御制数理精蕴 - 第 130 页/共 595 页

通曰负隅用二者二方故也用三者三方故也 　　三隅算开平方法 　　凡圆者之四可当方者之三并方圆之率为七用七为隅算以求之 　　式方圆共积二千二百六十八方面圆径相等问靣径 　　俱几何曰方面圆径俱三十六 　　术四乗原积得玖千○防十贰 　　为实列七为隅算初商三乗隅 　　算七得二百一十为方法呼初商二三除六一三除三余实二七防贰倍初商得六十为亷次商六乗隅算七得四十二为隅又以次商六乗亷六十得三百六十并隅得四百○二又并入亷六十共四百六十二呼次商除实尽得方面圆径俱三十六又术以四乗原积得九千○七十二并方四圆三得七为法除之得一千二百九十六为实平方开之得三十六更防 　　四带纵隅益积开平方法 　　式方不知积但以长乗一长二濶三和四较之共数得肆万肆千玖百贰十捌长濶较贰十肆问长几何曰七 　　十二术列所乗共数 　　为实置较为益纵约 　　三和得三长三濶以 　　并一长二濶得四长 　　五濶又并四较取四濶为长总得八长一濶共九叚以九为负隅初商七乗负隅九得六百三十为隅法又以初商七乗益纵二十四得一千六百八十注实下以益积共加得实肆万六千六百○捌却以隅法六百三十注实退位与初商相呼六七除四十二三七除二十一余实二五○捌乃倍隅法六百三十得一千二百六十为方法注实退位次商二又乗负隅九得一十八为隅法另以次商二乗益纵二十四得四十八并入余实共加得余实二五五六却以方隅并得一千二百七十八与次商相呼除实尽得长七十二 　　五带纵负隅减纵开平方法 　　同右法或损长以就之则用此也 　　式一长二濶三和四较以长乗之得肆万防千贰百壹十贰长濶较二十八问长几何曰七十四术列实较为 　　纵如右式推得九为负隅初商 　　七乗负隅九得六百三十为方 　　法内减带纵二十八余六百○ 　　二退位注呼初商六七除四十 　　二二七除一十四余实五○七贰倍方法六百三十得一千二百六十内减带纵二十八余一千二百三十二为亷列余实下次商四乗负隅九得三十六为隅法并亷共一二六八呼次商除实尽得长七十四 　　六减积带纵隅益积开平方法 　　又有同前不知积知较而以濶乗其一长二濶三和四较之共数得若干求长者用此 　　式设有一长二濶三和四较之共数以濶乗之得二万 　　九千九百五十二其较二十 　　四问长几何曰七十二术以 　　较自乗得五百七十六以减 　　原乗积余贰万玖千叄百防 　　十陆为实较为益纵六为隅算初商七乗隅算六得四百二十为隅法注实下又以初商七十乗益纵二十四得一千六百八十以益原实得三万一千○五十陆乃以隅法呼初商四七除二万八千二七除一千四百余实一千六百五十陆倍隅法四百二十得八百四十为亷次商二乗隅算六得一十二为隅法另以次商二乗益纵得四十八以益余实得一千七百○四乃并亷隅二法共八百五十二注余实下呼次商除实尽得长七十二 　　七带纵负隅减纵益积开平方法 　　通曰右式亦可以此法求之 　　式设有一长二濶三和四较之共数以濶乗得贰万玖 　　千叄百肆十捌长濶较二十 　　八问长几何曰七十四术列 　　实较为纵九为负隅【如前法】初 　　商七乗负隅得六百三十为 　　方法内减纵二十八余六百 　　○二注实下又以乗纵得一万六千八百五十六以益原实得四万六千二百○四为实乃以初商与余方法六百○二相呼六七除四万二千二七除一百四十余实四千○六十四倍方法六百三十得一千二百六十减纵余一千二百三十二为亷次商四乗负隅得三十六为隅法以乗纵得一千○八以益余实得五千○七十二为余实并亷隅二法共一千二百六十八与次商相呼除实尽得长七十四 　　八带纵亷开平方法 　　式一长二濶三和四较以濶乗得贰万玖千玖百伍十贰长濶较二十四问濶几何曰四十八术列实减较之半得一十二为纵亷而以初商乗之初商四十为方法以乗纵亷得四百八十又并初商得五百二十退位注实下呼初商五四除贰万二四除八百余实玖千一百伍十贰倍所乘纵亷四百八十为九百六十倍方法四十 　　为八十相并得一千○四十为方法次商八为隅以乗纵亷十二得九十六再并入方隅共一千一百四十四注实下呼次商除实尽得濶四十八 　　九带纵亷负隅开平方法 　　通曰右式亦可以此法求之 　　式一长二濶三和四较以濶乗得贰万玖千叄百肆十 　　捌长濶较二十八问濶几何曰 　　四十六术列实推得共八较九 　　濶用九为负隅以八乗较得二 　　百二十四为纵亷初商四乗负 　　隅九得三百六十为方法并纵亷共五百八十四注实下呼初商五四除贰万四八除三千二百四四除一十六余实五千九百八十捌倍方法三百六十为七百二十为亷并纵亷共九百四十四次商六乗负隅九得五十四为隅再并入亷并纵亷之九百四十四得九百九十八注实下呼次商除实尽得濶四十六 　　十带纵方亷开平方法 　　式一长二濶三和四较以长乗得肆万肆千玖百贰十 　　捌长濶较二十四问濶几何 　　曰四十八术列实以较为纵 　　方推得八长一濶共九倍 　　