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一　二千○八十八 　　二　二百六十一石 　　三　四十九【甲】　　二十一【乙】　　　九【丙】 　　四　六石一斗二升五合二石六斗二升五合　一石一斗二升五合一石二十八石【六斗二升五合】　八十四石　　　四十【八石三斗七升五合】 　　问制钱三万八千二百八十文四人作三七分之各若干法先并各衰【丁二十七丙六十三乙一百四十七甲三百四十三共五百八十】为首率以总银为次率列各衰为三率推得四率 　　一　五百八十 　　二　三万八千二百八十文 　　三　二十七【丁】　六十三【丙】　　一百四十七【乙】　三百四十三【甲】四　一千【七百八十二文】四千【一百五十八文】九千七百二文　二万【二千六百三十八文】问派银八百二十八两二钱令五人三七纳之每人应若干先倂各衰【戊八十一丁一百八十九丙四百四十一乙一千零二十九甲二千四百零一共四千一百四十一】为首率以总银为次率列各衰为三率一　四千一百四十一 　　二　八百二十八两二钱 　　三　二千四【百○一甲】一千○【二十　九　乙】四百【四十　一　丙】一百【八十　九　丁】八十一【戊】四　四百八【十两二钱】二百○【五两八钱】八十【八两二钱】三十【七两八钱】一十【六两二钱】问官银二千六百三十五两令四等人二八出之各若干凡求二八衰分者用四乘之递求次衰比问法先并各衰【丁二丙八乙三十二甲一百二十八共一百七十】为首率总银为次率列各衰为三率得各银数【此二八衰分是四倍加之若先以总衰除总银得一十五两五钱后以各衰乗之亦同】 　　一　一百七十 　　二　二千六百三十五两 　　三　二【丁】　　　八【丙】　　　三十二【乙】　一百二十八【甲】四　三十一两【丁】一百二十四两【丙】四百九十六两【乙】一千【九百八十四两　甲】问粮二千六百五十五石九斗令五等户二八办纳甲户三十乙户四十丙户五十丁户六十戊户七十各等每户该若干法置五等衰以各户数乗之并【甲三十户乗衰五百一十二得一万五千三百六十乙四十户乗衰一百二十八得五千一百二十丙五十户乗衰三十二得一千六百丁六十户乗衰八得四百八十戊七十户乗衰二得一百四十并共二万二千七百】为首率总粮为次率列各衰为三率推得四率是各等每户纳数再以各等户数乗之得各等共粮数【若先以并衰除总粮得一斗一升七合为最下衰然后以各衰乘之亦同】 　　一　二万二千七百 　　二　二千五百六十五石 　　三　五百一十二【甲】一百二十八【乙】三十二【丙】八【丁】　　二【戊】四　【五十九石九斗一十四石九　三石七斗　九斗三　二斗三○四合　　　斗七升六合　四升四合　升六合　升四合】 　　以上四六三七二八俱増衰法 　　问官绢四百七十丈零一尺八寸四分令三等人户办纳以一十分之六递减其上等计二十五户中等三十户下等四十八户每等每户若干法先置各衰以各等户乘并之【上等户数乗一百衰得二千五百中等户数乘六十衰得一千八百下等户数乗三十六衰得一千七百二十八共六千零二十八】为首率以总绢为次率列各衰为三率推得第四率为各等一户所出数再以各户数乗之得各等数 　　一　六千零二十八 　　二　四百七十丈一尺八寸四分 　　三　一百　　　　　　六十　　　　　　　三十六四　七丈八尺【上等户】四丈六尺八寸【中等户】二丈八尺八分【下等户】一百九十五丈　一百四十丈四寸　　【一百三十四丈七尺八寸四分】 　　