御制数理精蕴 - 第 128 页/共 595 页

并子四得四十是以四零九之四化为九之四十也】用竒 　　零异母加法子母互乗并母并 　　子得六万一千九百六十五之二十七万七千○二十也归整以少除多母数少为法除二十七万七干○二十得四尚余二万九千一百六十是为四零六一九六五之二九一六○也约之得十七分之八乃知实二十者开方得四零十七分一之八也 　　通曰以开方得四化之每一数作十七共化为六十八 　　又并入八得七十六为平方一面 　　之数也自乗得五千七百七十六 　　为方积实二十亦化之每一数作 　　十七之自乗共化为五千七百八十较之方积则多四也即以初商四后之余实四化为一千一百五十六以二亷及隅较之先并八与十七相乗之数八得一千○八十八又并八自乗共得一千一百五十二又少四也则余实有终不能尽者矣 　　又术以四开二十不尽今用四零二之一以求之倍初商四得八为母以不尽实四为子曰四零八之四约之 　　得四零二之一化之得二之九 　　【以四乗母二得八加子一共九故化为二之九】母子各 　　自乗得四之八十一归整以母四除子八十一得二十零四之一则实不足矣另置 　　四之一为实将前四零二之一倍数得九为法除之以九立一为母曰一之九倒位曰九之一与四之一相乗母乗母子乗子得三十 　　六之一又将三十六之一与前二之九相并两母相乗得共母七十二母子互乗得各子一曰七十二之二一曰七十二之三百二十四又相减于三百二十四内减二余三百二十二是七十二之三百二十二也再以七十二为法除三百二十二归整得四零七十二之三十四约为四零三十六之一十七 　　筹算开平方法【见前筹算】 　　平方积较和开法 　　平方长濶不等者以长濶相乗为实积以长濶相减为较以长濶相并为和 　　积和求较式积八百六十四长濶和六十问长多濶几何曰十二术以和六十自乗得三千六百四因积得三千四百五十六相减余一百四十四平方开之得一十二为长多于濶之较 　　通曰积者勾股相乗之直积也此乃积与勾股和求勾股较之法 　　积较求和式积八百六十四濶不及长十二问长濶和共几何曰六十术四因积得三千四百五十六不及十二自乗得一百四十四相并得三千六百平方开之得六十为长濶和 　　通曰此乃积与勾股较求勾股和之法衍此二式以起后法 　　平方积较求濶 　　积与较求濶者其长之积多于濶若非加法以带除其长当于实积内抽减其长之积故其法有二一以较为纵方并纵入方曰带纵开平方一以较为减积以方乗减曰减积开平方 　　一带纵开平方法 　　式直积捌百陆十肆濶不及长壹十贰问濶几何曰二 　　十四术列实定防以带纵壹十贰随 　　实首列之初商二纪格右亦列首防 　　下并纵首壹为三抹二壹而注三相 　　呼二三除实六首位实捌变二又呼 　　二贰除实四次位实陆变二完首余实二百二十肆倍初商二为四作亷法列次位实下此退位列也亦退位列带纵以亷四并纵壹为五抹四壹而注五次商四纪格右亦注末防下为隅法以隅四并纵贰为六抹四贰而注六相呼五四除实二十抹首位余实二又呼四六除实二十四次位余实二三位实肆皆抹去实尽所商二四即濶二十四也 　　又式　术如实贰十叄万○肆百纵防百贰十初商可用四但纵首防并四为十一实首贰叄无四十四可除 　　遇此须减商作二【三亦多故用二】纪格右亦注 　　首防下并纵防为九抹二七而注九 　　相呼二九除实一十八抹贰叄变五 　　又呼二贰除实四五变四○变六完 　　首叚余实四万六千肆百倍初商二作四为亷法列实○下又列纵于亷下次商四纪格右亦注次防下为隅法以亷四并纵防为十一抹四防而注一左位又注一【此十也】以隅四并纵贰为六抹四贰而注六乃以次商四呼首一曰一四除实四抹四又呼次一曰一四除实四六变二又呼四六除实二十四二肆皆抹去实尽尚有末防未开当于格右纪○以作三商则知直方濶二百四十长九百六十也 　　通曰以濶并纵得长也 　　又式　