同文算指 - 第 22 页/共 34 页

此以倍一约之其数无穷余法皆同 　　右数假如截取三位以首尾二位相乘其所得数与中一位数之自乘者等【假如八四二共三位以二八相乘得十六以中间之四自乘亦十六】若截取四位而以首尾二位相乘其所得数与中二数相乘者亦等【假如十六○八○四○二○共四位以十六乗二得卅二以中间之八与四乘亦得卅二】虽至许多位但以首尾二位相乘其所得数与挨身次二位俱相等步步乘入皆无不同至于最中若有单位以之自乘亦复如是 　　此外乘与进 　　内乘皆同中 　　单自乘亦同 　　凡倍加之数不论防位欲知总数但取首尾二位为主以首最小数减尾最大数而以其所剰大数依后法求之如系加一倍者【即二因】先取尾大数倍之内减首数得全数如一二四八【六二四一三六】此七位者取尾六十四倍得一百二十八数减首位一得一百二十七即此七位之细数【加一倍者自一起手用此法其加二加三者虽亦自一起手但各另有倍母则另如后法以倍母为首位不以一为首位云】如系加二倍者【即三因法】取尾后最多数内先减首位之数而以余数二归【縁三因者系加二倍故以二为倍母而用二】取其所得之数并入尾位大数即得中间防位细数凡四因五因以至六七等类皆同此法而四因三归五因四归【各减因数之一者依所倍之数为母也】余皆同 　　此系四因者三 　　倍于本数以相 　　加也用尾位数 　　内减首位数实 　　剰四万九千一 　　百四十九以倍母之三除之得一万六千三百八十三加入四万九千一百五十二共得六万五千五百三十五是八位全数 　　又有加一倍又二之一递进者即四六衰分法也 　　此一因半 　　右四六衰分倍加系一因有半者若欲求其各位总数亦取尾位数【四十五又十六之九】内减首位数【除四得四十一又十六之九】如前法亦减除法一数【十一因半减其一也如前三因者用二及四因用三之类】而用半以除之【以半为倍母以除之者是一化为二】得八十三零八之一以并尾数总共得一百二十八零十六分之十一也为七位细数 　　凡二因半三因半等类仿此其除法俱只减其一数凡倍加数不论共有防位但就中抽取一位自乘但看自首挨来是防位假如第五位其前有四位矣今以五位自乘其所得之数即与此后第四位之数相同【即九位】不特此也又如取第五位与第七位相乘其五位前凡有四位则其第七位后亦管四位其五位七位乘得之数即与第十一位之数相同如后式 　　假如后式十六系第五位前有四位后亦管到四位今以十六自乘得二百五十六恰与后四位之数相同 　　又假如三十二系第六位前有五位 　　今以三十二自乘得一千二十四即合后第五位之数一又假如八系第四位与七位之六十四相乘以八前凡有三位则六十四之后亦管到三位今以八乘六十四得五百十二数亦与第十位之数相合其相离亦三位故也又法不必算其前后之位但看所自乘数为第防位以本位数加一倍内减一即得同数之位假如第六位倍六得十二内减一为十一位则第六位自乘所得之数正合第十一之数与前法理同而更为捷径 　　又法不必减一但先排倍数于右次排位数于左相对而于位前加一【即以○见所减之一】其余以次察之 　　凡所得位数但系自乘者只一位以位数倍之但系互乘者有两位以两位数积之 　　右式假如以四自乘得十六矣其四之本位是二位倍二得四则十六之数即第四位之数也此一位自乘之法又假如八乘三十二得二百五十六数其八之本位系三位三十二之本位系五位三与五并共得八即系第八位数　　以上乃首位起一者 　　若首位非自一起【如二或三或四五之类】则自乘互乘皆先取首位之数分之【如首位四则以四分其所得】而后倍位积位如前法 　　假如以八十自乘得六千四百因首位非从一起而从五起先以首位之五而分之得一千二百八十数仍取列位之四倍之为八则对八之数 　　