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问试以三十数随手剖为二以其一加六十以其一加二十而加六十者为加二十者之三之二其剖分之数各防何此取三十而随意剖之且借二十为甲数列左上列乙一十于次而各如问加焉察其数【甲二十加六十得八十乙一十加二十得三十】甲视乙固不足三之二【乙三十则甲之三分二者该九十今却八十】以不足一十列左下又借二十四为甲数列右上亦列乙六于其次各加如问而察其数【甲二十四加六十得八十四乙六外加二十得二十六】甲又盈乙三之二【乙二十六则甲之三分二者该七十八今却八十四】以盈六列右下盈不足积并为法次以左上乘右下以右上乘左下并为实以法除实得二十二又二之一为甲数然后求三之一则七零二之一为乙数也
问甲乙丙三数甲加七十三得为乙丙数者二乙加七十三得为甲丙数者三丙加七十三得为甲乙数者四其实数各防何此因有三之二及四之三当借竒数为通数以求甲数而又因乙丙之加牵连难析则叠用前法以征之且如借一乃奇数也以当甲列左上【左图】加七十三【共七十四】当兼乙丙而倍之【既以七十四为兼乙丙且倍之则乙丙当仅得其半共得三十七】因以折半三十七为乙丙数而乙与丙又衰分焉【乙加七十三又得甲丙三之二因寻乙所衰于丙者】依前法随意衰之为两如借二为乙衰另列于左上【右图】则丙系三十五矣列左次乃以二加七十三【得七十五】以较甲丙合数未足三之二【甲一丙三十五共三十六则其三之二乃该一百零八今乙衰二加七十三只有七十五】尚缩三十三列左下又借五当乙【三十七中之五】列右上则丙系三十二矣列右次乃以五加七十三【得七十八】以较甲丙有三之二否不足二十一【甲一丙三十二共三十三则其三之二该九十九今乙衰五加七十三只七十八】列右下两不足相减余为法而以左上乘右下以右上乘左下相减余为实法除实得一十零四之一为乙实乃列乙实于左图初借立一之次既已得乙实即得丙实【乙丙共三十七也乙得一十零四之一则丙得二十六零四之三】列于又次
又另借三为甲衰列右上加七十三【共七十六】以其半为乙丙衰【得三十八】而随意分之为两另作一法如前焉如以二为乙衰列左上其余三十六乃丙衰列左次即以乙衰之二加其七十三【得七十五】与甲丙相较是三之二否不足四
十二【甲三丙三十六共三】
【十九其三分之二乃一百十七】
【也今乙衰加之只七十五】即
以不足列左下
另借二十三为乙衰列右上其半十五为丙衰列右次以乙衰二十三加七十三【得九十六】与甲丙相较是三之二否又盈四十二【甲三丙十五共十八其三分之二当是五十四今乙衰之数与加数却有九十六】以盈列右下盈与不足相并为法仍以左上乘右下以右上乘左下而相并为实以法除实得一十二零二分之一为乙实乃列乙实于前所借甲三之次因得丙实【乙丙共三十八乙既得一十二又二分之一则丙得二十五零二分之一】亦列于又次俱照前式
乃依所问察之甲加七十三要兼乙丙数又多一倍乙加七十三要得甲丙数者三丙加七十三要得甲乙数者四
如右图左上甲衰及所加【共七十四】已兼乙丙之数与其倍数【乙丙共三十七兼而倍之则七十四也】左次乙衰所加【共八十三又四之一】亦兼甲丙数之三【甲丙共二十七又四之三以加二倍合乙衰】俱合原问惟左又次丙衰及所加【共九十九零四之三】以合甲乙【共十一零四之一】如原问但欲得甲乙数者四只须四十五今却九十九零四之三乃盈五十四零四之三到此不合矣仍依互乘之法求之右上甲衰及所加【共七十六】亦合乙丙兼数与倍数【乙丙共三十八兼倍之则七十六也】右次乙衰及所加【共八十五半】合甲丙亦具三因【甲丙共二十八半三因之得八十五半】惟右又次之丙衰及所加【共九十八零半】以合甲乙【共十五又二之一】以四因之当得六十二今却九十八零二之一乃盈三十二零二之一也不合原问仍依互乘之法求之 于是以左上甲衰乘右下以右上甲衰乘左下相减余为实以左下右下相减余为法除之得七为甲衰如欲得乙衰则以乙之左右上下互乘相减以法除之得一十七为乙衰如欲得丙衰亦以丙之左右上下互乘减除得二十三为丙衰