术若实数首位寡而带纵数多不能开者虽防在首位亦退一位列商纵而减一商也如实壹万陆千壹百贰十捌带纵防十贰数多即减一商【三防止两商也】退列纵于次防下起初商九纪格右亦注次防下并纵防为十六抹九防而注六左位注一相呼一九除实九抹 　　首壹陆变七又呼六九除实五十 　　四七变一壹变七又呼贰九除实 　　一十八七变五贰变四完首倍 　　九得一十八为亷法列之退列纵 　　次商六纪格右亦注末防下为隅法以亷八并纵防为十五抹八防而注五左位进一并亷一为二以隅六并纵贰为八如法呼除实尽得濶九十六长一百六十八又式　术其实首数多带纵数少可以开除者仍照所防叚位开之如实叄万捌千肆百带纵贰百首位叄自为一叚初商一纪格右注首位下并纵贰为三呼一三除实叄完首倍一作二为亷注次位并纵贰为四次商二纪右注次防下为隅呼除实尽尚剩一防未开商后加一○得濶 　　一百二十长三百二十 　　又式　术若防开位少而带纵位反多【加三防该百而带纵至千之类】以初商置首防下以带纵大数进左列之【必首叚系二位者方有此例】如实壹十玖万捌千带纵壹千伍百叄十遇此则列纵亦须以百随百而进千矣初商一纪右注首防下 　　次纵伍当随一下列之【初商一百也次纵伍亦百 　　也】首纵壹进列首位下以初商一并 　　纵伍为六先与纵壹呼一壹除实壹 　　再呼一六除实六再呼一三除实三 　　完首倍初商一作二为亷注三位实下带纵壹退从次位起列伍于亷二下并为七次商二纪右注次防下并纵叁为五依法与次商呼除又加一○得濶一百二十长一千六百五十 　　又式　术带纵并商数有共一十者进位再并可也如 　　实防万贰千纵肆百捌十防在 　　首位初商一纪右注首防下纵 　　首随列以一并纵肆为五呼除 　　毕余实一万四千倍初商作二为亷注次位纵亦次列并二肆为六次商二纪右注次防下先呼二六除十二首位余实一抹去次位余四变二然后以商二为隅者并纵八为一十进位注一本位注○乃呼一二除二实尽又加一○得濶一百二十长六百 　　通曰旣列次商带纵先以亷二并纵肆为六又以隅二并纵捌为一十进一于所并六下以一六并为七然后以次商二与七相呼二七除一十四抺首位余实一次位余实四亦便 　　又式　术若实数纵数商数俱多者襍糅易淆务须先将带并之数逐一归并各注本位之下乃以呼除始不 　　紊乱如实壹十陆万 　　陆千肆百陆十肆纵 　　壹千○捌十捌初商 　　一纪右注初防下三 　　防知初商系百位以纵百位○随列初商下列纵壹千于进位初商一与纵○无并仍是一先以右一与纵壹呼一壹除一又以右一与商一呼一一除一又以右一与纵捌呼一捌除八又以右一与纵尾捌呼一捌除八完首余实四万七千六百陆十肆倍初商得二为亷注三位实下退列纵数以相并亷二与纵○无并仍是二次商三纪右注次防下并纵捌为一十一改三捌为一进位○下注一又改二○一为三并毕须以最下横列之壹三一捌为主皆与右三相呼除实也除毕完次叚余实八千一百二十肆倍前商一三作二十六为亷空末防位以待隅注而以六注第五位实下二注第四位实下退列纵数以相并先以亷六并纵捌得一十四注四于捌下进位注一又以亷首二并所进一得三改二○一为三三商六纪右注末防下并纵末捌得一十四改六捌为四进位四加一改作五并毕以最下横列之壹三五四为主皆与右六相呼除实也除毕实尽得濶一百三十六长一千二百二十四 　　通曰凡图最上为余实最下为并纵并纵者并亷隅纵为开方之法数也右七式用前积较求和之法得和减纵半之即濶然其变不可不知耳求长亦然 　　二减积开平方法 　　减积者于实内减股之积以就其方也【股即长也】式直积捌百陆十肆濶不及长壹十贰问濶几何曰二 　　十四术列实防位另将不及壹 　　十贰为减积以商数乗之而列 　　乗数初商二纪右注首防下乗 　　