御制数理精蕴 - 第 127 页/共 595 页

一倍加求积法【一倍者二因也】　　式自一起加一倍至末位得六十四问总积几何曰一　　百二十七术取尾　　六十四倍之得一　　百二十八于内减首一余一百二十七即七位总积也用后式之术亦可　　二倍加求积法【二倍者三因】也　　式自一起加二倍至末位得八十一问总积几何曰一　　百二十一术取尾八十一于　　内减首一余八十以倍母二　　【二倍以二为倍母三倍以三为倍母】除之得四十再并尾八十一得一百二十一为总积　　通曰倍母必减其因一数故三因以二为倍母也三倍四倍以至多倍皆同此法惟各用其倍母耳　　半倍加求积法　　加一倍又二之一者即半倍加即四六衰分也如首位四次位加首位四之半为六也　　式自四起半倍加至末位得四十五零十六之九问总积几何曰一百二十八又十六分之十一术取尾四十　　五又十六之九内　　减首四余四十一　　又十六之九以倍　　母半数除之【用竒零除法详笔算】得八十三又八之三再并尾数得一百二十八又十六之十一【用竒零加法】为总积　　倍加隔位合数法　　抽中一位前与后合式凡倍加数不论共有几位但就　　中抽取　　一位之　　数自乘视所抽之位至首几位则自乘之数必与此后几位相同也如抽第五位以十六自乘得二百五十六自首至十六得五位除第五本位则前有四位也其后四位之数必二百五十六矣　　通曰以前得四位倍之得八加所抽一位得九则所抽之位数自乘与第九位数同矣　　抽中二位前与后合式于多位之中前抽一位后抽一　　位相乘则视前抽之位去首　　几位后抽之位再去几位其　　数必与此相乘之数合也如前抽第二位其数二后抽第四位其数八相乘得十六前抽之位去首一位则后抽之位再去一位其数亦必十六也　　倍抽减一前合后式不必算其前后之位但视所抽为　　第几位倍其位数减一得后　　应合之位则所抽位数自乘　　必与后位数合也如抽第三位倍为六减一得五则第三位之四自乗得十六必与第五位之数合也　　减位倍抽前合后式先排倍数于右次排位数于左须　　除首位不算自次位作一　　位排之抽第几位倍之不　　必减一即得应合之位则所抽位之自乘必与后位数合也如抽第二位倍为四则第二位之四自乘得十六必与第四位之数合也　　减位并抽前合后式抽两位之互乘则并所抽之两位　　共为几位即知互乘之数　　必与其位数合也如抽第　　一位第三位二与八互乘得十六以一位与三位并为四位则第四位之数必十六也【互乘即相乘】以上皆首位起一者　　异首减位倍抽及并抽式若首位不自一起或二或三四起者则抽一位抽二位其自乘互乘之数皆先取首位之数除之而后倍位并位以求合数之位也如抽第　　二位其数二十自乘得四　　百为实以首数五为法除　　之得八十再倍第二位为四则第四位之数必八十也　　又如抽第一位第三位其　　数十与四十互乘得四百　　为实以首数五为法除之得八十再并第一位第三位为四则第四位之数必八十也　　截位合前积式凡倍一加者【即二因】就中随意截取一位　　以其所截位之数　　减一即合所截位　　以前各位之总积凡自一起者用之如截第七位其数六十四减一得六十三即首位至六位之总积也截位合前后积式如右式六十三为首至六位之总积　　若以此六位为主加一得六十四自乘得四千○九十六减一得四千○九十五即首至十二位之总积矣葢以六位为主以前管六位以后亦管六位也即以六加一倍亦得十二位　　通曰凡倍一加者随抽一位于其数内减一余必为以前诸位之总积也如抽第三位四减一余三必为以前一位二位之积三也又如抽第四位八减一余七必为以前一位二位三位之积七也故抽第十三位四千○九十六减一余四千○九十五必为以前首至十二位之总积也　　又式借银一两毎日加息一倍至第六十四日问共银几何曰一千八百四十四兆六千七百四十四万○七百三十七亿○九百五十五万一千六百一十五两术试截四位曰一曰二曰四曰八共积十五加一为十六自乘得二百五十六内减一余二百五十五即系第八位之积再加一自乘得六万五千五百三十六内减一余六万五千五百三十五即系第十六位之积再加一自乘得四十二亿九千四百九十六万七千二百九十六减一余四十二亿九千四百九十六万七千二百九十五即系第三十二位之积再加一自乘得一千八百四十四兆六千七百四十四万○七百三十七亿○九百五十五万一千六百一十六减一即系第六十四位之积也六十四位即六十四日也　　通曰不必加减以第五日之数自乘得第九日之数又自乘得第十七日之数又自乘得第三十三日之数又自乘得第六十五日之数减半为第六十四日之积也葢五日加四而为九日倍四为八故九日加八日而为十七日倍八为十六故十七日加十六日而为三十三日倍十六为三十二故三十三日加三十二日而为六十五日也仿此推之可至无穷均输章有三术更觉简易　　数度衍卷十一 <子部,天文算法类,算书之属,数度衍> 　　钦定四库全书　　数度衍卷十二　　桐城　方中通　撰　　开平方【少广之七】　　珠算开平方法　　