历算全书 - 第 26 页/共 206 页

平仪上直线皆纬度也而线有大小者则经度也是故直线为纬度而即能载经度盖载经度者必以纬度也若无纬度则亦无经度矣【所云直线指横径及其上下之距等径而言】弧线能载纬度即又能分纬度之大小直线能载经度即又能分经度之长短 　　假如平面作一弧引长之其两端皆至外周则分此外周为两半员而各得百八十度即所作之弧亦百八十度矣此百八十者皆纬度故曰能载纬度也而此平面上所乘之半浑员其经度亦百八十而皆纪于腰围之纬圏若于腰围纬圏上任指一经度作弧线必会于两极而因此弧线割纬圏以成角度故又曰能分纬度也不但此也若从此弧线之百八十度上任取一度作平行距等纬圏其距等圏上所分之纬必小于腰围之纬圏而其所载距等圏之经度皆与角度等即近极最小之纬圏亦然何以能然曰纬圏小则其度从之而小而为两弧线所限角度不变也故纬圏之大小弧度分之也 　　然弧线之长短又皆以纬圏截之而成而纬圏必有径在平面上与圏相应故曰直线能载经度即又能分经度之长短也 　　复论平仪 　　平仪上直线弧线皆正形也问前论直线有正形弧线跻缩无正形兹何以云皆正形曰跻缩者球上度也然其在平靣则亦正形矣有中剖之半浑球于此覆而观之任于其纬度直切至平面则皆直线也而其切处则皆距等圏之半员即皆载有经度一百八十也从此半员上任指一经度作直线下垂至平面直立如县针则距等圏度之正也若引此经度作弧以防于两极则此弧度上所载之纬度一百八十每度皆可作距等圏即每度皆可作距等圏之正矣由是观之此弧上一百八十纬度既各带有距等圏之正即皆能正立于平面而平面上亦有弧形矣夫以弧之在球面言之别以侧立之故而视为跻缩而平面上弧形非跻缩也故曰皆正形也惟其为正形故可以量法御之也 　　又 　　问平仪经纬之度近心濶而近邉狭何也曰浑员之形从其外而观之则成中凸之形其中心隆起处近目而见大四周逺目而见小此视法一理也又中心之经纬度平铺而其度舒故见大四周之经纬侧立而其度垜垒故见小此又视法一理也若以量法言之则近内之经纬无均平之数数皆纪之于外周外周之度皆以距等线为限而近中线之距等线以两旁所用之弧度皆直过与横直线所荖少故其间阔近两极之距等线则其两旁之弧度皆斜过与横直线县殊故其间窄此量法之理也固不能强而齐一之矣夫惟不能强而齐故正之数以生八线由斯以出尺算比例之法由斯可以量代算而测算之用遂可以坐天之内观天之外巳 　　取角度 　　又法 　　设如巳戊丙庚员有子 　　辛距等纬线有所分丁 　　辛小纬线求其所载经 　　度以命所求之角【丙角】本法取距等半径【辛午】作 　　子酉辛半员从丁作酉 　　丁线乃纪酉辛之度为丁辛之度 　　今用防法径于丁防作女丁壬线与巳甲径平行再用距等半径【午辛】为度从甲心作虚半员截女壬线于亢即从此引甲亢线至癸则数大圈庚癸之度为丁辛角度【即丙角也】 　　解曰试作氐亢房半员其亢甲牛径既与午辛等则氐亢房半员与辛酉子等而氐亢房半员又与大员同甲心则庚癸之度与氐亢等即亦与酉辛等矣 　　又如先有丙角之度及辛子距等线而求丁防所在以作丙丁弧 　　法从大圈庚数至癸令庚癸如丙角之度即从癸向甲心作癸甲线【半径】　次以距等之半径辛午为度从甲心作半员截癸甲【半径】于亢乃自亢作亢丁壬线截辛午于丁即得丁防 　　用规尺法 　　设如乙丁辛弧三角形有乙丁邉六十度有丁辛邉五十度一十分有乙辛邉八十度求辛鋭角 　　如法依三边各作图法以十字剖平员自主线端辛数 　　所设丁辛五十度竒至丁乃自 　　丁作径线过已心又依所设丁 　　乙六十度自丁左数至娄右数 　　至丙皆六十度作丙娄线为距 　　等圈之径又自辛依所设辛乙 　　八十度至房亦左至壬作房壬 　　距等径线此两距等线交于乙乃作乙丁及辛乙丙线则三角形宛然在目今以量法求辛角 　　法曰房甲距等半径与乙甲分线若亢已半径与辛角之余寅已 　　法以比例尺正线用规器取图中房甲之度于半径九十度定尺再取乙甲度于本线求正等度得角之余度乃以所得余度转减象限命为辛角之度 　　依法得余三十一度弱即得辛角为五十九度强又法以房甲为度甲为心作房癸壬距等半圈又作乙癸正与已辛平行如前以房甲度于正九十度定尺再以乙癸度取正度命为辛角度 　　又法作房癸线用分员线取房甲度于六十度定尺再取房癸线于分员线求等度得数命为辛角之度更防论曰既以房甲为半径则乙癸即正乙甲即余房癸即分员皆距等圏上比例也其取角度与分半周度而数房癸之度并同然量法较防 　　又求丁钝角 　　法以丙危为度危为心作娄丑丙半员又作丑乙线当角之正则乙危当余 　　乃取距等半径丙危度于正线九十度定尺再取乙危度求得正线等度命为钝角之余以所得加九十度为丁钝角度 　　