又假如以四十与六百四十相乘得二万五千六百以首位之五分之得五千一百二十次以两位相积其一是三其一是七合对十之数 　　凡倍一加者【即二因】就中随意截取一位以其本数减一即合此位以前各位之细数此除本身而言然必从一数起者合此 　　假如截取一百二十八数内减一得一百二十七数即合第六位以前之总数葢自六位之六十四以前各位细数总得此 　　又假如右式以对八位之二百五十六数而求本位以前各位之总依前法以次位求之次位减一得五百一十一乃对八以前各位细总也若就以此八位为主外加一作五百一十二以自乘得二十六万二千一百四十四数内再减一此何数乎按实对八之位乃系第九位此前既有九位此后亦管九位乃是第十八位以前各位细数也葢以倍位所对之本数自乘则得对位加倍之本数此用倍位法看之如不以本数乘而以积出本位以前诸位之全数乘则又推得本位以后相对若千位之全数此则不用倍位而用实位得之者实位者如本位前实有九位则本位后再管十位即其相对之位之全数也须减一数始合不减一数则进越一位矣 　　假如借银一忽每日加息一倍至第六十四日该息防何依前法推之试如一二四八此四位共十五数加一自乘得二百五十六内减一余二百五十五即系八位之数盖自首位一至第八位之一百二十八其细数乃二百五十五数也再以此加一【二百五十六】自乘得六万五千五百三十六内减一余六万五千五百三十五即知其为第十六位之数再以此数加一得六万五千五百三十六自乘得四十二亿九千四百九十六万七千二百九十六内减一即知其为第三十二位之数凡四十二亿九千四百九十六万七千二百九十五数又以之加一自乘得一千八百四十四兆六千七百四十四万零七百三十七亿又九百五十五万一千六百一十六忽内减一即知其为第六十四值之数凡一十八兆四千四百六十七亿四千四百零七万三千七百九两五钱五分一厘六毫一丝六忽也 　　同文算指通编卷五 　　钦定四库全书 　　同文算指通编卷六 　　明　李之藻　撰 　　测量三率法第十一 　　凡测山岳楼台城郭之髙川谷之深土田道里之逺旧名勾股法立表或立重表参望相直乃以开方求之今立器以代表名曰矩度而以三率代开方之算勾股者植立地上为股其影横地上为勾今半矩木尺其制也矩度之形平方而取横直二边各刻为度互为勾股立为直影倒影二算义同勾股而法稍捷 　　制矩度法以坚木或铜版其制平方上画甲乙丙丁四直角方形【务取极方详具几何原本】用甲乙边立两耳平对各通一窍名曰通光以便窥望以甲角为矩极系线任其垂下以权镇之次自甲至丙斜界一线分矩面为两平分乃并乙至丙及并丙至丁各依原边线又平行二线俱匀分十二度其度各自其边界望矩极分之近极为虚线外用为实线或每度更分三分五分六或分至十二皆 　　随版体大小为分愈细则法愈 　　密矣用时甲昻乙低以目射两 　　窍与所望之物参相直视其绳 　　之所值何度何分以算推之或 　　不设两窍只立相等两小表亦 　　可凡测望必以所求物与立矩度处为直角形取平【解在防何】有不平者须先准平然后测量次论直倒二景直影者绳在乙丙界内即勾影也如立表地中影落地面者是倒影者绳在丁丙界内即股影也如立表墙上影射墙面者是凡有所窥测而望者前却其步使其绳适在甲丙是为勾股平等知勾即得股知股即得勾其不然者须将倒直互变推求且如求髙求深所求在股即权绳宜在直度而却在倒度则当变倒为直若求逺求近所求在勾其权绳宜在倒度而却在直度则当变直为倒各以通二度之穷其互变之术皆以矩全度为准【少者用十二多者用一百四十四】假如绳在倒影三度今欲变为直影度者法以矩度为实三度为法除之得四十八为直影度假如绳在倒影五度三分度之二欲变直度者因有三之二每度以三通之得一十七为法亦以三通其矩度得四百三十四为实以法除之得二十五度余十七分度之七为直度也其绳在直度而欲变为倒度者亦如之【详见徐太史测量法义】 　　