御制数理精蕴 - 第 129 页/共 595 页

平方积和求濶 　　积与和求濶者以和为纵方一为负隅和并一长一濶积得一长而少一濶故用一为负隅其法有二或益隅于积乗负隅为方法又乗方法以益积曰带纵益隅开平方或减隅于积乗负隅以减纵命余纵以除实曰带纵负隅减纵开平方 　　一带纵益隅开平方法 　　式直积捌百陆十肆长濶和陆十问濶几何曰二十四 　　术列实以和为带纵初商二【二十】纪右 　　注首防下自乗得四百为负隅以益 　　积共加得实一千二百陆十肆乃以 　　初商呼带纵曰二陆除实一千二百 　　余实陆十肆倍方得四为亷注次位次商四纪右注尾防为隅以次商乗亷四十得一百六十又以次商乗隅四得一十六皆并入余实共加得余实二百四十乃以次商呼带纵曰四陆除实二百四十实尽得濶二十四 　　通曰甲乙丙丁形原积也丁丙 　　己戊形益隅方积也子方初商 　　二十自乗得四百丑寅二亷各 　　长二十与次商四相乗各得八十共为一百六十卯隅四自乗得十六共益积五百七十六也戊庚二十庚己四戊至己共二十四为濶乙丙三十六为长乙至己共六十为和 　　又式　术又如直积贰万壹千陆百肆十捌长濶和贰 　　百玖十陆列实防位置和为 　　带纵初商一【一百】列右为初方 　　法注首防下自乗得一万以 　　益积首位贰变三乃以初方 　　法呼带纵除实一贰除二首位三变一一玖除九次位壹变二进抺一一陆除六三位陆变○余实二千○肆十捌倍方得二为亷注退位次商三纪右为次方法注次防下为隅亷隅共二百三十以乗次方法三十得六千九百益入余积三上○变九二上二变八共加得余实八千九百肆十捌乃以次方法呼带纵贰三除六二上八变二三玖除二十七三上九变二进抺二三陆除一十八四位肆变六进抺二余实六十捌又倍次方法得六为次亷注退位【第四位也】并入前亷二百得二百六十三商二纪右为三方法注尾防下为隅次亷隅共二百六十二以乗三方法二得五百二十四益入余积尾捌变一进位六变九又进位加五共加得余实五百九十二乃以三方法呼带纵二贰除四二上五变一二玖除一十八六上九变一进抺一二陆除一十二实尽得濶一百三十二 　　二带纵负隅减纵开平方法 　　式直积捌百陆十肆长濶和陆十问濶几何曰二十四 　　术列实防位置和为纵方初商二纪 　　右注首防下以乗负隅一仍得二为 　　方法以减纵陆○余四○随首位注 　　之呼初商二四除八抺捌余实陆十肆倍方二得四为亷注退位亦乗负隅一仍得四【四十】以减纵陆○余二○注下次商四纪右注末防下为隅又以隅四减余纵二十余一十六附注乃与次商相呼一四除四四六除二十四实尽得濶二十四　或初商除实讫即以初商再减余纵以所余为纵方以次商再减为下法亦可盖倍初商为亷以减原纵与以初商减余纵之余数相同即可不立亷矣 　　通曰甲乙癸子全形乃和与濶相乗之形也内甲乙丙 　　己戊丁磬折形为原积此外 　　皆负积也初叚减壬癸纵二 　　十次叚减丙辛纵二十又减 　　辛壬纵四余乙丙纵十六乃原积形内之数故不减今以原积形内之干形补原积形外之坤形而成甲乙辛寅形得濶二十四长三十六 　　又式　术列实陆万玖千叄百陆十长濶和防百捌十贰为纵初商一【一百】乗负隅一仍得一以减纵防余六随首列余纵六捌贰与初商相呼一六除六一捌除八一 　　贰除二余实一千一百陆十倍方得 　　二为亷【二百】注退位以减纵余五捌贰 　　退位附列而纵余五多于实余一遇 　　此纪○于右作次商倍方一○得二 　　为亷【二百】注次防下以减纵余五捌贰退位附列三商二注尾防为隅以余纵与次商相呼二五除一十二捌除一十陆实尽得濶一百二十 　　