依法得余十二度太即得丁钝角一百○二度太或取丑乙线求正线上度命为钝角之正以所得减半周度余为丁钝角度【两法互用相考更确】 　　又法作娄丑分员线取丙危半径于分员线六十度定尺而求娄丑分员之度分为丁钝角【亦可与正法叅考】 　　论曰兼用两法分员线一法以相考理明数确然比半周度之工尚为省力是故量防于算而尺更防矣若兼作丙丑分员以所得度减半周亦同如此则分员线亦有两法合之正成四法矣 　　又论曰此条三邉求角前条有二邉一角求弧可互明也故用图亦可以求角用尺亦可以求弧智者通之可也 　　三极通几 　　平员则有心浑员则有极如赤道以北辰为极而黄道亦有黄极人所居又以天顶为极故曰三极也极云者经纬度之所宗如赤道经纬悉宗北极而黄道经纬自宗黄极地平上经纬又宗天顶亦如屋之有极为楹桷宇梠楶棁之所宗也既有三极即有三种之经纬于是有相交相割而成角度角之鋭端即两线相交之防任指一防而皆有三种经纬之度与之相应焉故可以黄道之经纬求赤道之经纬亦可以赤道之经纬求地平上之经纬以地平求赤道以赤道求黄道亦然举例如后以黄道经纬求赤道经纬　已辰庚斜弧三角形 　　巳丁乙丙为极至交圈 　　巳为北极　丙甲丁为赤 　　道　庚为黄极　壬甲寅 　　为黄道　星在辰　辰庚 　　为黄极距星之纬　辰庚 　　酉角为黄道经度　今求赤道经纬　法自辰作黄道距等纬圈【酉辛】又自辰作赤道距等纬圈【戊午】即知此星【辰】在赤道之北其距纬戊丙【或午丁】　次以赤道距等半径戊夘为度夘为心作午未戊半员又作未辰直线与已甲平行则未戊弧即为赤道经度【即戊巳辰角】 　　若先有赤道经纬而求黄道经纬亦同 　　以赤道经纬求地平经纬 　　巳子戊三角形【三角皆鋭】 　　戊壬庚辛为子午规　壬 　　辛为地平　戊为天顶 　　巳为北极　丁丙为赤道 　　星在子　子巳为星距 　　北极　巳角为星距午规 　　经度【即纬圈上丑子之距】　求地平 　　上经纬　法自子作寅亥线与辛壬地平平行即知地平上星之髙度亥辛【或壬寅】　次作寅酉亥半员【以亥寅半线亥午为度午为心】又从子作酉子直线与戊甲天顶垂线平行即子寅为星距午方之度为子戊寅角数酉至寅之弧即得星在午左或午右之方位是为地平上之经度【按此图为星在夘酉线之北数酉辰若干度即知其星距夘酉线若干度也】　若先得地平上经纬【髙度为纬方位为经】而求赤道经纬【星距赤道为纬距午线时刻为经】其理亦同 　　以两纬度求经度 　　巳子戊斜弧三角形 　　假如北极髙三十度【巳辛髙】戊寅壬为午规　太阳 　　在子距赤道北十度【其距丑丁 　　或卯丙纬度】　子丑为太阳距 　　午线加时经度【即子巳丑角】寅壬为太阳髙度【即亥辛】 　　求大阳所在之方　法以太阳髙度【亥辛或寅壬】作亥寅地平髙度纬线又以太阳距赤道纬【丑丁卯丙】作丑卯赤道北纬线两线相交于子乃以亥午为度午为心作亥酉寅半员【分百八十度】又自子作酉子直线与戊甲平行截半员于酉则酉至寅之度即太阳所到方位离午正之度【即子戊寅外角】　若求加时以北极赤纬线准此求之用子巳戊角 　　求北极出地简法【可以出洋知其国土所当经纬西北广野亦然与地度弧角可以参用】不拘何日何时刻但有地平真髙度及真方位即可得之 　　法曰先以所测髙度及方 　　位如法作图取作平仪上 　　太阳所在之防【即地平经纬交处】次查本日太阳在之道南 　　北纬度用作半径于仪心 　　作一小员末自太阳所在 　　防作横线切小员而过引长之至边此即赤纬通也乃平分通作十字全径过仪心即两极之轴数其度得出地度 　　假如测得太阳在辰髙三十四度方位在正卯南三度强而不知本地极髙但知本日太阳赤纬十九度今求北极度 　　如法作图安太阳于辰【详下文】　先作丙丁线为地平髙度次用法自正东卯数正度至辰得近南三度为地平经度【或以丙卯为半径作半规取直应度分亦同】次依本日太阳赤纬十九度【以员半径取庚甲十九度正】为小员半径作子庚小员末自太阳辰作横线戊壬切小员于庚乃自庚向甲心作大员径线已午则已即北极【数己丑之度为极出地度】依法求得本地极髙四十度 　　论曰此法最简最真然必得正方案之法以测地平经度始无错误 　　厯算全书卷九 　　钦定四库全书 　　厯算全书卷十 　　宣城梅文鼎撰 　　环中黍尺卷三之四 　　初数次数法【加减代乗除之法从初数次数而生故先论之】 　　【上卷之法用角旁两正相乗今则兼用两余故别之为初数次数其法有二其一次数与对弧余相加其一相减也相加又有二一鋭角一钝角也相减有四或余内减次数或次数内减余而又各分锐角钝角也】 　　约法　三边求角 　　角求对边