九为一十八作纵亷初商四 　　十为方法乗纵亷十八得七百二十并入方法四十共七百六十又并入纵方二十四共七百八十四注实下呼初商四七除二万八千四八除三千二百四四除一百六十余实一万三千五百六十捌倍纵亷乗并之七百六十为一千五百二十并入纵方二十四共一千五百四十四为亷次商八乗纵亷十八得一百四十四为隅乃将次商八亷一千五百四十四隅一百四十四共并得一千六百九十六注实下呼次商除实尽得濶四十八 　　十一带纵亷负隅乗纵减实开平方法 　　式一长二濶三和四较以长乗得肆万防千贰百壹十 　　贰长濶较二十八问濶几 　　何曰四十六术列实推得 　　八长九用八乗较得二 　　百二十四为纵亷用九为 　　负隅又以较二十八为减纵方初商四十乗负隅九得三百六十为方法并入纵亷共五百八十四为下法以乗减纵二十八得一万六千三百五十二以减实余三万○八百六十为实乃以下法五百八十四列下呼初商五四除二万四八除三千二百四四除一百六十余实七千五百倍方法三百六十得七百二十并纵亷二百二十四共九百四十四为亷次商六乗负隅九得五十四为隅又以乗减纵二十八得一千五百一十二以减余实余五千九百八十八为余实乃将亷九百四十四隅五十四共并得九百九十八列下呼次商除实尽得阔四十六 　　通曰正积可以防定位乗积亦可以防定位故列乗积三防而商止二位耳盖乗积虚増而非实有也 　　开平圆【少广之八】 　　积求外周法 　　式圆积二千三百五十二问外周几何曰一百六十八术置积以十二乗之得二万八千二百二十四为实平方开之得一百六十八为外周也 　　积求内径法 　　式圆积二千三百五十二问内径几何曰五十六术置积以四乗之得九千四百○八以三除之得三千一百三十六为实平方开之得五十六为内径也 　　数度衍巻十二 <子部,天文算法类,算书之属,数度衍> 　　钦定四库全书 　　数度衍卷十三 　　桐城　方中通　撰 　　开立方【少广之九】 　　珠算开立方法 　　式积一百九十五万三千一百二十五问立方一面几何曰一百二十五术置积盘中约初商一百别立下法亦置一百以初商自乗再乗得一百万以减实余九十五万三千一百二十五以三乗下法一百得三百为方 　　法列右次商二十 　　置下法一百之次 　　共一百二十又以 　　次商乗之得二千 　　四百为亷法再以 　　方法三百乗亷法 　　得七十二万以减 　　余实尚余二十三 　　万三千一百二十五又以次商自乗再乗得八千为隅法以减余实尚余二十二万五千一百二十五以三乗下法一百二十得三百六十为方法列右三商五置下法一百二十之次共一百二十五又以三商乗之得六百二十五为亷法又以方法三百六十乗亷法得二十二万五千以减余实尚余一百二十五又以三商自乗再乗得一百二十五为隅法以减余实实尽得面一百二十五 　　归除开立方式积一亿○二百五十万○三千二百三十二问立方一面几何曰四百六十八术置积为实初商四百于左亦置四百于右自乗得一十六万乃与左四百相呼一四除实四千万四六除实二千四百万余实三千八百五十万○三千二百三十二以三乗右下一十六万得四十八万为方法归除之曰四三七余二实不足除曰起一还四则次商不可用七止可用六也乃呼六八除实四百八十万余实九百七十万○三千二百三十二另以次商六十乗初商四百得二万四千以三乗之得七万二千为亷法次商自乗得三千六百为隅法亷隅并得七万五千六百却以次商呼除之六七除实四百二十万五六除实三十万六六除实三万六千余实五百一十六万七千二百三十二以方法四十八万并入两回亷法十四万四千三囬隅法一万○八百共得六十三万四千八百为方法归除之曰六五八余二则三商为八也乃呼三八除实二十四万四八除实三万三千八八除实六千四百余实八万八千八百三十二再置初次两商共四百六十以三商八乗之得三千六百八十以三乗之得一万一千○四十并入三商自乗得六十四共一万一千一百○四却以三商呼除之一八除实八万一八除实八千一八除实八百四八除实三十二实尽得靣四百六十八 　　笔算开立方法 　　式捌十叄亿陆千伍百肆十贰万防千问立方一面几何曰二千○三十术自末位○下作防隔二位一防共四防分为四叚知商有四位也寻原初商得二乃以二自乗再乗得八减首位实捌完首叚次叚实叄陆伍除防上之伍未用且作叄十陆开之乃三倍初商二为六作亷法另置右上以初商二加○作二十以乗六得一百二十当以此数商除二叚之实而叄十陆反小一百二十反大遇此则商有○矣竟于格右纪○当作次商完二叚三叚实叄陆伍肆贰防除防上之防未用且作叄万陆千伍百肆十贰开之亦三倍初次两商之二十为六十置右上亦以二○加○作二百以乗六十得一万二千用此数于实内商之三商当 　　是三【实内有三回一万二千也】以亷六十乗三得一百八十并一万二千共一万二千一百八十又以三乗之得三万六千五百四十为亷另以三商三自乗再乗得二十七为隅将亷隅减实实尽隅必注防下故七在防下二在贰下也完三叚尚余四叚未开于右加○作四商得靣二千○三十