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勾较求勾求【附较和求勾求和较求勾求】 　　甲乙股三十六乙丙勾甲丙之较为甲丁十八求勾 　　求以股自乘得一千二百九十六 　　为甲戊方形较自乘得三百二十四 　　为庚丁小方形两方形相减【于甲戊方内去 　　其等庚丁　方之辛癸　方即得甲壬戊之磬折形】存九百七 　　十二为实倍较乙寅为法除之得乙 　　子长方形其丙乙之边二十七为勾以加较得四十五为甲丙【乙子方何以等于甲壬戊形之实也葢加一同较羃之乙丑形以成子卯癸之磬折形即与股羃甲戊方形等也又甲辰方形羃也内兼勾股二羃试照庚丁较羃分作庚未未午午丁三形其申未及酉戌较也庚申及未戌及未辰及午酉及丁丙股也庚未形未午形相并勾羃也庚丁形丁午形相并股羃 　　也各加较羃则甲戊午之磬折形与子卯癸之磬折形　　　　　等亦与甲戊股羃等内各减较羃则乙子方形即甲壬戌磬折形矣】 　　又法股自乘得甲己方形一千二百 　　九十六为实以勾较甲丁十八【即同 　　乙癸】为法除之得甲壬之勾和七十二 　　加较得九十半之得四十五减较 　　得勾二十七【甲壬何以知为勾和葢羃甲丑形内既兼】 　　【勾股羃矣试以甲丁之度移于子卯又移于丑辰于卯寅分为三方形其丙丁寅辰形勾羃也则甲卯卯辰两形并即股羃也亦即甲辛长方形也子卯也卯寅也甲庚也皆较也甲子也卯丑勾也故甲辛形内之甲壬线为勾和】 　　若以股与较和求勾求者股自乘为实次以股减较和余即勾较除实得勾和乃以加减同前若以股与和较求勾求者股自乘为实以股减和较余即勾较除实加减同前 　　股较求股求【附和较求股求较较求股求】 　　乙丙勾二十七甲乙股甲丙之较为丙丁九求股求以勾自乘得乙己方形七百二十九较自乘得丙丑 　　方形八十一【丙庚同】相减存乙庚己磬 　　折形得六百四十八为实乃倍丙丁 　　较为辛乙线以为法除实得辛壬方 　　形其乙辛边三十六即甲乙股数以加较得甲丙四十五【羃甲癸方形内兼勾股二羃试依丙丑较羃线分作甲丑形丑癸形丑子形即丑子为股羃而余为勾羃之实也甲丑与丑癸并固与乙庚己磬折之形等亦与辛壬长方之形等而辛乙兼丁丑丑寅之两较甲丁及寅癸均为两股合并成乙壬之股】 　　又法勾自乘得丙戊方形七百二十九为实以丙丁较九为法除之得丙己方形其丙庚边八十一为股和 　　加较得九十半之得四十五减 　　较得股三十六【丙庚线何以为股和也甲丙羃 　　内兼有勾股二羃试依丙丁较截作丁辛形丁癸形癸壬形即壬癸】 　　【方形为股羃而余为勾羃亦即丙己长方形之实也夫甲癸也壬辛也庚己也均较也而甲丁之股丙辛之并之非丙庚乎故云股和】 　　若勾与和较求股求者勾自乘为实次以勾减和较余即股较除实得股和乃以加减同前又勾与较较求股求者勾自乘为实以勾减较较余即股较除实加减同前 　　勾股和求股求勾 　　甲丙四十五甲乙乙丙勾股和六十三求勾求股以自乗倍之得四千○五十勾股和作甲丁线自乘得甲己方形三千九百六十九相减得八十一开方得勾股较甲卯九加和得七十二半之得甲乙股三十六减较得乙丙勾二十七【勾股和自乘为甲己方形此形内函甲辛及癸己之两股羃乙寅及庚壬之两勾羃而中间重借一癸辛小方形正其较羃若以自乘只得一勾一股羃倍之当得两勾两股羃今以减甲】 　　【己方形少一较羃之癸辛形故以癸辛开方得较也】 　　勾和求勾求【附和和求勾求较较求勾求】 　　甲乙股三十六乙丙甲丙勾和七十二求勾求以股自乘得一千二百九十六又以勾和作乙己线自乘得五千一百八十四为乙戊方形次用股羃减之【就乙戊大方内减去庚壬长方】余三千八百八十八【即丁辛及丙己两长方形】半之得 　　