问设有一数以与三相乘外加一十又以此乘四外加二十又乘五外加三十又乘六外加四十即共得六千七百此其原设数防何其法先借二为主列左上以乘三【得六】外加十【共十六】又与四相乘【六十四】加二十【共八十四】又与五相乘【四百二十】加三十【共四百五十】又与六相乘【二千七百】加四十【共二千七百四十】以此所问数【六千七百】不足三千九百六十列左下次借三列右上以乘三【九】外加十【共十九】又乘四【七十六】外加二十【共九十六】又乘五【四百八十】外加三十【五百一十】又乘六【三千六十】外加四十【共三千一百】以比所问数【六千七百】不足三千六百列右下两不足相减余为法除之得一十三系原设
右法已除得十三者与三相乘【三十九】加一十【四十九】又与四相乘【一百九十六】加二十【共二百一十六】以乘五【一千八十】加三十【共一千一百一十】以乘六【六千六百六十】加四十实得六千七百合问问二人共分银一百两不得其均若均分则每人当五十两然须甲还所得银三之一乙又还所得银五之一方得每人五十两其不均之分各得若干先借三十两为甲衰列左上亦列乙衰七十于次乃减甲三之一【减一十存二十】亦减乙五之一【一十四】而以乙减归甲【甲二十加乙十四共三十四】以比五十不足一十六列左下另借六十为甲衰列右上亦列乙衰四十于其次乃减甲三之一【减二十存四十】亦减乙五之一【八】而以乙减归甲【甲四十加乙八共四十八】不足二列右下两不足相减余为法以左上乘右下以右上乘左下相减余为实以法除实得六十四两零七分两之二为甲衰就一百两内减甲衰余三十五两又七分两之五为乙衰合原分不均
之数
问二人共分银一百两未得其均须甲损所得三之一乙亦捐所得四之一和合平分乃各得五十两其未均之数各若干先借六十为甲衰列左上亦列乙四十于左次乃减甲三之一【减二十存四十】减乙四之一【减一十存三十】和所减【甲二十乙一十共三十】而均分之【各得十五】以甲所得十五合减存四十之数【甲原存四十加十五得五十五】以比五十盈五数列左下另借二十四为甲衰列右上亦列乙衰七十六于右次乃减甲三之一【减八存一十六】减乙四之一【减一十九】和所减【甲八乙一十九共二十七】而均分之【各得十三零二之一】以甲所得一十三半之数合减存一十六数【共二十九半】以比五十不足二十半列右下盈不足相并为法右上乘左下左上乘右下相并为实以法除实得五十二两零十七分两之一十六为甲衰其余四十七
两又十七分
两之一为乙衰
问以一千剖为二甲多于乙四十九作何剖之其法借六百为甲衰列左上亦列乙四百于次相较差二百以比四十九则盈一百五十一列左下另借五百五十为甲衰列右上亦列乙四百五十于次相较差一百以比四十九则盈五十一列右下两盈相减余为法以左上乘右下右上乘左下相减余为实以法除实得五百二十四零二分两之一为
甲衰余
为乙衰
问香罏二座其葢重一百五十斤以葢加甲罏则多于乙二倍以葢加乙罏则与甲罏正等此二罏各重若干其法借三十为甲衰列左上葢一百五十列左次共一百八十又列其次以三之一为乙衰得六十以乙加葢【得二百一十】比甲衰三十盈一百八十列左下另借九十为甲衰列右上葢一百五十列左次共二百四十又列其次取其三之一为乙衰得八十以乙加葢【二百三十】比甲衰九十盈一百四十列右下两盈相减余为法左右上下互乘仍相减余为实以法除实得三百斤为甲罏以加葢得四百五十斤其三之一得一百五十斤为乙罏
问香罏二座有一葢其葢重百两加甲罏则其重比乙多二倍加乙罏则其重比甲多一倍此二罏各重若干其法借五十为甲衰列左上葢数一百列左次共一百五十又列其次而以其三之一五十为一衰【因甲加葢多乙二倍故】加葢【得一百五十】比甲衰【五十】盈五十列左下【既倍甲五十只该一百今却一百五十故盈五十】另借一百一十为甲衰列右上葢数一百列右次共二百一十又列其次而以其三之一为乙衰【七十】加葢【一百七十】比甲衰【一百一十】不足五十列右下【倍甲一百一十即该二百二十今却一百七十故不足五十】盈不足相积为法左右互乘积为实以法除实得八十两为甲罏其加葢三分之一得六
问有人买鹌鹑不知其数但云以其二之一加三之一又加四之一再加二十二共得一百此是防何其法借一通数可以二三四分之者为主先借十二列左上而以二之一【六】三之一【四】四之一【三】并之得十三再加二十二共得三十五以比一百不足六十五列所不足于左下另借六十列右上而以二一【三十】三一【二十】四一【十五】并之得六十五加二十二共得八十七以比一百不足一十三列所不足于右下两不足相减为法左右互乘相减为实以法除实得七十二为所问之数以其二之一【三十六】三之一【二十四】
