历算全书 - 第 27 页/共 206 页

余次数相加例【锐角法钝角法各一】 　　丁乙丙形　有三边求乙锐角　角旁大弧丁巳【正辛戊余巳戊】小弧丙乙【正丙癸余巳癸】两正相乗全数除之成初得数戊庚又以两余相乗全数除之成次得数戊丑【即卯巳】乃以次得数卯巳加对弧之余已戌成卯戌【即申戊】 　　一　初得数　　戊庚 　　二　【次得数与对弧余相并】申戊 　　三　半径　　　亥已 　　四　角之余　已干 　　【以余检表得乙锐角之度】 　　若先有角求对边则反之 　　一　半径　　　亥巳 　　二　角之余　巳干 　　三　初得数　　戊庚 　　四　【次得数与对弧余相并】申戊【以次得数戊丑减之得对弧余丑申即巳戌】 　　论曰辛戊正与亥巳半径同为乙丁弧所分则辛戊全与丁戊分若亥巳全与干巳分也而辛戊与丁戊小又若戊庚句与申戊小句也故戊庚与申戊必若亥巳与干巳 　　若用丁甲丙形其算并同何以明之甲丁者乙丁半周之余甲丙者乙丙半周之余其所用正并同又同用丁丙为对角之弧甲角又同乙角皆以干已为余故也 　　右系对边小于象限角旁弧异类故其法用加而为锐角 　　仍用前图取丁甲寅三角形　有三边求甲钝角　角两旁弧同类　对角边大为寅丁其正酉戌余戌已　旁弧丁甲其正辛戊余已戊　又旁弧寅甲其正寅壬余壬已　初得数戊庚【半径除两正矩】　次得数卯巳【半径除两余矩】 　　所用三率与前锐角形并同亦以卯已加已戌成申戊为三率所得四率干已亦为甲角之余【末以余检表得度以减半周余为甲钝角之度】 　　若先有甲钝角求对边丁寅则反用其率一半径亥已二甲角余干已三初数戊庚四申庚末以次数戊丑去减得数甲戊余丑申为对弧余 　　论曰对弧寅丁系过弧与锐角形对弧丁丙相与为半周之正余度同用酉戌为正戌已为余角旁弧丁甲即乙丁半周之余度同用辛戊为正戊已为余甲寅弧又与乙丙弧等度其正壬寅同癸丙余壬巳同癸巳故加减数并同所异者对弧大而两旁弧又同类故为钝角 　　若用寅乙丁形其算并同以同用丁寅对弧而两弧在角旁者寅乙为寅甲半周之余丁乙为丁甲半周之余所用之正余并同故也甲角同乙角皆以干已余度转减半周为其度 　　右系对边大于象限而角旁两弧同类故其法用加而为钝角 　　正余交变例 　　若角旁两边以象限相加减而用其余弧则正余之名互易而所得初数次数不变三率之用亦不变解曰弧小以减象限得余弧弧大以象限减之而用其余亦余弧也其故何也凡过弧与其减半周之余度同用一正故过弧内减象限之余即反为过弧之余弧亦曰剰弧而此剰弧之正即过弧之余也 　　若两弧内一用余度则其初数次数皆为正乘余半径除之之数然其数不变何也一弧既用余度则本弧之正变为余弧之余而其又一弧仍系本度则正不变然则先所用两正相乗为初数者今不变而为余乘正乎次数仿此 　　试仍以前图明之丁乙丙形任以乙角旁之乙丁弧【即辛乙】内减去亥乙象弧其剰弧亥辛之正戊已即乙辛过弧之余也又亥辛之余辛戊即过弧乙辛之正也然则先以辛戊正乗丙癸正者今不变为辛戊余乘丙癸正乎然但变其名为余乘正而辛戊之数不变则其所得之初数戊庚亦不变也次数仿论【按此法即测星时第二法所用】 　　若角旁两弧俱改用余弧则初数变为两余相乘次数变为两正相乗盖以正变余余变正而所得之初数次数不变 　　试仍以前图明之丁乙丙形乙角旁两弧乙丁改用辛亥【义见前】乙丙改用丙亥皆余弧也则丙癸辛戊两正皆变余【丙癸为丙亥弧余辛戊为辛亥弧余】癸已戊已两余皆变正【癸已为丙亥弧正戊巳为辛亥弧正】然则先以两正相乘者今为两余然虽变两余而其为丙癸与辛戊者不变故其所得之初数戊庚亦不变也次数仿论 　　总例 　　凡弧度与半周相减之余则所用之正同余亦同 　　凡弧度与象限相减之余则所用之正变余余变正 　　余内减次数例【钝角法锐角法各一】 　　