问官粮一百六十八石四斗八升八合令四等户办纳递减十分之七甲户二十二乙户三十六丙户四十二丁户四十八每等每户各几何立各衰以各户数乘并【甲户数乘一千衰得二万二千乙户数乘七百衰得二万五千二百丙户数乗四百九十衰得二万五百八十丁户数乘三百四十三得一万六千四百六十四通共八万四千二百四十四】为首率总粮为次率列各衰为三率推得第四率各等一户所出数再以户数乘之得各等数 　　一　八万四千二百四十四 　　二　一百六十八石四斗八升四合 　　三　一千　　七百　　　四百九十　三百四十三四　二石【甲】　一石四斗【乙】九斗八升【丙】六斗八升六合【丁】四十四石　五十【石零　四十一石　三十二石九四斗　一斗六升　斗二升八合】 　　右并衰系减衰法凡十之五十之九之类仿此 　　问谷二百四十石作五等分之甲乙二人数与丙丁戊三人数等各几何此递差偏多偏寡法先并各衰为二宗较之用余数増入各衰并甲乙二衰【甲五乙四】得九又并丙丁戊三衰【丙三丁二戊一】得六以减九余三却于五等衰各増三数【甲得八乙得七丙得六丁得五戊得四共三十】并之为首率总米为次率推得第四率递差八石其甲乙二人所分得数与丙丁戊三人正相当【此是以八递加】 　　一　三十 　　二　二百四十石 　　三　四【戊】　　五【丁】　　六【丙】　　七【乙】　　八【甲】四　三十二石　四十石　四十八石　五十六石　六十四石右増衰凡増衰偏多偏寡者仿此如三人分要甲数与乙丙数同者七人分要甲乙丙数与戊己庚辛数同之类 　　问四商共得子银三百四十两其母以四递加【如乙五则丙九丙七则丁十一丁九则甲十三是也系衰分递加】但知甲原母二百八十六两余递减各该若干须知十三之于九与二百八十六之于某数相同按衰母递测之由甲母以推丁母由丁推丙由丙推乙法以甲衰十三为第一率甲母二百八十六为第二率以丁衰九为第三率依准测法得丁母数余仿此 　　以甲知丁　　　　以丁知丙　　　以丙知乙 　　一　十三【甲衰】　　　　十一【丁衰】　　　九【丙衰】二　二百八十六【甲母】一百九十八【丁母】一百二十六【丙母】 　　三　九【丁衰】　　　　七【丙衰】　　　　五【乙衰】四　一百九十八【丁之母】一百二十六【丙之母】七十【乙母】右法已知各母再欲知其应分子银以四递加之数则并甲乙丙丁母为第一率总子为第二率分四母为第三率 　　一　六百八十【倂母】 　　二　三百四十【总子】 　　三　二百八十六【甲】七十【乙】　一百二十六【丙】一百九十八【丁】四　一百四十三　　三十五　　六十三　　九十九问三商共银七百六十两分之则甲得十分乙得七分丙得二分各若干其法并甲乙丙衰为第一率以银数为第三率 　　一　一十九【甲一十乙七丙二共此数】 　　二　七百六十 　　三　一十【甲】　　　　　七【乙】　　　　　二【丙】 　　四　四百　　　　　　二百八十　　　八十问应徴粮七十三石二斗派令三等人户照分摊出上等二十五户每户作五分办中等四十户每户三分办下等六十户每户一分办各户若干各等共若干法以各分各户相乗倂之【以五乗二十五得一百二十五以三乗四十得一百二十下等六十无乗共三百零五】为一率以总粮为二率以各衰【五三一】为三率推得三等户所应出分数再以各户数乗之得各等共数 　　一　三百零五 　　二　七十三石二斗 　　三　五　　　　　　　三　　　　　　一 　　四　一石二斗　　　　七斗二升　　　二斗四升三十石【上】　　　二十八石八斗【中】一十四石四斗【下】 　　