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得八长一濶以一濶为实 　　八长为负隅共步为纵方 　　列实初商三纪右【即三十】以 　　乗隅【八】得二百四十以减 　　纵一变七进削三余纵七 　　十二以呼所商【三】除积合除二千一百六十而积反不足乃翻以积除之列二一六○于上　肆上○变六　进位六变九　进位一变二　进位二变一　尚余负积一二 　　九六复以初商【三】乗负隅 　　【八】合减纵二百四十而余 　　纵【七十二】不足翻以余纵减 　　之剰负纵一百六十八是 　　余纵积算俱负 　　次约负积商六纪右以乗负隅八又并负纵共二百一十六挨注尾位以呼所商二六一十二　二上削二进削一　一六除六　一上九变三　六六三十六恰尽得长三十六 　　假如直积三千四百五十六步一长二濶三和四较共六百二十四步求长几何仍前八长一濶以一为实八为负隅共步为纵方初商七纪右以乗负隅【八】得五百六十以减纵方剰六十四注首位合除四千四百八○ 　　列原积上以视原积不 　　足翻以原积减之尾位 　　○变四　四上八变二 　　六上四变○　进位 　　四变一　余负一千二 　　十四为实再以初商【七十】乗负隅【八】得五百六十者减余纵而纵又不足则翻以纵减之余纵四百九十六而隅法纵法积法俱负续商二纪右以乗隅【八】得一十六并入负纵共五百一十二挨尾注之与所商二相呼恰尽得长七十二步 　　同文算指通编卷七 　　钦定四库全书 　　同文算指通编卷八 　　明　李之藻　撰 　　带纵诸变开平方第十五 　　开方带纵其变无穷更绎其要有十一种余可神而明之若积与二濶较及长濶较求濶用带纵减积开平方假如三广田积二千四百六十五步第云中广不及南广八步亦不及北广三十六步又不及正长六十七步 　　问广并长各几何列积为实 　　并不及二广【共四十四】以四而一 　　得一十一为纵方以不及正 　　长【六十七】为减积初商一纪右 　　【即一十】以并带纵共二十一列 　　注首点下为方法以乗减积得一千四百七先以减积所乗呼商一七除七尾位伍变八　进位陆变五　一四除四　进位肆变○一一除一首位贰变一　次以 　　所注方法呼商一二除二 　　二上○变八进削一　一 　　一除一　一上五变四余 　　实八四八乃倍方一作二 　　为廉法【即二十】并减积【六十七】 　　又并带纵【一十一】共九十八为方法注退位续商八纪右以并方法得一百六呼除一八除八　一上削八　六八四十八恰尽得中广一十八步各加不及得南广二十六步北广五十四步正长八十五步 　　右凡梯田斜田箕田杖鼓田四不等田以积求长广者俱以此法求之 　　凡大小二方和积求径者用减积带纵负隅并纵开平方 　　假如大小方田二段共积七千五百九十二步大方面较小方面多二十八步求大小方面各几何用较自乗【得七百八十四】以减积余六千八百零八为实倍较【二十八】得五 　　十六为带纵叧置二为负隅初 　　商四【即四十】乗负隅【二】得八十并 　　纵方共一百三十六为方法注 　　积下以呼所商一四除四　一 　　上陆变二　三四一十二　三 　　上捌变六进位二变一　四六二十四　六上○变六进位六变三余实一三六八次倍商得八并初方【一百三十六】共二百一十六为廉法注退位续商六纪右亦乗负隅得一十二为隅法并入廉法共二百二十八与次商呼除尽得小方面四十六步加较得大方面七十四步又假如大小方田三段共积四千七百八十八步大方面多中方面十八步中方面多小方面十二步求各方面几何以大方面较小面数【三十】自乗得【九百】以中方面较小面数【十二】自乗得【一百四十四】相并共一千四十四以减共积余三千七百四十四为实并二较倍之得八十四为纵方以三为负隅初商二纪右【即二十】以乗负隅【三】得六 　　十并纵方共一百四十四为 　　方法列首位以呼所商二四 　　除八　四上肆变六　二四 　　除八　四上防变八进位叄 　　变二　一二除二　一上削 　　二余实八百六十四倍方法【六十】作一百二十为廉法以并纵方【八四】得二百四注退位为方法次商四纪右以乗负隅【三】得一十二为隅法并方法共二百一十六与次商呼除二四除八　