历算全书 - 第 28 页/共 206 页

三　初得数　　甲干 　　四　【余减次数之余】　甲艮 　　末以所得甲艮转减次数午巳得对弧余卯已检表得对弧丁庚之度 　　一系　半浑员面所成斜三角形左右皆相对如左锐角者右必钝也对边左小者右必大也角旁之边左为同类者右必异类也【角旁两弧一居员周一居圆面此员面弧线左右所同用也而员周之弧左右有大小故同于左者不同于右】 　　加减法【以代乗除】 　　初数次数并以乘除而得今以总弧存弧之余相加减而半之即与乗除之所得脗合法简而妙而甲数乙数之用亦从此生矣 　　总法曰凡两弧相并为总弧相减为存弧【存弧一曰较弧】总弧存弧各取其余以相加减成初数次数　法曰视总弧过弧限则总存两余相加总弧不过象限则相减皆折半为初数【即原设两弧之正相乗半径除之之数】以初数转减存弧余即为次数【即原设两弧之余相乗半径除之之数】又法【总弧过象限两余相减不过象限则相加并折半为次数】又法【初数以相加成者以总弧余减初数以相减成者以总弧余加并加减初数为次数亦同】 　　又取总弧存弧之正相加减成甲数乙数　法曰以总存两正相加折半为甲数【即原设大弧正乗小弧余半径除之之数】总存两正相减折半为乙数【即原设小弧正乘大弧余半径除之之数】又法【以存弧正减甲数其余为乙数亦同】又法【以甲数减总弧正即得乙数】 　　总弧在象限内两余相减 　　大弧丙寅　小弧辰丙【即丑丙】　二弧相加为总弧辰寅相减得存弧丑寅　丑寅存弧之余丑癸【亦即丁乙】 　　辰寅总弧之余卯辰【即癸子亦即乙午】　两余相减【丑癸内减 　　子癸存丑子或乙丁内减乙午存午丁】其余 　　半之【丑子半之于壬成壬丑即亥丁】为【丙寅 　　辰丙】二弧两正相乗半径 　　除之之数即初得数也 　　以初得数转减存弧之余 　　【以壬丑减丑癸其余癸壬亦即亥乙】其余 　　为大小二弧两余相乗半径除之之数即次得数也论曰丙辛大弧之正也丑戊小之正也以句股形相似之故乙丙半径【】与丙辛正【股】若丑戊正【小】与丑壬初得数也【小股】其半而得者何也曰辰戊同丑戊则戊巳亦同丑壬而壬子即已戊则子丑者初得数【壬丑】之倍数故半之即得　辛乙大弧之余也戊乙小弧之余也乙丙半径【】与辛乙余【句】若戊乙余【小】与亥乙次得数也【小句】又以存弧余内兼有初得次得两数故减初得次也【丑癸余内有丑壬初数癸壬次数故减丑壬即得癸壬也或于乙丁内减亥丁得亥乙并同】 　　以上用总存两余加减 　　又丑寅存弧之正丑丁【即午子或癸乙】辰寅总弧之正辰午【即卯乙】两正相加半之为大弧正乗小弧余半径除之之数即甲数也　以甲数转减总弧之正【以午已减辰午其余巳辰亦即卯未】是为大弧余乗小弧正半径除之之数即乙数也 　　论曰乙辛大弧之余也辰戊小弧之正也以两句股形同比例之故丙乙半径【】与乙辛余【句】若辰戊正【小】与辰已乙数也【小句】 　　又丙辛大弧之正也戊乙小弧之余也而丙乙半径【】与丙辛正【股】若戊乙余【小】与戊亥甲数【小句】也又以总弧正内兼有甲乙两数故减乙得甲减甲亦得乙矣【辰午正内有辰巳乙数巳午甲数故减辰巳得巳午若减巳午亦必得辰巳】 　　以上用总存两正加减 　　若以酉丙为大弧丙丑为小弧则其总弧酉丑【正丑丁余丑癸】其存弧辰酉【正辰午余卯辰】但互易存总之名其他并同论曰凡过象限之弧与其减半周之余弧同用一正如丙酉过弧以减半周得丙寅所用正【丙辛】余【辛乙】皆丙酉弧与丙寅弧之所同也故但易总存之名而正余加减之用不变又法　凡过象限之弧即截去象限用其余度如法加减但以总弧为存弧存弧为总弧而总存之余为正正为余如酉丙过弧截去酉甲象限只用丙甲为大弧与丙丑小弧相加减则丑甲为总弧其正丑癸余丑丁而辰甲为存弧其正卯辰余辰午是总存正余名皆互易也法以总存两正相减而其余折半为甲数【丑癸内减卯辰余丑子半之得丑壬为甲数】仍以甲数转减总弧正【甲数丑壬转减丑癸其余癸壬即乙数】是其名虽易而其实不易也但横易为直 　　论曰去过弧之象限而用之则过弧之正为余余为正矣故加减而得之数皆两弧之正乘余余乘正之数而非复正乗正余乘余之数也何也过弧之正余互易而小弧之正余如故也 　　