问硃砂每斤三两六钱石青每斤二两四钱今有银一千二百两议买硃青二色硃数比青増一倍各斤数与价若干法因硃砂加倍即倍其价【三两六钱】为七两二钱倂青价【二两四钱】共九两六钱为一率以总银为二率以各价为三率推得斤数为四率再各以价乘之 　　一　九两六钱 　　二　一千二百两 　　三　三两六钱　　　　　　　二两四钱 　　四　二百五十斤价九百两　　一百二十五斤价三百两问绫毎尺价银九分二厘罗毎尺八分五厘绢每尺三分六厘今有银一百二十一两一钱七分五厘买绫一停罗二停绢三停各实数与价若干法用二乘罗价【一钱七分】三乘绢价【一钱八厘】并绫价共三钱七分为一率总银为二率各价为三率得四率为各实数各以原价乘之一　三钱七分 　　二　一百二十一两一钱七分五厘 　　三　九分二厘　　　　八分五厘　　　　三分六厘四　三十二丈七【尺五寸绫】六十五丈五尺【罗】九十八丈二【尺五寸绢】三十两一钱三分　五十五两六钱【七分五厘】三十五两【三钱七分】 　　问芝蔴每三斗换米五斗每米五斗抵豆七斗今有芝蔴四百五十石换米豆共九百一十石各用芝蔴若干所换米豆各若干法用重准先并米五豆七共一十二为首率以芝蔴总数为二率分列米五豆七为三率求得芝蔴合换米　各数以为重准之第三率以米　共数为二率芝蔴总数为首率求得米　各数 　　一　一十二　　　　　　　　　四百五十石 　　二　四百五十石　　　　　　　五　　　　　　七 　　三　五　　　　七　　　一百　【八十七石五斗】二百　【六十二石五斗】四　一百八十七【石五斗以换米】二百六十二【石五斗以换豆】二百九十【七石五斗】六百一十【二石五斗】问银一千零八两买丝三停绵二停线一停共三百六十两其价线一两抵绵一两六钱抵丝二两欲知三色并价各若干者并各衰【丝三绵二线一共六】置第一数以总银为第二率分各衰列第三率推得第四率是各色数乃照前价取丝【一百八十两】以二十除之得九十衰取绵【一百二十两】以一十六除之得七十五衰并线六十衰共二百二十五为法除总银得线价以一十六除线价得绵价以二十除线价得丝价 　　一　六 　　二　三百六十两 　　三　三【丝】　　　　　二【绵】　　　　　一【线】 　　四　一百八十两　　一百二十两　　六十两二两二钱四分【丝价】二两八钱【绵价】　四两四钱八分【线价】 　　问氷片毎两价二两七钱五分沉香每两价银三钱五分竒南每两价银八钱有人以沉香一十七斤三两又有人以竒南一十三斤十二两各欲换氷片若干法置氷片价为首率化沉香竒南斤数为两置次率各价为三率 　　一　二两七钱五分 　　二　二百七十五两　　　　二百二十两 　　三　三钱五分　　　　　　八钱 　　四　三十五两【沉香所换】　　六十四两【竒南所换】问养军二万五千二百名月粮米麦豆兼支米每四名支三石麦每九名支五石豆每七名支八石各几何即以七九四各列第一率以军总数为二率以八五三列三率 　　一　七　　　　　　九　　　　　四 　　二　二万五千二百名 　　三　八【豆】　　　　　五【麦】　　　　三【米】 　　四　二万八千八百石　一万四千石　一万八千八百石问刻漏一壶贮水令漏开三孔其一孔最大漏水二时而尽一孔次之三时而尽一孔最细六时而尽假如三孔俱泄则几刻水尽其法先以三孔与时刻相较以各时为第一率以一壶为二率以最小时为第三率要见大孔二时漏尽一壶则六时漏尽三壶其余仿此而推 　　一　二时【大】　　　　三时【次】　　　　六时【小】二　一壶 　　三　六时 　　四　三壶　　　　　二壶　　　　　一壶 　　又法总而计之凡六时漏尽六壶知三孔俱开则其水一时漏尽只以分数算之 　　