二上削八　一四除四　一上六变二　四六二十四恰尽得小方面二十四步以较加之得中方面三十六步大方面五十四步 　　凡方田圆田径相似以其共积求相似之径几何者用隅算开平方凡圆者之四可当方者之三并方圆之率为七用七为隅算用四乗原积开方 　　假如方圆田共积二千二百六十八步只云方面圆径相等求方面圆径者四乗原积得九千七十二步为实叧列七为隅算初商三纪右【即三十】乗隅【七】共二百一十为方法与商相呼二三除六　二上玖变三一三除三一上○变七进位三变二余实二七七二乃倍三十作 　　六十为廉法注退位次商六以乗 　　隅【七】得四十二为隅法又以乗廉 　　六十得三百六十并共四百○二 　　仍并入廉法共四六二与商相呼 　　恰尽得方面圆径俱三十六步 　　又法四乗原积得九千○七十二步并方四圜三得七为法除之得一千二百九十六为实乃以开平方法求得方面圜径三十六步更简易 　　凡匿其原积只云一长二濶三和四较更以长乗之共数若干其长濶之较若干以求其长几何者用益积以补濶则有带纵隅益积开平方 　　假如田不知积但以长乗一长二濶三和四较共得四万四千九百二十八步其长濶之较二十四步求长者列实叧置较为益纵约三和得三长三濶并一长二濶得四长五濶又并四较入濶为长得八长一濶共九段 　　以九为隅算初商 　　七十乗隅算【九】得 　　六百三十为隅法 　　又以初商【七】乗益 　　纵【二十四】得一千六 　　百八十注原积之 　　下以益原积　八上贰变○进加一六上玖并一变六进加一　一上肆并一变六共四万六千六百○八却以隅法【六百三十】注退位与商相呼六七四十二六上六变四进削四　三七二十一　三上六变五进位四变二余实二五○八乃倍隅法【六百三十】得一千二百六十为方法注退位以商余实得二纪右又乗隅算【九】得一十八为隅法另以所商二乗益纵【二十四】得四十八并入余实八上八变六　四上○变五共得二五五六却以方 　　隅二法并共一千二百七十八皆与所商【二】呼除恰尽得长七十二步 　　又同前田不知实用长数乗一长二濶三和四较共若干及其较若干以求长者或损长以就之用带纵负隅减纵开平方 　　假如一长二濶三和四较以长乗之得四万七千二百一十二其较二十八步而不知其积求其长列长乗之积为实较为纵方仍前法推得【九】为负隅初商七十纪 　　右乗负隅得六百三十为 　　方法内减纵法【二十八】剰六 　　百二退位注实下以呼所 　　商六七四十二六上防变 　　五进削肆　二七一十四 　　二上壹变七进位贰变 　　○余实五○七二次倍方法得【一千二百六十】内减纵法【二十八】得一千二百三十二为廉法列余实之下约实续商得四纪右乗负隅得三十六为隅法并廉法共一二六八改注尾位与续商相呼恰尽得长七十四步 　　又有同前不知积知较而以濶乗其一长二濶三和四较得若干求长者用减积带纵隅益积开平方 　　假如设为一长二濶三和四较以濶数乗之得二万九千九百五十二其较二十四问长几何置较自乗【五百七十六】以减原积余二万九千三百七十六为实【以较自乗减其原积故曰减积】较为益纵六为隅算初商七十纪右乗隅【六】得四 　　百二十为隅法注实下 　　又以商【七十】乗益纵【二十四】得一千六百八十以益 　　原积尾次七变五进位 　　叄变○　又进玖变一 　　又进贰变三得三一 　　○五六乃以隅法乗商呼之四七二十八　四上一变三进削三　二七一十四　二上○变六　进位三变一余实一六五六乃倍隅法得八百四十为廉法续商【二】以乗隅【六】得一十二为隅法另以所商【二】乗益纵得四十八以益余实尾位陆变四进位五变○进位六变七共一千七百四却以方隅二法共八百五十二注尾位以呼续商恰尽得长七十二步 　　亦有匿积只以濶乗一长二濶三和四较共若干及较若干求长而用带纵负隅减纵益实开平方者 　　假如田不知积一长二濶三和四较以濶乗得二万九千三百四十八步濶不及长二十八步者列实亦列较为纵方九为负隅【共得九长】初商七纪右【即七十】以乗负隅得 　　六百三十为方法 　　内减纵方【二八】得六 　　百二注实下又以 　　乗纵方得一万六 　　千八百五十六以 　　益实六上捌变四