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九百六十五之二万九千一百六十约
之即十七分之八也为开方零数
若欲知其已于二十数内除过防许即将四零十七分之八自乘之依法先以四各化为十七加八俱为子数而仍以十七为母母子各自乘以见开方【母自乘得二百八十九子自乘得五千七百七十六】而以母数除子数即见
依除法已开净一十九零二百八十九之二百八十五较前十九零八十一之六十一逺矣尚余二百八十九
之四未尽欲尽
之再依前法开
除
又法以四开二十因用四开之不尽乃用四零二之一
<子部,天文算法类,算书之属,同文算指__通编,卷六>
<子部,天文算法类,算书之属,同文算指__通编,卷六>数加一倍如四零三十六之一十七倍作八零三十六之三十四依法化之【八化三十六得二百八十八并入三十四得三百二十二】为三十六之三百二十二若用约法则为八零十八之十七亦依法化之【八化十八得一百四十四并入十七共得一百六十一】为一十八之一百六十一此倍出亷数也以之倒位而对前所余数母子俱自乘
仍对前所化
亷数求之
次以所约之母子与原亷母子相对而依法以乘母者并母次以两子各乗总母得数对减余为实乃取所并
此为开方不足之数比前则所剩微矣欲开尽依法再推同文算指通编卷六
<子部,天文算法类,算书之属,同文算指__通编>
钦定四库全书
同文算指通编卷七
明 李之藻 撰
积较和相求开平方诸法第十四
凡平方长濶不等以长濶相乗为实积以长濶相减为较以长濶相并为和
凡以积和求较者以和自乗以积四因相减开其余得较
假如直田积八百六十四步长濶和六十步求长多濶几步者用和自乗【得三千六百】又四因直积【得三千四百五十六】以少减多余一百四十四平方开之得差一十二步
右开法见前不重列所以和自乗又四因直积者葢和自乗有四段直田积一段差方积故以四积减和乃剰下差方一段以取方面见步【有图在后】比类如有金八百六十四两数人分之只云人数与
【得银数共六十其】
【差几何银数爲濶人数爲长得三十六人毎人】【二十四两凡以积较求和者四因实积又以差】【自乗并入开平方除之得和假如直田积八百六十四歩濶不及长一十二歩求长濶和共几歩者以积歩四因以较自乗相并开方得长濶和六十歩右四 因积有 四长四】
【濶纵横列之于外又较自之一段】
【居中故开方得和其用和自乗者得此图全数外兼四积内兼较自乗故除积得较比类金八百六十四两只云锭数不及两数十二求锭与两共若干两数爲长锭数爲濶得锭与两共六十得三千四百五十六一百四十四三千六百长三十六步】各
若夫积与较求濶者其长之积多于濶若非加法以带除其长当于实积内抽减其长之积故其法有二其一以较为纵方并纵入方谓之带纵开平方其一以较为减积以方乗减谓之减积开平方
积与较求长者其濶之积少于长若非益积以补濶则当损其法之长也求法有二其一以较为负纵乗上商以添积谓之负纵益积开平方其一以较为减纵而以负纵减方法谓之带减纵开平方
积与和求濶者以和为纵方一为负隅和并一长一濶积得一长而少一濶故用一为负隅或益负隅于积或减负隅于纵皆可以求其濶也其益隅于积者乗负隅为方法又乗方法以益积是为带纵益隅开平方其减隅于纵者乗负隅以减纵命余纵以除实是为带纵负隅减纵开平方
积与和求长者原积有长濶相乗而无长自乗宜损濶以益长故以和为纵方而置一算为负隅稍赢其商以减其纵用减余者以除积而积常不足则翻以积减纵而余为负积或再商命隅以减纵而纵反不足亦翻以纵减商而余积纵三者俱负乃以负纵约余负积商命负隅开之是为带纵负隅减纵翻法开平方
右纵方六术所以通平方之变而翻法一术又所以通纵方之穷也此外有积与二濶较及长濶较求濶者则有所谓带纵减积开平方有以大小二方和积求径者则有所谓减积带纵负隅并纵开平方有以方圆二径虚设相同及积求其实径者则有所谓隅算开平方至于匿其积实而虚张长濶和较之数互求长濶者则又有所谓带纵隅益积开平方带纵负隅减纵开平方减积带纵隅益积开平方带纵负隅减纵益实开平方带纵廉开平方带纵廉负隅开平方带纵方廉开平方带纵廉负隅乗纵减实开平方皆以带纵诸法错综为用以御开方诸积之变神明变化存乎当机初不可一途而取今每则畧着数例以便初学
带纵开平方法【积较求濶】
有勾股积若干平方开之第云勾不及股若干用加法带除其股积余为开方名带纵开平方法列实点定开位亦列所不及为纵数于下以首位随首点下须于纵上空一横行以容商除初商若干纪格右亦以商数并纵数列首点下【有小数者照常退位排之】次第呼乗以除实数但所商数须与带纵相照若纵数多则减商数就之不尽之数再倍作廉法然倍方不倍纵亦并入带纵商之假如有直田积八百六十四步濶不及长一十二步求濶几步列实定位以带纵【二一】随首位列之初商二纪格
右亦列首点下以并带纵【一】共三乃
变壹贰注三 相呼二三除六 三
上捌变二二二除四 贰上陆变二
完首段余实二百二十四步次倍二
作四为廉法挨退位下亦列带纵以
廉四并纵一其下列五次商四纪格
右亦注末位点下为隅法以并隅二下注六乃相呼除先呼五四除二十进抺二又呼四六二十四恰尽得
濶二十四步
比类给银八百六十四两只云所得银之两比得分人数多一十二两求总是几人每人各得银几两银多为长人少为濶得银两数二十四人数三十六
假如二十三万○四百为实带纵七百二十初商可用四数因有带纵七乃减商作二纪格右亦纪首点下为
隅以并带纵七共九乃变二七作
九是为【二九】与右二疉呼除之 二
九一十八 九上叄变五进削贰
本位下削九 次以右二乗二除
四用借法 二上○变六 进位
五变四本位下削二次倍二作四
为廉法列次点之进位○下另列
带纵数于廉下以待商除次商四
纪格右亦注次点四下为隅法而以带纵及廉法并入除之四七并一十一廉下变一 进位亦加一 四二并得六隅下变六乃以右四呼首一 一四除四 一上削四又以右四呼次一 一四除四 一上六变二又以右四乗次六四六二十四 六上除肆 进位除二恰尽因尚余一点于右加一○