四之一【一十八】再加
二十二共一百只
问二商各擕毋银未知其数但云取乙十二两与甲则乙有甲六之一取甲十五两与乙则甲有乙十之一其实数若干法从乙起算先借二十两为乙衰列左上内减十二【余八】以当甲六之一用六因求甲【六八四十八】内还乙所加【十二】存数三十六又捐十五与乙【甲剩二十一其乙原余八又取甲十二共二十今又加得三十五】以甲剩数较乙加数甲是乙十之一否【甲二十一则乙当二百一十今乙只三十五】不足一百七十五列左下另借一百为乙衰列右上内减十二【得八十八】以六因求甲衰【五百二十八】亦还所加【十二】存数五百一十六内除十五与乙【甲剩五百一乙原余八十八又取甲十二 共一百今加十五该一百一十五】以乙较甲甲是乙十之一否【甲五百一则乙当五千一十今乙只一百一十五】不足四千八百九十五列右下两不足相减为法左右上下互乘相减余为实以法除实得十七两零五十九之二为乙毋内捐十二两与甲则实得五两又五十九之二以六因求甲得三十两零五十九之十二内亦减十二实得十八两零五十九之十二再捐十五两与乙加乙原数十七两又五十九之二共得三十二两零五十九之二以十之一约
问二人所各携银不知其数但云减乙六两与甲则甲多乙一倍减甲三两与乙则与乙正等各实数几何从乙多数起算先借一十五两为乙衰列左上内减六存九以当甲之半则甲该一十八内又除所加六得十二为甲衰正数内减三与乙则甲剩者九以甲所剩九较乙衰十五及所加之三乃盈九【甲九乙十八也】列所盈于左下另借二十为乙衰列右上内减六存十四倍之为甲衰当是二十八亦减所加六实得二十二为甲衰正数若取三与乙则甲剩十九以甲之十九较乙之二十及所加之三又盈四【甲十九乙二十三】列盈数于右下两盈相减为法左右上下互乘相减余为实以法除实得二十四为乙衰内减六与甲余倍之得三十六甲先借六与乙则甲之本数只三十矣就三十之内减其三两并入乙二十四两为二十七甲三十减三亦二十七故其数正等
问漏壶一座注水其中下有三孔其甲孔流水二时而尽乙孔流水三时而尽丙孔流水六时方尽若三孔俱开则防时水尽且借四时为用列左上而各据其孔之大小流水之迟速测之【甲二时一壶则四时当尽二壶乙三时尽乙壶则四时当尽一壶零三之一丙六时尽一壶则四时当尽三分壶之二】得数并计之共以四时尽四壶而所问者一壶也为盈三列左下另借十时为用列右上亦以时推其多寡【甲二时一壶则十时该五壶乙三时一壶则十时该三壶零三之一丙六时一壶则十时该一壶零三之二】得数并计共以十时尽十壶比原问一壶又盈九列右下两盈相减剩六为法上下左右互乘相减亦得六为实以法除实得一是二孔俱开则壶
水一时
泄尽也
问漏壶一具上有渇乌注水凡十二时而满下有窍通天池泄水凡十八时而水尽若上注水下泄水当几时水可满且借二十为满候列上以推注泄之时已知下泄十八时尽一壶则二十时当尽一壶零九分壶之一而其上注二十时必能满至二壶九之一方与此合乃且注且泄只有一壶三之二不足九分壶之四列左下另借三十时为满候列右上而各推其时已知下泄十八时尽一壶则三十时当尽一壶零三之二而其上注三十时必须满至二壶三之二方与此合而又不然只满二壶半亦不足六分壶之一列右下两不足相减余为法乃以右上乗左下以左上乗右下减余为实以法除之
问甲匠做工三十日完加乙匠则十八日完若独用乙匠须几日完先要知甲匠十八日所做之工乃三十日内五分之三则知乙匠十八日之工乃其五分之二也试借四十日为乙衰列左上以十八日完五之二推之则四十日完九分工之八不足九之一列左下别借六十日为乙衰列右上亦以十八日五之二推之则六十日完全工外又溢九之三列右下两盈不足相并得九之四为法次以左上乗右下右上乘左下相并得九之一百八十为实以法除实得四十五日完工
右乙匠十八日完五分工之二所少五之三者算该二十七日完以二十七加一十八是四十五也