如丙酉过弧去象限为丙甲则其正丙庚即过弧之余也【丙庚即辛乙故】其余庚乙即过弧之正也【庚乙即丙辛故】而小弧丙丑之正丑戊余戊乙皆如旧故先得之丑壬为大弧余丙辛乘小弧正丑戊而丙乙半径除之也非两正相乘也乙数转减正而得之亥乙【即癸壬亦即戊未】为大弧正辛乙乘小弧余戊乙而半径除之也非两余相乘也 　　又论曰又法即测夜时篇中测星距午之第二法也加减代乗除只此一例而絶不与七卷八卷之乘除求初数次数者相虽有学者何从悟入乎愚故为之详説以发其覆 　　又论曰元法依图直看直者正横者余又法正余互易则图当横看变立体为眠体本以总存两余加减者变为两正加减然其数并同 　　又论曰又法是用大之余度而小弧则用元度何以言之测星条用星之赤纬即去极之余度也其用赤道髙则极去天顶之元度也然而赤纬在南者则是于星去极度截去象限之数也何以亦为余度曰过弧既与其减半周之余度同一正则此减半周之余度亦即正弧也然则此截去象限而余者非即正弧之余度乎大弧过象限若干度与不及象限若干度其正并同故加减可通为一法【此又测星条用法之意】 　　约法 　　两弧俱用本度或俱用余度相加减以取总存二弧是两正或两余也则用总存两余加减法取初得数惟视总存二弧俱在一象限则相减或分跨两象限则相加皆以初数减存弧之余为次得数 　　若两弧内有一过弧则总弧之正小于存弧而余反大当以初数减总弧之余为次数 　　若一弧用本度一弧用余度相加减以取总存之弧是一正一余也则用总存两正加减法其加减皆眎两正原法或加或减取甲数即以甲数减总弧正余为乙数 　　若过弧节去象限而用其剰度与余度同法【凡余度是以本度减象限而得名今反以象限减过弧故别之曰剰】 　　若两俱剰弧与两余弧同法 　　若只一剰弧与一正一余同法 　　论曰过弧用剰度为余弧其法甚简快凡过弧皆当用之可不用本度矣【算普天星经纬岁差宜此】 　　又按凡存弧之余内兼有两正相乗两余相乗两数即初次两得数也凡总弧之正内兼有此正乗彼余彼正乗此余之数即甲乙两数也故易其名以别之也 　　大弧寅丙正丙辛余 　　辛乙　小弧辰丙【即丑丙】正 　　辰戊【即丑戊】余戊乙 　　二弧相加为总弧辰寅正 　　辰午余午乙　相减 　　为存弧丑寅正丑丁余 　　丁乙　存总两余【午乙丁乙】相并成午丁半之于亥成亥丁即初得数大小二弧两正【丙辛辰戊】相乗半径除之之数也　以初得数亥丁转减存弧之余丁乙余亥乙即次得数大小二弧两余【辛乙戊乙】相乗半径除之之数也 　　论曰以句股形相似之故丙乙半径与丙辛正若戊丑正与初数丑壬【即亥丁】也皆比股也 　　又丙乙半径与辛乙余若戊乙余与次数亥乙也皆比句也 　　以上用总存两余加减因总弧跨过象限故相加 　　又存弧正丑丁与总弧正辰午相加成辰干【以午干等丁艮亦即丑丁也】折半得巳午【即戊亥　辰子折半为巳子子干折半为午子合之成巳午】为甲数大弧正丙辛乗小弧余戊乙半径丙乙除之也 　　以甲数已午转减总弧正辰午余辰巳为乙数大弧余辛乙乗小弧正辰戊半径丙乙除之也 　　以上用总存两正加减 　　若用酉丙过弧为大弧丙丑为小弧则其总弧酉丑存弧酉辰但互易存总之名其它并同以过弧酉丙所用之正丙辛余辛乙即丙寅弧所同用故也 　　又法 　　于酉丙过弧内截去象限酉甲只用其剰弧甲丙则甲丙反为小弧丙丑反为大弧【説见前条】 　　图式三 　　总弧在象限内两余相 　　减　乙丙小弧其正丙 　　辰余辰已　丁乙稍大 　　弧其正丁甲余甲巳 　　戊壬初得数【两正相乗半径除】 　　【也即庚甲或戊卯】　午戊次得数 　　【两余相乗半径除也即巳癸】　今改用加减以省乗除　以二弧相加成总弧丁丙其正子丁余子巳　又二弧相较成存弧壬丙其正壬辛【卽午巳】余辛巳【卽壬午】 　　于存弧之余辛巳内减去总之余巳子存子辛半之于癸得子癸及辛癸皆初得数也亦卽戊壬也【或于壬午丙减午卯半之于戊得卯戊及戊壬亦同亦即庚甲也】　又于存弧余辛已内仍减去初得数辛癸存癸已即次得数也【壬午内减戊壬存午戊亦同】 　　