百六十一以九千归整得整九余为一千之二百六十一也】故【○一】可以为九借也如以【○四】数为四乗方亦为无原任借【○一】自乘至四乗得一十万以一十乗之得四百万用前法推衍其原之近者一为【○二】一为【一二】何也以【○一】为【○二】之母则【○一】之【○二】系整二数自乗至四乗为【○一】之【二三】以视【○四】近而朒以【○一】为【一二】之母则【○一】之【一二】系整二数零一十之一自乗再乗【化整数并子法如前母四乗得一十万子自乗再乗得九千二百六十一】三乗四乗得整四十数零一十万之八万四千二百○一【二十一以三乘得一十九万四千四百八十一以四乗得四百○八万四千二百○一内以四百万还原得整四十数其零为八四二○一也】以视【○四】近而盈故【○一】可以为四十借也 　　数度衍卷十四 　　钦定四库全书 　　数度衍卷十五 　　桐城　方中通　撰 　　丈量【方田之一】 　　定亩 　　通曰弓步丈尺虽二法一理也横一步纵二百四十步横一丈纵六十丈皆亩也方五尺为步是为一弓五寸为分五分为厘二十五尺为弓羃四其弓羃则方面一丈故知二百四 　　十其弓羃即六十其方面一丈也每一弓得亩四毫一丝六忽六微六无尽亩至百则曰顷 　　积步求亩法 　　长弓几何广弓几何相乗为积步二广者并数用二折三广用三折四广用四折长亦若是折为一长一广然后相乗非折而少之折而方之也既得积步用除法求亩详后式【按三折四折语有误】 　　用二十四除式　术直田一坵长四十弓广十四弓四分相乗得五百七十六步用二十四除之得二亩四分折广式　术长四十弓四广一曰十三弓一曰十九弓四尺一曰十二弓一尺一曰十二弓三尺先并诸广得五十六弓八尺每尺作二分归整得五十七弓六分四广当用四除折之折得十四弓四分始与长弓相乗得五百七十六步用二十四除见亩 　　珠算飞归法 　　诀曰一加三隔四　　　　二加六隔八 　　进一除二四　一曰二十四子一方归 　　进二除四八　一曰四十八子进二枚 　　进三除七二　一曰七十二子进三枚 　　进四除九六　一曰九十六子进四枚 　　独三进一位二五【下位无子曰独】　独九进三位七五 　　一二身作五　一曰见一作五下除二 　　六退一进二　一曰六十进二五　一曰六除留五上 　　添二　　　　　　　　　一四四作六 　　一六八作七　　　　　　一九二作八 　　一八作七五　　　　　　三六进一五 　　二一六作九