问甲乙丙三人共博甲赢乙金二之一乙赢丙金三之一丙又赢甲金四之一事毕各剰金七百两三人原携母金若干法已知三人原共金二千一百两【三个七百】三分之当于甲衰七百内与丙四之一又得乙二之一于乙衰当加入丙三之一又与甲二之一于丙衰当得甲四之一又与乙三之一乃先借一百两为甲衰列左上内除四之一【二十五】该存七十五而总有七百两是所赢于乙者为六百二十五两而乙衰当为一千二百五十两矣列左次内输去二之一则所剰当亦为六百二十五两又赢丙三之一而为七百两则亦得丙七十五两而丙所携母为二百二十五两矣又列其次内输与乙三之一尚存一百五十加入得甲四之一【二十五】共得一百七十五两以较原问不足五百二十五列左下别借二百为甲衰列右上内除四之一【五十】剰一百五十而总有七百以乙二之一足之则知乙衰二之一该五百五十两而乙总数为一千一百两矣列右次内输与甲二之一当剰五百五十两又以丙三之一足之而为七百两则亦得丙一百五十两而丙所携母为四百五十两矣又列其次内输与乙三之一尚存三百两加所得甲四之一【五十】仅得三百五十两比原问不足三百五十列右下两不足相减剰为法左右上下互乘相减剩为实以法除实得四百为甲母推知乙母八百【以甲四百减四之一存三百加入乙二之一该増四百是知乙母八百】丙母九百【以乙八百减二之一存四百加入丙三之一该増三百是知丙母九百也甲母四百赢四百输一百乙母八百输四百赢三百丙母九百输三百赢一百俱剰七百而三人所携与所赢所输皆得矣】
问甲乙丙三商共贩得子银四百两依母银分之乙比甲多分十二两丙比乙多分十六两要知各分若干先借一两为甲衰列左上推得乙该十三两丙该二十九两共四十三两以视四百不足三百五十七两以次列左下别借二两为甲衰列右上推得乙该十四两丙该三十两共四十六两以视四百不足三百五十四两以次列右下两不足相减剰为法左右上下互乘得数减剰为实以法除实得
一百二十为甲衰以
推乙衰一百三十二丙
衰一百四十八合问
问调兵征倭内有南北西三处兵马南兵四万北兵为南兵及西兵二分之一西兵为南兵北兵三分之一要知北兵与西兵各若干并南兵共若干先借三万为北衰列左上推得南西二兵共该六万而西兵仅该二万列左次若为南北三之一则南北共只六万而实七万是盈一万也列左下又借二万四千为北衰列右上推得南西二兵共该四万八千而西兵仅该八千列右次若为南北三之一则南北共只二万四千而实六万四千又盈四万也列右下以盈相减剰数为法上下左右互乘得数亦相减剰为实以法除实得三万二千为北衰推知西兵二万四千总共九万六
千而北得
南西二之
一西得南
北三之一
问黄金百斤制罏一座既成虑匠人盗金和银销毁验之恐伤工本欲知和银若干法以器贮水令满已知水防斤乃以金罏百斤入器内溢水六十五斤加水令满别以纯金百斤入之溢水六十斤另贮满水以银百斤入之溢水九十斤今借银四十斤为匠所换数列左上存金六十斤列左次其罏溢水六十五斤若以纯金只溢六十斤推之实在罏内之金六十斤只该出水三十六斤又以纯银溢水九十斤推之所和之银四十斤亦该出水三十六斤共该溢七十二斤今视原数【六十五斤】盈七斤列左下又借银三十斤为匠所换数列右上存金七十斤列右次以纯金溢水六十斤推之则罏金七十斤该出水四十二斤又以纯银溢水九十斤推之则和银三十斤该出水二十七斤共该溢六十九斤今视原数【六十五斤】又盈四斤列右下两盈相减剰为法左右上下互乘得数减剰为实以法除实得一十六斤零三分斤之二为匠人盗和银数其实在纯金乃八十三斤三分斤之一也葢比例推之金百斤溢水六十斤则八十三斤及三分斤之一该出水五十斤银百斤溢水九十斤则一十六斤及三分斤之二该出水一十五斤合之得六十五斤合问
问绫七尺罗九尺两价适等其每尺之价罗少于绫者其较三十六文此绫罗各价若干是为匿价衰分法先借七十二文为绫价列左上则罗价当三十六文列左次各以尺数乘之【绫七尺得五百○四文罗九尺得三百二十四文】罗视绫不足一百八十文不相等也又列其下别借一百文为绫价列右上则罗价当六十四文列右次各以尺数乘之【绫七尺得七百文罗九尺得五百七十六文】罗视绫不足一百二十四文亦不相等也又列其下以两不足相减余为法乃以左上乘右下右上乘左下得数亦相减余为绫实以法除之得绫每尺价一百六十二文再以左次乘右下右次乘左下各得数相减余为罗实以法除得罗每尺价一百二十六文又各以尺数乘之绫七尺共一千一百三十四文罗九尺亦一千一百
三十四