此因总弧在象限内故以总弧余减存弧余求初数是初数小于次数 　　解曰以句股形相似之故己丙半径【】与丙辰正【句】若丁甲正【】与甲庚初数也又壬甲等甲丁故庚甲亦等戊壬而戊卯即庚甲故可以半而得之也 　　又已丙半径【】与辰已余【股】若甲已余【】与巳癸次数【股】也 　　右系总存两余用法 　　又丁庚为甲数【丁甲大弧正乗辰巳小弧余半径除之也亦即庚卯即甲戊】　子庚为乙数【辰丙小弧正乗甲巳大弧余半径除之也即癸甲】 　　今改用加减法以存弧正子卯【即辛壬】加总弧正子丁成卯丁而半之于庚得丁庚为甲数【亦即庚卯即戊甲】　仍于总弧正丁子内减去甲数丁庚存子庚【即癸甲】为乙数 　　此亦总弧在象限内亦总存两正相加求甲数是甲数大于乙数 　　解曰以句股形相似之故已丙半径与辰巳小弧余若丁甲大弧正与甲数丁庚皆与股之比例也又丁甲等壬甲故戊甲亦等丁庚而戊甲即庚卯故可以半而得之也 　　又巳丙半径与丙辰小弧正若甲已大弧余与乙数甲癸【即子庚】皆与句之比例也 　　右系总存两正用法 　　一系　凡两弧内无过弧则存弧之余大故其中有初次两数而总弧则正大故其中有甲乙两数虽两数相加能令总弧跨过象限此理不变余仍系存弧大正仍系总弧大 　　总弧过象限两余相加 　　乙丙小弧正辰丙余 　　辰已　乙丁过弧正 　　丁甲余甲已　初得数 　　戊丁【半径除两正矩即子癸亦即癸辛亦即 　　庚甲】　次得数癸巳【半径除两余矩】 　　今用加减代乗除以二弧相加成总弧丁丙正丁子余子已　又二弧相较成存弧壬丙正壬辛余辛巳　乃以总存两余相加成子辛【子巳加辛巳】而半之于癸得子癸及癸辛【亦即丁戊即庚甲】初得数也　又以初数子癸转减总弧之余子已余癸巳次得数也【此因总弧跨过象限故两余相加求初数是初数大于次数】 　　解曰以句股形相似故半径已丙与正丙辰若正丁甲与初数丁戊皆与股之比例也　又半径丙已与余辰已若余甲巳与次数癸已皆与句之比例也　又壬甲等丁甲则庚甲亦等戊丁而辛癸亦等子癸故半而得 　　右用总存两余加减 　　又甲数丑甲小弧余辰已乗过弧正丁甲半径除之也　乙数癸甲小弧正辰丙乗过弧余甲巳半径除之也 　　今用加减搃存两正相加成丑戊【癸戊与正丁子等丑癸与正辛壬等故以相加即成丑戊】半之于甲得丑甲【亦即甲戊】为甲数　仍以甲数丑甲转减存弧正丑癸余癸甲为乙数【或以总弧正癸戊减甲数甲戊亦即得乙数癸甲】 　　此亦总弧跨象限外仍系总存两正相加求甲数【甲数仍大于乙数】 　　解曰半径丙已与小弧余辰已若大弧正丁甲与甲数丑甲皆以比句也　又半径丙已与小弧正辰丙若大弧余甲巳与乙数癸甲皆以比股也又壬甲等丁甲则甲戊亦等壬庚而壬庚即丑甲故半之而得 　　右用总存两正加减 　　一系　凡两弧内有过弧者总弧之余反大故初次两数皆在总弧余内而总弧之正反小故甲乙两数皆在存弧正内也【此必原有一过弧始用此例非谓总弧过象限也观图自明】 　　甲数乙数用法【黄赤道经纬相求】 　　黄赤二道经纬相求用斜弧三角形以星距黄极为一边星距北极为一边并两极之距为三边此本法也今不用距极度而用其余度【距极度本为纬度之余今用三角形以距极度为边故纬度皆为余度】径取黄纬为一边【此先有黄纬而求赤纬也若先有赤道而求黄道即用赤纬为边】二至之黄赤大距为一边【黄赤大距原与两极之距等】而取二边之总存两正为用以加减省乘除故在本法为初数次数者别之为甲乙数焉甲数乙数不止为求黄赤而举此为式其理特着故命之曰甲数乙数用法实黄赤相求简法矣 　　第一图　黄纬小于黄赤大距甲数大乙数小 　　甲丙亢危大圈为过 　　两极之经圈【即二至经圈】心乙亢轴即黄道 　　二分经线　丙乙室 　　为黄道　心为黄极 　　寅乙危为赤道 　　甲为北极　辰胃娄 　　为黄道北纬【即丙辰之度】　丑尾奎为黄道南纬【即丙丑之度】星在箕　箕心为星距黄极纬度　箕女为星距黄道纬【即丙辰之度】　甲心箕锐角为黄道经度其余女乙甲心为两极相距【二十三度三十一分半】　寅丙为夏至距纬【同甲心之度】 　　今求甲箕为星距北极纬度　其余弧箕翌为星距赤道纬【即氐危之度】