减积得贰十肆随位列之相对减原积首位实捌减贰余六次位实陆减肆余二余实六百二十肆然后以初商呼除二二除四首位余实六变二完首叚余实二百二十肆倍初商二得四为亷注次位实下次商四纪右注末防下为隅以隅乗减积得肆十捌亦随位列之相对减余实首次两位余实二十二减肆首位二变一次位二变八次三両位余实八十肆减捌次位八变七三位肆变六共余实一百七十六然后以次商与亷隅呼除四四除一十六抺首位余实一次位七变一又呼四四除一十六抺次位一三位六实尽得濶二十四通曰凡定商数须减积后余实视有商数之自乗否勿以原实定商也初商列初防下初乗首数亦随初防下列之二叚亷退初商一位则次乗亦退一位也 　　平方积较求长 　　积与较求长者其濶之积少于长若非益积以补濶则当损其法之长也求法有二以较为负纵乗上商以添积曰负纵益积开平方以较为减纵而以负纵减方法曰带减纵开平方 　　一负纵益积开平方法 　　式直积捌百陆十肆濶不及长壹十贰问长几何曰三 　　十六术列实防位另列不及壹 　　十二为负纵而初商则约所増 　　负纵之乗商之如首位捌开法 　　宜用二因有负纵之乗乃商三 　　纪右注首位下为方法而以乗负纵得叄十陆注叄于首位陆于次位以并原积捌陆【作八十六】得一二二【作一百二十二】次位陆变二首位捌变二进位置一【实首左位】益积得一千二百二十肆乃以方法呼除三三除九完首叚余实三百二十肆倍三作六为亷注次位次商六纪右以乗负纵得防十贰退位列之【退初乗位】以并余积三二肆【作三百二十四】得三百九十六末位肆变六次位二变九另置一算为负隅以次商六乗之仍得六为隅法乃以次商呼除六六除三十六又呼六六除三十六实尽得长三十六 　　通曰甲戊己丁形原积八 　　百六十四也戊乙丙己形 　　益积四百三十二也甲戊 　　濶二十四甲乙长三十六 　　戊乙乃长濶之较十二合成甲乙丙丁形乃股羃也股 　　即长也初商三十自乗得九百 　　二亷濶六长三十又各相乗得 　　一百八十隅六自乗得三十六 　　又式　术直积贰十叄万○肆 　　百长濶较防百贰十列实防位 　　列较为负纵初商九【九百】纪右注 　　首防下为方法以乗负纵得陆 　　肆捌【六万四千八百】以益积随首列之共加得实为八七八肆○○以方法呼九九除八十一完首叚余实六八肆○○倍九得一十八为亷注八于次防之进位注一于首防下次商六【六十】亦乗负纵得肆叄贰【四千三百二十】以益余积退位列之共加得余实为一一一六○○又以次商六乗负隅一仍得六注本叚防下为隅法乃呼一六除六六八除四十八六六除三十六实尽尚余一防作○得长九百六十 　　二带减纵开平方法 　　式直积捌百陆十肆濶不及长壹十贰问长几何曰三十六术列实另列不及壹十贰为负纵初商三【三十】纪右以负纵减之余一十八挨注首防下为方法先呼三八除二十四八上陆变二进位捌变六后呼一三 　　除三一上六变三【先呼一三亦可】余实三百二十肆乃于另列初商三右加○【作三十】以并方法得四十八为亷注次位次商六纪右注末防下为隅而并入亷内得五十四六八并改四进位四改五乃呼次商五六除三十四六除二十四实尽得长三十六　若商数减后首位多于实首亦照例退位 　　通曰初商三十减纵得十八相乗除积五百四十次商六并方法为亷四十八【二亷共长四十八也】相乗除积二百八十八隅六自乗除 　　积三十六 　　又式有两方共积若干第云以小方之一靣乗大方之一面共若干问两方面各几何者如大小二方共积六千五百二十九以小方大方各一边相乗得叄千壹百贰十先倍两方乗积得六千二百四十以减共积余二百八十九平方开之得较壹十防乃列二方乗数为实以较为负纵初商六【六十】纪右以负纵减之余四十三注初防下为方法呼初商四六除二十四三六除 　　一十八余实五百四十又于初商六右加○【作六十】以并方法得一百○三为亷注下【以末三齐次防止】次商五纪右注尾防为隅并入亷内共一百○八乃呼次商一五除五五八除四十实尽得大方面六十五以较一十七减之得小方面四十八 　　通曰甲乙丙丁大方形也丁壬戊癸小方形也以丙丁边乗丁癸边得丙丁癸己形倍之得庚辛己癸形以减共积乙壬戊癸甲磬折形则以丙壬戊己形补甲子丑庚形而 　　后减之余乙子丑辛形为较羃也甲乙六十五减甲子四十八余乙子一十七