一　二时　　　　　三时　　　　　六时 　　二　一壶 　　三　一时 　　四　二分水之一　　三之一　　六之一【积之共一壶即是一时尽一壶也】右三数偶满一时其法易算若并有竒零者另法求之假如累台一座甲六年完工乙九年完工丙十八年方完今三人同累须几时可完此先知每人每年所为之工得若干而总算之六年者每年得六分之一其九年者每年得九分之一其十八年者毎年得十八分之一依并法毎年共得三分之一约计三年通完三年之内甲成二分之一乙成三分之一丙成六分之一共足十分之数 　　问漏壶一座上有渇乌注水下有天池水今塞其下窍注水于壶四时而水满开其下窍泄水壶外六时而泄尽若使上注下泄相并则此壶须几时可满法以四时为一率以一壶为二率以一时为三率测之而得一时之所注【四分壶之一】又以六时为一率一壶为二率一时为三率亦得一时之注【六分壶之一】乃以四之一减六之一得十二之一于是又以十二之一为第一率以一时为第二率以一壶为第三率得四率【以十二时注满】凡用准测法者三 　　一　四时　　　　六时　　　　十二分壶之一 　　二　一壶　　　　一壶　　　　一时 　　三　一时　　　　一时　　　　一壶 　　四　四分壶之一　六分壶之一　十二时 　　问塞下窍四时水满通下窍六时水尽今上注下泄则四个时满几分曰六时尽者四时泄三分之二以除全壶余三分之一为水满数又问如此则几时可满一壶曰依前法当以十二时满又问假如塞下窍注上窍三时而满塞上窍开下窍八时而尽若上注下泄须几时可满曰以三时满者一时之率三之一以八时尽者一时之率八之一就三之一减八之一余二十四之五为一时之率则全壶得四时零五分时之四也又问一壶既以三时而满假如四时又五分时之三可满几壶曰满一壶又十五分壶之八又问八时尽一壶若四时又五分时之四该几何曰此五分壶之三即于前数一时满一壶者除之便得问八时尽一壶三时得几何曰三时泄得八分之三以除前壶余八分之五是三时满八分之五又问三时满八分之五则全壶几时满曰四时零五分时之四 　　同文算指通编卷二 <子部,天文算法类,算书之属,同文算指__通编> 　　钦定四库全书 　　同文算指通编卷三 　　明　李之藻　撰 　　合数差分法第四下 　　问四人共分金七百八十五两多寡不同乙得甲十之七丙得乙十四之三丁得丙十二之九各实数防何其法先并各衰杂数【甲一十则乙七乙十四则丙三丙十二则丁九】并各子以乘各母从小数并起除丁九无并其丙衰系十二又系三则以十二并三依约法三四一十二且作四以乘乙之十四得五十六为乙衰乙系五十六又系七则以五十六并七依约法七八五十六且作八以乘甲衰之十得八十为甲衰已得各衰并数【丁九丙十二乙五十六甲八十共一百五十七数】为第一率以银总数为第二率以各衰为第三率一　一百五十七数【并衰】 　　二　七百八十五两【总银】 　　三　九【丁衰】　　十二【丙衰】　五十六【乙衰】八十【甲衰】四　四十五两　六十两　　二百八十两　四百两问发兵百人外有领队四人旗牌六人共破一寨得器械七万二千四百件即以充犒旗牌比领队得八分之五兵比旗牌得五分之三各该得若干其法衰作八五三【兵三旗牌五又合三五成八得领队之衰】各以本数乗本衰【领队四乘八得三十二旗牌六乘五得三十兵百乘三得三百】合总数为第一率所获数为第二率各衰所乘三宗为第三率 　　一　三百六十二【并各衰乘数】 　　二　七万二千四百 　　三　三十二【领队】　　三十【旗牌】　　　三百【兵】 　　四　六千四百　　　六千　　　　　六万