通曰纵尾贰须先以隅二减之纵余止五捌○也又式　术若以积与虚长濶共若干而欲求其濶及长者如直积捌百陆十肆三长五濶共二百二十八求濶者以三乗直积得贰千伍百玖十贰为实【三长原有三积故以三乗】五为负 　　隅【暗添五濶之积】以共贰百贰十捌为带纵列实防位初商二乗负隅五得一十【一百】以减纵首贰余一随首列余纵一贰捌与初商相呼一二除贰二贰除四二捌除一十六余实三十贰又以初商二乗负隅五得一十【一百】减余纵首一止余纵贰捌【即倍方为亷也】次商四乗负隅五得二十再减余纵贰十止余捌注末防下以呼次商四捌除三十贰实尽得濶二十四 　　如右式求长者以五乗直 　　积得肆千叄百贰十为实 　　以三为负隅以共贰百贰 　　十捌为带纵初商三以乗负隅三得九【九十】以减纵余纵一百三十捌挨注首位下与初商相呼一三除三三三除九三捌除二十四余实一百八十复以初商三乗负隅三得九【九十】以减余纵止余四十捌次商六亦乗负隅三得一十八以减余纵止余三十注余实下与次商相呼三六除一百八十实尽得长三十六 　　又式　术又有以积与虚长濶和较共若干求濶及长者如直积八百六十四一长二濶三和四较共叄百壹 　　十贰数乃约三和自具三长 　　三濶以并一长二濶共四长 　　五濶又以四较益濶为四长 　　共得八长而余一濶求濶者以八长乗直积得陆千玖百壹十贰为实以一濶为负隅以共数为带纵初商二以乗负隅一仍得二【十也】以减纵余纵二百九十贰列实下以呼初商二二除四二九除一十八二贰除四余实一○七贰又以初商二乗负隅一得二十以减余纵止余二百七十贰次商四又乗负隅一得四以减余纵止余二百六十八列余实下与次商相呼除实尽得濶二十四　求长者以一濶乗直积为实以八长为负隅也当用翻法详后 　　又式　术又有以虚长虚濶约其子母共若干与积若干求长濶者如直积二千三百五十二只云长取八之五濶取三之二并得六十三以两母互乗三八得二十 　　四以乗并得之六十三得壹千 　　伍百壹十贰为带纵而以长母 　　八乗濶子二得十六为濶率以 　　濶母三乗长子五得十五为长 　　率则知此带纵数内具有长十五濶十六也求濶者以长一十五乗直积得叄万伍千贰百捌十为实以濶一十六为负隅初商四【十也】乗负隅得六百四十以减纵余纵八百七十贰注实下与初商相呼四八除三十二四七除二十八贰四除八余实四百又以初商所乗隅算之六百四十减余纵止余二百三十贰次商二乗负隅得三十二亦减余纵止余二百列余实下与次商相呼二二除四实尽得濶四十二以除直积二千三百五十二得长五十六 　　通曰以长十五乗积为实有三防而直积之二三五二止两防仍以直积定商位故知初商为十也余纵列位常随实首今纵八多于实首三故照例退位 　　平方积和求长 　　积与和求长者原积有长濶相乗而无长自乗宜损濶以益长故以和为纵方而置一算为负隅稍赢其商以减其纵用减余者以除积而积常不足则翻以积减纵而余为负积或再商命隅以减纵而纵反不足亦翻以纵减商而余纵三者俱负乃以负纵约余负积商命负隅开之是为带纵负隅减纵翻法开平方也 　　带纵负隅减纵翻法开平方法 　　式直积捌百陆十肆长濶和陆十问长几何曰三十六术列实以和为纵方一为负隅初商三乗负隅仍得三十以减纵余三十列实下与初商相呼三三应除九百 　　【三十其三十也】而实数不足遇此则翻列九 　　百于原积之上而以原积捌百陆十 　　肆减之余负积三十六即为余实再 　　以初商乗负隅之三十减余纵减尽乃约余实得次商六以乗负隅一仍得六注尾防呼次商六六除三十六 　　实尽得长三十六 　　通曰己丙丁戊形初商余纵相乗之 　　