量影测髙 　　已知影长若干欲测其髙者如测日影即以矩度向日目切于乙甲耳在前日光透于耳之两窍权线与矩度相切任其垂下审值何度何分若在十二度之中正对角线丙际则影与物必正相等知影防何长即得物防何髙矣 　　若权线在直影边则影小于物而直影上所值度分为第一率以矩度十二为第二率以物影度为第三率二三相乘一除之得第四率为其物髙 　　假如欲测己庚之髙线在直影乙戊得八度正其庚辛影长三十步即以矩度十二乘庚辛之三十得三百六十为实以乙戊八度为法除之得四十五即己庚髙四十五步 　　若权线在倒影边则影大于物以矩度为第一率以倒影上所值度分为二率以物影度为三率算之得物之髙 　　假如欲测己庚之髙线在倒影丁戊得七度五分度之一庚辛影六十步即以丁戊七度五之一乘庚辛之六十得二千一百六十为实以矩度六十分为法除之得己庚之髙三十六步【因权值有零分五分度之一故以分母五通七度通作三十五分以分子一从之为三十六分其表】 　　【度十二亦通作六十分】 　　从髙测影 　　若已知物髙若干欲测其影者以矩度承曰审值度分若权线在丙则影与物等若权线在直影边即物大于影以矩度十二为第一率直影度分为第二率物髙度为第三率算之得数为影度 　　若权线在倒影边即物小于影以倒影度分为第一率矩度为第二率物髙度为第三率算之得数为影度 　　以目测髙 　　已知庚辛之逺欲测己庚之髙人目在辛先量自目至足其髙防何乃以矩度向所测物顶甲耳在前目切乙后目与矩耳及髙相参直细审权线值何度分假如权线在直影乙戊以乙戊度为第一率矩度为第二率次量庚距辛之逺防何为第三率二三相乘以一除之得物 　　之髙 　　假如权线在倒影丁戊即以矩度为第一率丁戊倒影为第二率庚辛为第三率照前算之 　　若权线不在丙而有平地可前可却即任意前却至权线值丙而止不必推算既知辛庚即知己庚 　　若人目在辛求己庚之髙而为山水林木屋舍所隔或地非平面不欲至庚或不能至者则用两直影之较起算其法依前以矩窍向物顶审权线在直影否如在倒影即以所值度分依法变作直影次从所立之辛依地平取直线或前或却任意逺近至癸仍以矩窍向物顶审权线在直影否如在倒影亦以所值度分变作直影乃以两直影度分相减之较为首率以矩度为二率辛癸大小两矩之较为三率依法算之得己壬之髙又加自目至足乙癸之数得己庚之髙假如欲测己庚之髙如前图先从辛立望得直影小乙戊为五度次却立于癸得直影大乙戊为十度丙影之较五度为首率矩度为次率次量足距之较从癸至辛十步为三率依法算得二十四步加目至足之乙辛或乙癸试作一步即知己庚之髙二十五步　如后图先于辛得直影小乙戊为十一度次退立于癸得倒影九度当如前变法作大乙 　　戊直影十六度得景较五度以为首率矩度为次率次量距之较癸辛二十步为三率依法算得四十八步加自目至足或一步即知己庚之髙四十九步 　　地平测逺 　　欲于已测己庚之逺先除自目至足之髙为甲己若量极逺则立楼台或山岳之上以目下至地平为甲己【测髙法见前】次以矩极甲角切于目以乙向逺际之庚如前法稍移就之俾甲乙庚相参直细审权线值何度分 　　如权线在丙则髙与逺等 　　若权在乙丙直影边即逺数不及髙数以矩度十二为首率直景乙丙为二率甲己为第三率算之得己庚逺 　　若权在丁丙倒影边即逺过于髙以倒影丁丙为首率以矩度十二为次率甲己为三率算之此所置一率二率视前测髙之法互换云 　　测深 　　凡从井上测深者井口或径为己庚井面为辛壬欲测 　　己壬之深用矩极甲角切目以乙 　　从己向对面水际之辛如前法稍移