丁乙丙弧三角形有三边 　　求乙钝角　丙乙小弧其 　　正丙辰余辰巳　丁 　　乙大弧其正癸甲余 　　甲已　是为角旁之两弧 　　不同类　癸干初得数【两正】 　　【乗半径除之数】　午已次得数【两余乗半径除之数】　丁丙对边大其正壬卯余卯已　对边大于象限而角旁弧不同类宜相减　对弧余大于次数法当于余卯巳内减去次得数午已余午卯【即艮丁】为二率 　　一　初得数　癸干 　　二　【次得数减余】　艮丁 　　三　半径　　辛已 　　四　角余　寅已 　　对边大角旁弧异类而次数小减对弧余其角为钝宜以四率寅已捡余表得度以减半周度其余即为乙钝角之度【即寅酉大矢之度】 　　若先有乙钝角求对弧则反用其率 　　一　半径　　辛巳 　　二　角余　寅已 　　三　初得数　癸干 　　四　【次得数减余】　艮丁 　　既得艮丁乃以次数加之成卯已余检表得度以减半周得丁丙对边之度 　　凡过弧与其减半周之余度同用一余故以余检表得度以减半周即得过弧 　　仍用前图取锐角 　　丁戊庚三角形【系锐角○此形有三锐角】有三边求戊角　戊庚小边其正庚丑余丑巳　丁戊次小边其正癸甲余甲巳　是为角旁弧同类　初得数癸干【半径除两正矩】　次得数午已【半径除两余矩】　丁庚对边小其正壬卯余卯巳　对边小于象限而角旁弧同类宜相减次数午已小于对弧余卯已以午已去减卯已余 　　卯午【即艮丁】 　　一　初得数　癸干 　　二　【次得数减余】　艮丁 　　三　半径　　辛已 　　四　角余　寅已 　　对边小角旁弧同类而次数小去减余其角为锐宜以四率寅已检余表得戊锐角之度 　　若先有戊锐角度求对边丁度则反用其度 　　一　半径　　辛巳 　　二　角余　寅已 　　三　初得数　癸干 　　四　【次得数减余】　艮丁 　　以所得艮丁加次数午已检余表得丁庚对边之度因锐角角旁弧同类次数小于余得数后宜加次数为对边余 　　论曰丁戊庚形与丁乙丙形为相易之形故丁戊为丁乙减半周之余戊庚等乙丙此两弧所用之正余并同则初数次数亦同矣而丁庚对弧亦丁丙对弧减半周之余则所用余边又同加减安得不同 　　次数内转减余例【锐角法钝角法各一】 　　丁乙丙形三边求乙角【系锐角】　丙乙小边正辰丙余辰已　丁乙大边正癸甲余甲已　是为角旁之两边不同类　初得数甲干【半径除两正矩】　次得数午 　　已【半径除两余矩】　丁丙对边 　　大正壬卯余卯已 　　对边大而角旁弧不同类 　　宜相减　次数午已大于 　　对弧余卯已法当于午 　　己内减卯巳余午卯【即甲艮】 　　为二率 　　一　初得数　　甲干 　　二　【余减次数之余】　甲艮 　　三　半径　　　辛巳 　　四　角余　　寅已 　　对边大角旁弧异类而次数大受对弧余之减其角为锐宜以四率寅已检余表得乙鋭角之度【即寅辛矢度】若先有乙角而求对边丁丙则反用其率 　　一　半径　　　辛巳 　　二　角余　　寅己 　　三　初得数　　甲干 　　四　【余减次数之余】　甲艮 　　末以所得甲艮转减次数午已得对弧余卯巳检表得度以减半周为对弧丁丙度 　　前图取钝角 　　丁戊庚形三边求戊角【系锐角】　戊庚小边正丑庚余丑巳　丁戊次小边正癸甲余甲巳　是为角旁两弧同类　初数甲干【半径除两正矩】　次数午已【半径除两余矩】　丁庚对边小正壬卯余卯巳　对边小而角旁两弧同类宜相减　次数午巳大于对边余卯巳当于午巳内减卯已余午卯【即甲艮】 　　一　初得数　　甲干 　　二　【余减次数之余】　甲艮 　　三　半径　　　辛巳 　　四　角余　　寅已 　　对边小角旁弧同类而次数大内减去余其角为钝宜以四率寅巳检余表得度以减半周得戊钝角之度 　　若先有戊钝角而求对边丁庚则反用其率 　　一　半径　　　辛已 　　二　角余　　寅巳