一千九百四十四为实以勾和 　　乙己为法除之得乙丙勾二十七 　　以减和得甲丙四十五【何以知庚壬长 　　方为股羃也试于乙戊方之乙己线以勾度截之取子寅二防作子】 　　【癸线寅丑线又照取丙庚二防作丙壬庚辛二线则一形内四隅有勾羃四中央有较羃一而四正又有庚未辰壬未寅癸辰为勾较相乗之羃亦四也夫一勾一较相并为则卯己之方形为幂而幂之内存一午己之勾幂而此外子午辛之磬折形即为所减之股羃兹以庚未形代子午形则庚壬固所减之股羃矣此丁辛丙己两形所以为减余形也半之即丙已形次以乙己线除之】 　　又法股自乗得一千二百九十六 　　以勾和七十二为法除之得十 　　八为勾较加勾和得九十半 　　之得四十五为减较得二十七 　　为勾【此与前勾较求勾求又法同理】 　　若以股与和和求勾求者既得股自乗之数乃以股减和和余即勾和除之得勾较加减如前因多一股故用一减 　　又股与较较求勾求者股自乘为实以股并较较即得勾和除实加减同前 　　股和求股求【附和和求股求较和求股求】 　　乙丙勾二十七甲乙乙丙股和八十一求股求以勾自乗得七百二十九股和自乘为乙丁方形得六千五百六十一乃以勾羃相减去戊己长方形 　　存乙戊方及丁己方得五千八百三十二半之得二千九百一十六为实以和为法除之得甲乙股三十六以减和得甲丙四十五【大方形内之戊乙句羃也余论同前】 　　又法勾自乘得七百二十九以股和八十一为法除 　　之得九为股较加股和得 　　九十半之得四十五为减较 　　得三十六为股【此与勾较求勾求又法同理】 　　若以勾与和和求股求者勾自乘为实以勾减和和仍得股和除之余如前亦因多一勾故用一减若以勾与较和求股求者勾自乗为实勾和相并即股和除之 　　股较勾较求勾求股求 　　甲乙股甲丙较二乙丙勾甲丙较九求勾求股求以二较相乘得十八倍之得三十六为实平方开之得六为和较加勾较九得甲乙股十五加股较二得乙丙勾八以勾较加勾或股较加股得十七为甲丙【此最要者在求与勾股和之较法以二九互乘是乘两次也故倍之戊癸及子丑长方 　　形是也倍之而开方得六即和较矣然所以三十六开方为和 　　较者何也葢一之羃常兼有勾股两羃今试于甲乙股线引之加 　　甲辰之亦于丙乙勾线引之加乙午之于甲丙引之加丙艮 　　之股艮申之勾此三线者各以自乘为三大羃则兼勾股之羃比 　　诸股与勾相并之羃共欠四十九数而此四十九为合减之数就 　　于多羃中心减之所余三十六即开方之和较何者试取三大羃 　　而各以元设之勾股分之为诸小羃相当相抵其甲酉羃内多勾 　　股矩之形凡二其丙戌或乙亥羃内多羃一以此两多之形又相 　　当抵所差者有四十九数而原设股较二勾较九相减余七自 　　乗之数亦相符焉至于中心减之而余三十六葢又有説试以股 　　较二自乘得四为己庚方形以勾较九自乘得八十一为辛壬方 　　形并得八十五而以四十九减之减去干兑形其余形之干离离壬 　　及己庚形合三十六即前二九互乘戊癸子丑之数也用此开方得 　　六以作寅卯方形令于甲酉方减此寅卯而丙戊方亦减辛壬而乙 　　亥方亦减己庚则其兼勾股之羃不等于股勾之二羃乎葢 　　甲酉四隅四羃也乙亥四隅四股羃也丙戊四隅四勾羃也所谓 　　羃兼勾股羃者既相当抵而甲寅辛坎两形并亦与寅防方形相 　　当中心除出干兑之四十九而干离离壬及己庚又与寅卯相当故 　　以寅卯开方求之而和较得焉夫丙巽即寅卯边也在甲丙巽申 　　两之间者也丙距申为勾股和则丙截巽为和较明矣已得 　　和较即以元设两较相加而勾股皆可得矣加九者巽距艮也艮 　　申为勾而艮丙为股也加二者丙距坤也坤甲为股而巽坤为勾也】 　　【以巽艮益艮申以丙坤益坤申皆也】 　　勾和股和求勾求股求 　　