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次于所剩之一除起因此第三防管 　　到四字止则自一到四作一百八十 　　四除之其格右四六乃四十六倍作 　　九十二列次下为亷法列式且让四下 　　之防不填以待所商之隅法而列二 　　于八下列九于一下凡亷法商法冩 　　式皆仿此九不可除一作○于格右 　　四六之次以存虚位余皆抺之另商 　　第四防所用仍剩一万八千四百四 　　竟以一数开毕 　　前所用四六○是四百六十仍再倍为 　　亷法当作九百二十数让空四下所防 　　一位不填以待隅法而列九于八下列二于四下列○于○下乃先以九除一八看得若干乃二九一十八也当用二为再商右纪二亦注于所防四下为隅法如九百二十二者然乃以相呼首以二乘九除十八次以二乘二减四次○不必除次又以二乘二除四恰尽凡开方每面四千六百零二若欲还原用自 　　又有开方不尽者 　　具式于后假如列 　　实四亿五千六百 　　七十八万九千○　　　　首防左第一位下只以本 　　一十二数凡九位　　　　一位开之首位系四当用 　　从小数间防至大　　　　二盖二之自乘四也系二 　　数共五防该以五　　　　于四下右纪二为初商相 　　位开尽　　　　　　　　呼二二除四完初段除实 　　四亿余实五千六百七十 　　八万九千一十二俟再商 　　次除五六且作五十六以从简 　　便倍初商二作四为亷法让防 　　下一位系四于五下所商以四 　　除五得防转四除五只一转右 　　纪一亦注一于防下先呼一四 　　如四五除四剩一四上五变一 　　次呼一一如一六除一剰五也 　　一上六变五完二段除实四亿 　　四千一百万余实一千五百七 　　十八万有竒另商 　　次除一五七八之一段且作一千五百七十八而商因前商二一是为二十一今倍作四十二为亷法空有防之八以待隅法而系二于七下系四于五下要商四除一十五凡几转计得三转即用三数为再商纪格右亦系三于有防八字之下先呼三四一十二于十五内除十二则抺五改三进抺一又呼三二是六于七内除六尚剰一则抺七改一又呼三三是九于八内除九依借法抺八改九进位一变○完三段余实三百九万九千有竒次除三○九九 　　○之一段因前用二一三是为二百一十三今又倍其 　　数作四二六为亷法空有防之○ 　　而于九下系六于进位九下系二 　　于○下系四先以四商上三○看 　　四除三十凡防转该七转则用七 　　纪七于格右亦系于有防○下以 　　相呼先呼四七二十八于三十内 　　除二十八尚剩二数四上○变二 　　进抺三次呼二七一十四于廿九 　　内除十四二上九变五进位二变 　　一次呼六七四十二六上九变七进 　　位五变一次呼七七四十九依借法 　　七上○变一进位七变二完四段余 　　实一十一万二千一百一十二另开 　　次除一一二一一二总作一段前已用二一三七是为二千一百三十七今倍之当作四二七四为亷法空有防之二而于进位一下系四于又进之一下系七于进二下系二于进一下系四先以四商上一十一看除该二转则用二纪格右亦系二于末位防下而先呼二四为八以除一十一余数三乃抺一改三进抺一 　　次呼二二为四依借法二上二 　　变八进位三变二又呼二七一 　　十四依借法七上一变七进位 　　八变六再呼二四为八依借法 　　四上一变三进位七变六又呼 　　二二为四依借法二上二变八 　　进位三变二完第五段除实四 　　亿五千六百七十六万二千三 　　百八十四余二万六千六百二 　　十八为不尽数 　　右开方二万一千三百七十二以自乘得四亿五千六百七十六万二千三百八十四并入余数二万六千六百二十八得原数 　　开平竒零法第十三 　　凡开方法有可尽者如十六用四除尽如二十五用五除尽是也亦有必不可尽者假如列实二十者用四除去十六尚余四此所余之四将何术以开之其法依除法立子母数倍用数为亷法外加一为隅法并为母而以余数为子乃以原所用开之数依母数化之而并子数俱以为子乃以母自乘子亦自乘以取开方而以小数除其大数视其所得之数若干即开尽数若原数内 　　更有未尽者再法开之　　　　倍用数得八加一为 　　母共九而以余数四 　　为子次以用数乘母 　　共三十六并子四共四十 　　以八十一而 　　除一千六百 　　得一十九零 　　八十一之 　　六十一为 　　开方之数 　　尚有未尽 　　另法具后 　　右法于二十数内开过一十九零八十一之六十一比前但开除一十六者所得多矣然尚余八十一之二十未尽另立一法开焉用盈不足对稽如前用四自乘盈四也又如用五自乘乃得二十五是又不足五也以不 　　足五对前四又九　　　　　　　　五内除四余一依前 　　之四而以少除多　　　　　　　　法化一为九内又除 　　【以五为实以四又九之四为法除之】　　　　　　　四余五是九之五也 　　乃以前四零九之四者而　　　　五八并得十三倍之为八零九之八并入今　　　除一九是一整余九之五共得九零九之四　　　数尚剰九之四【其倍之为亷法也并入今余又用盈不足相并】 　　次取九零九之四以除前所余未尽八十一之二十依化法整九与母九相乘得八十一并入子四共八十五 　　是为九之八　　　　　　　　　　　两母乘得六 　　十五又倒位　　　　　　　　　　　千八百八十 　　对相母乘母　　　　　　　　　　　五两子乘得 　　子乘子　　　　　　　　　　　　　一百八十 　　又以母子乘　　　　　　　　　　两母数以九乘 　　出之数与原　　　　　　　　　　六千八百八十五 　　存九之四十　　　　　　　　　　得六万一千九百 　　对列而以两　　　　　　　　　　六十五为共母其 　　母相乘为母　　　　　　　　　　子数以六千八百 　　次以子母互　　　　　　　　　　八十五乘四十得 　　乘各为子而　　　　　　　　　　二十七万五千四 　　并之【原存盈数也今】　　　　　　　　　　百以九乘一百八 　　【乘出数不足也亦相并】　　　　　　　　　　十得一千六百二