九百也内减去己壬庚辛丁戊磬折 　　形原积八百六十四余壬丙辛庚形 　　三十六在原积之外也以子形移至丑形成甲乙癸戊形得濶二十四长三十六 　　又式　术如直积叄千肆百伍十陆长濶和壹百贰十 　　求长者列实以和为纵一为负隅 　　初商七乗负隅仍得七十减纵余 　　五十与初商相呼五七应除三千 　　五百而原积不足乃翻以三千五 　　百列上而以原积减之余四十四为余实又以初商所乗之七十减余纵而余纵亦不足乃翻以余纵五十减初商乗数七十余二十为亷注三位下而纵又为负次商二注尾防为隅亷隅共二十二呼次商除之实尽得长七十二 　　又式　术有虚立长濶和较求长者如直积捌百陆十肆一长二濶三和四较共叄百壹十贰依前法衍得八 　　长一濶以一濶乗直积为实 　　捌长为负隅共数为纵方列 　　实初商三乗隅捌得二百四 　　十以减纵余七十贰列实下呼初商三七应除二千一百六十而积不足乃翻以二一六列上【二乃千数故进位】而以积减之余负积一千二百九十六即为余实又以初商所乗之二百四十减余纵而余纵亦不足亦翻以余纵七十贰减之余负纵一百六十八次商六乗负隅捌得四十八又并入负纵一百六十八得二百一十六列实下以呼次商除之实尽得长三十六 　　通曰凡减法原以小减大故宜用翻法也 　　平方带纵诸变 　　纵方之术所以通平方之变而翻法一术又所以通纵方之穷此外有积与二濶较及长濶较求濶者皆以错综为用以取其条理也衍之于左 　　一带纵减积开平方法 　　式三广田积贰千肆百陆十伍歩云中广不及南广八 　　歩亦不及北广三十六歩又不及 　　正长六十七歩问三广各几何长 　　几何曰中广十八歩南广二十六 　　歩北广五十四歩正长八十五歩 　　术列积为实并不及二广共四十四以四除之得壹十壹为带纵以不及长陆十防为减积初商一【十也】并带纵得二十壹随首防列之为方法以乗减积得一千四百○七依千百位列实下先以此呼初商一一除一一四除四一七除七余实一○五八次以方法二壹呼初商一二除二一壹除一完首叚余实八四八倍初商一作二为亷并带纵壹十壹及减积陆十防共九十八为方法注退位次商八注末防并方法得一百○六列下呼次商一八除八六八除四十八实尽得中广一十八各加不及合问 　　通曰初叚以乗减积数依列位并方法为一六一七呼除亦便 　　二减积带纵负隅并纵开平方法 　　式大小二方共积七千五百九十二大方面较小方面 　　多二十八问大小方面各几何 　　曰大方面七十四小方靣四十 　　六术较自乗得七百八十四以 　　减积余陆千捌百○捌为实倍较得伍十六为带纵二为负隅初商四乗负隅二得八十并纵共一百三十六为方法注积下呼初商一四除四三四除一十二四六除二十四余实一三六捌倍初商作八十并初方一三六共二百一十六为亷注退位次商六亦乗负隅二得一十二为隅并入亷内共二百二十八呼次商除之实尽得小方靣四十六加较得大方靣七十四 　　又式　术如大小三方共积四千七百八十八大方面 　　多小方靣三十中方面多小 　　方面十二【大方面多中方面十八也】求各 　　面者以较三十自乗得九百 　　以较十二自乗得一百四十四相并得一千○四十四以减共积余叄千防百肆十肆为实并二较得四十二倍得捌十肆为纵以三为负隅初商二乗负隅三得六十并纵共一百四十四为方法列实下呼初商一二除二二四除八又二四除八余实八百六十肆倍初乗隅六十得一百二十为亷并纵得二百○四注退位为方法次商四乗负隅三得一十二为隅并方法共二百一十六呼次商除实尽得小方靣二十四加较十二得中方面三十六又加较十八得大方面五十四