甲丙乙丙勾和七十二甲乙甲丙股和八十一求勾求股求以两和相乘得五千八百三十二为乙己 　　长方形倍之得一万一千 　　六百六十四为丁戊大方 　　形以为实平方开之得己 　　庚形其边一百○八为 　　和和求乙丙勾者以股 　　和减之得勾二十七求甲乙股者以勾和减之得股三十六欲求者以勾股和减之得四十五【己庚形与丁戊形等其开方边为和和者葢丁戊全形内有羃二股矩形及勾矩形各二与己庚方形内诸形比各等其丁戊形内余一羃己庚形内亦余一句羃一股羃又相等故己庚形之各边皆和和】 　　论曰勾股三合成形错综立义勾股相减其差曰较勾股相并其名曰和股之差曰股较勾之差曰勾较并勾股与较其差曰和较勾股之差与相减其差曰较较股相并曰股和勾相并曰勾和勾股之差并曰较和勾股并曰和和勾股各自乘并之为实故开之得勾各自乘减余为股实故开之得股股各自乘减余为勾实故开之得勾勾股和自乘倍实相减开其余即勾股较也勾股较自乘以减倍实开其余即勾股和也并勾以除股实得勾较若以勾较除股实即得勾和矣并股以除勾实得股较若以股较除勾实即得股和矣勾股和自乗减实除以较较得较和矣除以较和非即较较乎勾股较自乘减实除以和和则得和较矣除以和较非即和和乎勾乘股为实并勾股为法除得容方径勾乘股倍之勾股求并之除得容圜径容圜之径即和较也又错综论之勾为主以加股较即较较以减股较即和较若加较和又即股和也股为主以加勾较即较和以减勾较即和较若加较较又即勾和也勾股较为主以加股较即勾较若减股和亦即勾和也勾股和为主以加股较复得勾和若减股和亦得勾较也至若诸较诸和法相因配连缀减半恒得所求若取勾股较以加勾股和半之得股以减勾股和半之得勾若取股较以加股和半之得以减股和半之得股取勾较者以加勾和半之得以减勾和半之得勾取和较者以加和和半之得和以减和和半之得取较较者以加较和半之得以减较和半之得较加减乘除圜变不滞神而明之存乎其人逺近髙深方圜弧矢准此而推亦在乎熟之而已 　　开平方法第十二 　　凡平方开者依除法列位先审当以几位除尽列实自末位下防记之每隔位一防每一防即定开下一位乃从左位起用自乘开除凡防在左首位下者以一字取数自乘【如系九数则用三除三三见九除尽之类】若防在左次位下者以二字共取一数自乘各除之【如系一六则用四除四四一十六除尽之类】是为初商以纪格右亦注首防之下两相呼除不尽者作余数再商【如系二十者用五则廿五矣是不可也须用四自乘得十六外剩四作余数以再商除之】倍初商为亷法注初防初商之次位若干以除上位视其可得防转以定次商若干注次防之下为隅法亦纪于格右先与亷呼除若干再与隅呼除若干有不尽者再倍亷法商除如前若剩数仅及开数一倍以下以法命之【开者一面数也加倍又加一数乃得二面是于小平方外添一勾股为大平方若不及加倍増一总是不满方面即以加倍増一为母余数为子命曰几分之防】 　　列式 　　列实二千一百一十七万八千四百○四凡八位従末位防起每隔一位用一防共四防知用四字开尽 　　此首位无防而防在次位者以二一相连且作二十一数只一字开之 　　初商用四除注防下亦纪格右四四乘之除一十六尚剩五　四上一变五完首段 　　既用四自乘除剩五矣第二段所防従五至七凡三位且只作五百八十四而商以从简便先立亷法须倍前商数前系四则此倍作八注八于次位之下如以八而除五十一者然也乃商五十一有防个八该得六纪六于格右四字之次亦注次防下为隅法如八十六者然乃与次商相呼先呼六八除四十八剩三数八上一变三尚剩三十七又以六六相呼要见六于三十七内恰好否若可除则用六如总数不足则宁减一数以就之如前除法相似所谓商也此呼六六三十六尚剩一六上七变一完次段除实二千一百一十六万余实一万八千