通曰四算中惟尺算不便于开方而珠笔筹法亦不同故分衍之　　式横叄百贰十肆问平方一靣几何曰十八术列实于卯辰己下约初商一十置子位亦置未位为方法左右相呼曰一一如一除实一百卯位叄变二余实二百二十四以方法一十倍为二十为亷法变未位一为二约次商八置丑位亦置申位为隅法先左右二八相呼曰二八一十六除实一百六十卯位实尽辰位贰变六余实六十四次左右八八相呼曰八八六十四　　除实六十四辰己二位实尽则所商之一十八即方靣也　　通曰次商与初商不同须视实内除亷外尚有隅之自乘否如次商八除二八一百六十之外余实尚有六十四可除隅八之自乘故用八若止余六十三则不用八而用七矣　　归除开平方式积五万四千七百五十六问平方一靣几何曰二百三十四术置实盘中初商二百置实首左位另置二百于右左右相呼曰二二如四除实四万余实一万四千七百五十六以右二百倍作四百为法归除之呼曰四一二余二逢四进一十得三十为次商置右四百之下呼曰三三如九除实九百余实一千八百五十六又以右下三十倍作六十共四百六十为法归除之呼曰四一二余二逢八进二十得四为三商置右六十之下呼曰四六二十四除实二百四十呼曰四四一十六除实十六实尽变为二百三十四即方面也　　笔算开平方法　　式积贰千壹百壹十防万捌千肆百○肆问平方一靣几何曰四千六百○二术列实八位从末位肆下作防隔位一防共四知有四回商数也实首防在次位以贰壹相连作二十一者然也应用自乘有几十几数者为商今初商用四注初防下亦纪格右相呼四四一十　　六于实贰千壹百内除一千六百　　抹去贰壹变伍完首叚矣余实伍　　百壹十防万捌千肆百○肆第二　　叚实至次止曰伍壹防先立亷　　法倍初商四为八注实壹下空次　　防一位以待隅法乃商伍十壹内　　【作五十一】有六囬八即用六为次商纪初商四右亦注六于次防下为隅法如八十六者然也乃与次商相呼先呼六八除实四百八十抹去伍壹变叄又呼六六除实三十六万抹去叄防变壹完第二叚矣余实壹万捌千肆百○肆第三叚实至三防止曰壹捌肆其格右四六倍作九十二为亷法注九于实壹下二于实捌下空三防一位以待隅法壹内不可除九遇此则知商有○位竟作○于商数四六之右以作第三商完第三叚矣余实如故第四叚实至四防止曰壹捌肆○肆其格右四六○作四百六十倍作九百二十为亷法注九于实捌下二于实肆下○于实○下空四一位以待隅法乃商壹十捌内【作一十八】有二囬九即用二为四商纪商数四六○之右亦注二于四防下为隅法如九千二百○二者然也乃与四商相呼先呼二九除实一万八千抹去壹捌又呼二二除实四百抹去肆又呼二二除实四数抹去肆实尽完四叚矣则格右之四六○二即方面四千六百○二也　　通曰初商防在实首者三以前用一八以前用二九则当用三防在实首次位者十五以前用三二十四以前用四三十五以前用五四十八以前用六六十三以前用七八十以前用八九十九以前用九满百则防又在实首矣　　用命分式　术倍前商数加一为母余实为子依法命之如设积六十开方初商七除实四十九余实十一今倍前商七作十四加一得十五为母以余实十一为子命曰七又一十五之一十一而缩试并初商及分数自之用竒零整带零与整带零乗法【详笔算下】得二二五之一三四五六以一三四五六为实以二二五为法除去四十九囬二二五余二四三一得四十九又二二五之二四三一也其二四三一之内尚有十囬二二五如亦归整并四十九为五十九又二二五之一八一则不及原积六十矣故曰缩若倍初商不加一为母命为十四之十一试自之得六十又一九六之一四一则又过原积而盈矣举成数可也又术如开方不尽实又欲得其小分则通为小数须于余积之右加两○化一为百也如法开之得根数当命为一十分之几分也或加四○化一为万开得根数命为一千分之几分也如设积六十巳商七不尽实十一欲得其细分于右加六○是十一化为一千一百万也如法开之又得商七四当命为一千分之七十四也　　竒零开平方式　术凡开方不尽实用命分第一术又不尽者用盈不足对稽可也如实二十者初商四除实十六余实四依命分法立子母化初商用整带零与整带零乘法得八十一之一千六百以小除大当以八十一除一千六百也除得一十九零八十一之六十一【一千六百内有十九囬八十一余六十一】又不尽者八十一之二十必须另立一法【满八十一则归整一数止得六十一尚余二十】用盈不足对稽如前用四自乘盈四用五自乘又不足五也以不足五对前四又九九之四【前四者初商也九之四者倍初商加一为母九余实为子曰九之四】而以少减多【以五为原数以四又九之四为减数】用竒零整内减整及零法余九乏五乃以前四零九之四倍之为八零九之八并入减余九之五除去整八在外　　以九之五与九之八相并用竒零同母加法归整得一　　零九之四乃以在外之整八并　　入一为九得九零九之四也又　　以此九零九之四为除数以前余未尽八十一之二十【余实也】为原数用竒零整带零除零法除得六千八百八十五之一百八十也又　　以此除得数与前九之四十相并【九之四十者倍初商四加一共九为母余　　实四为子曰九之四又用化法以初商四乘母九得三十六再